Задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости и на теорему о трех перпендикулярах. Геометрия 10 класс.

Задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости и на теорему о трех перпендикулярах.

Справочный материал на формулы площадей и на радиусы описанной и вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;     r – радиус вписанной окружности.          

         1. Треугольники.

Разносторонний  (стороны a, b, c).

S =        p=

R=  ;    r =  .

Прямоугольный (a и b – катеты, с – гипотенуза).

S =  ;   =  ;   r =   .

 Равносторонний (а – сторона)

S = ;   R = ;    r = ;   R = 2r.

2 .Квадрат ( а – сторона).

S = a² ;       R= r =    .

3.Прямоугольник ( a и b – смежные стороны , d –диагональ).

S = a· b ;  R =  ;   d = .

   4. Правильный шестиугольник ( а – сторона).

S=   R = a;   r = .

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. К плоскости окружности из ее центра восстановлен перпендикуляр,        длина которого равна 8 см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до любой точки окружности, если радиус окружности равен 3см.

2.Из центра правильного треугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона треугольника равна 4√3, а длина перпендикуляра равна 3. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника; б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника (ответ округлить до десятых).

3.Из центра квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона квадрата равна 12, а длина перпендикуляра равна 4. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин квадрата; б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон квадрата (ответ округлить до десятых).

4.Из центра  треугольника с сторонами 10см, 10см и 16см восстановлен перпендикуляр к его плоскости.  Длина перпендикуляра равна . Найдите  а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника (ответ округлить до десятых);

 б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника (ответ округлить до десятых).

5.  Из центра прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его        плоскости. Стороны прямоугольника равны 12см и 16см, а длина перпендикуляра равна 15см. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин прямоугольника;  б) расстояние от конца перпендикуляра до  каждой стороны прямоугольника (ответ округлить до целого).

6. Из центра описанной окружности около прямоугольного треугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Катеты прямоугольного треугольника равны 2см и 2√3 см, а длина перпендикуляра равна 8√3 см. Найдите

а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника;

б) радиус вписанной окружности в этот треугольник (ответ округлить до десятых).

7. Из центра правильного шестиугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона шестиугольника равна 3, а длина перпендикуляра равна 4. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин шестиугольника; б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон шестиугольника (ответ округлить до десятых).

Вариант 2.

1. К плоскости окружности из ее центра восстановлен перпендикуляр,        длина которого равна 2,4 см. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до любой точки окружности, если радиус окружности равен 1 см.

2.Из центра правильного треугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона треугольника равна 3√3, а длина перпендикуляра равна  4. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника; б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника (ответ округлить до десятых).

3.Из центра квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона квадрата равна 24, а длина перпендикуляра равна 5. Найдите

а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин квадрата; (ответ округлить до десятых);

б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон квадрата.

 4.Из центра  треугольника с сторонами 40см, 9см и 41см восстановлен перпендикуляр к его плоскости.  Длина перпендикуляра равна 3. Найдите  а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника (ответ округлить до десятых);

 б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон треугольника.

5.  Из центра прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его        плоскости. Стороны прямоугольника равны 12см и 16см, а длина перпендикуляра равна √69 см. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин прямоугольника;  б) расстояние от конца перпендикуляра до  каждой стороны прямоугольника (ответ округлить до целого).

6. Из центра описанной окружности около прямоугольного треугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Катеты прямоугольного треугольника равны 8см и 8√3 см, а длина перпендикуляра равна 6 см. Найдите

а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин треугольника;

б) радиус вписанной окружности в этот треугольник (ответ округлить до десятых).

7. Из центра правильного шестиугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Сторона шестиугольника равна 3, а длина перпендикуляра равна 4. Найдите а) расстояние от конца перпендикуляра до вершин шестиугольника; б) расстояние от конца перпендикуляра до сторон шестиугольника (ответ округлить до десятых).

Ответы на задачи.

Вариант 1.

Вариант 2.