Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство автора

Семенова Альбина Михайловна

Задачи, приводящие к производной функции. Производная функции

docx
14.09.2026

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

задачи, приводящ.docx

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

Методическая разработка теоретического занятия

Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной.

учебная дисциплина ОБД 07 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая подготовка)

Канаш, 2027

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

Данная методическая разработка по теме «Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли сами сделать вывод. Материал урока направлен на изучение на понятие производной, на рассмотрение задачи, приводящие к понятию производной, закрепление умения применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. методический блок. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

Формы деятельности. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2. Информационный блок. 10

2.1. План лекции. 10

2.2 Текст лекции. 11

2.3. Глоссарий. 18

ВВЕДЕНИЕ

Данная методическая разработка по теме «Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной» является уроком изучения нового материала. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей обучающихся. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа).

Введения понятия предела функции на бесконечности, геометрически й смысл. Дается определение предела функции в точке, определение приращения аргумента и приращения функции. Водится понятие непрерывности функции в точке. Упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

1. методический блок

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Возрастание и убывание функции.
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20.
Место проведения	Кабинет № 5
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия Лекция текущая, обзорная.
	Тип	Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельности Фронтальная.
Технологии обучения	Традиционная (репродуктивная) технология обучения Технология развивающего обучения
Методы обучения	Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. - практические (упражнение, тренинг, опыты, самостоятельная работа по алгоритму). Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
	Образовательная			Знать: определение приращения функции, приращения аргумента. Определение производной функции. Уметь: решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Уметь логически и полно выстраивать ответ. Систематизировать знания о .		Умение решать задач, приводящие к производной функии. Решение задач, приводящие к производной функции
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ. развивать познавательный интерес.
Планируемый результат	Уметь	Знать: алгоритм решения задач, приводящие к производной функции. Уметь решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Уметь логически и полно выстраивать ответ.
	Знать	Определение промежутков монотонности функции, алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x).
Формирование компетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		История				Касательная функции.
			Литература

	Выходящие		Геометрия				Трапеция. Фигура. Треугольник.


Внутрипредметные	Алгебра, геометрия
	Криволинейная трапеция и интеграл.
Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. – 2017. – 344 с. 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.www. fcior. edu. ru 4.www. school-collection. edu.

1.2. Технологическая карта

Структура комбинированного урока

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование		Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.		ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.		ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя на урок.	Эмоционально настраиваются и готовятся обучающихся на урок. Ставят цели, формулируют тему урока.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.		ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний - 30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.		Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения . Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о возрастания и убывания функции.	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний - 10 мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.			ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания - 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.		ОК1, ПК 1, ПК4
7. Первичное закрепление - 5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм.	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.		ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает степень вовлеченности обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий		ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению 5 мин
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске.	Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению		ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия) , 5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1. Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.		ОК1, ПК 1, ПК4

2. Информационный блок

2.1. План лекции

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	Устная работа. Повторение. Проверка домашнего задания.	1
2.	Объяснение темы «Задачи, приводящие к производной функции. Производная функции»
	2.1 Приращения функции и приращения аргумента.	2
	2.2 Геометрический и механический смыслы производной.	2
	2.3 Производная функции. Алгоритм нахождения производной, используя определение.
3.	Закрепление нового материала.
	3.1 Решение примера 1.	3
	3.2 Решение примера 2.	3
	3.3 Решение примера 3
4	Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№857--860)	3
5.	Домашнее задание № 857-860(четные).	3

2.2 Текст лекции

1.Устная работа. Проверка домашнего задания.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение приращения аргумента и приращения функции.

2) Понятие производной, определение производной.

3) Задачи, приводящие к понятию производной.

Теоретический материал для самостоятельного изучении.

2. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции.

2.1 Приращение функции и приращение аргумента.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Это задачи на нахождение:

а)скорости движения материальной точки.

б)скорости разных процессов.

График функции y=f(x)

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где

независимая переменная или аргумент (время),

– зависимая переменная или функция (расстояние),

– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться - это .

Секущая к графику функции y=f(x)

Рис. 2. Секущая к графику функции .

– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси под углом .

– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Приращение функции и приращение аргумента.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

2.2 Геометрический и физический смысл производной

, где – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где - угол наклона касательной к кривой в точке с абсциссой .

Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения .

Физический и геометрический смысл отношения

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения .

С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона секущей .

2.3 Определение производной. Алгоритм нахождения производной, используя определение:

Пусть . Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке , а положение секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение зависит только от величины .

Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается .

Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается .

Алгоритм нахождения производной, используя определение:

Для того чтобы найти нужно:

1) Задать приращение – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции или .

2) Найти разностное соотношение , упростить его и сократить на .

3) Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число будет .

3. Закрепление нового материала:

Пример 1.Тело движется по закону ( – в секундах, – в метрах). Какой будет скорость тела через 3 секунды после начала движения? Через какое время после начала движения скорость тела будет равна ?

Дано: , .

Найти: 1. , 2.

Прежде всего вспомним, что .

Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при , будет равна .

А скорость будет равна через 5 секунд ().

Ответ: , .

В качестве небольшого упражнения попробуйте сами вывести производную функции .

А сделав это, вы сможете решать физические задачи на равноускоренное движение. , где – ускорение.

Пример 2

В какой точке графика его касательная параллельна прямой ?

Дано: , .

Решение

Раз прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) должен быть равен 1. Но мы помним, что тангенс угла наклона касательной как раз равен производной в точке касания (в абсциссе точки касания) (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

Приравнивая имеем , значит, речь идет о касательной в точке .

Ответ: в точке .

Пример 3

Теперь рассмотрим кубическую функцию .

В силу того, что произволен, имеем:

4. Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№857-860) не четные.

5.Домашнее задание № 857-860 (четные).

2.3. Глоссарий

Термин

Значение

Приращение аргумента

Приращение функции

Производная функции

- Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

f ^′(𝑥) = .

3. Контролирующий блок

Вариант 1

I.Для функции f(x) найти такую первообразную, график которой проходит через точку М:

1) f(x) = сos x M(-π;0).

2) f(x) = 3х² +2х -3 М(1; -2).

3) 3) f(x)= е²^x (0;5).

II. Вычислите интеграл:

1)+ 4)dx

III. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) Параболой у = 4 – х² и прямой у = х +2 и с осью Ох.

2) графиком функции у = sin x, отрезком [0; оси Ох.

3) графиком функции у = х² и прямой у = 2х.

Вариант 2

I.Для функции f(x) найти такую первообразную, график которой проходит через точку М:

1) f(x) = sin 2 x M(π; -2).

2) f(x) = 4х³ +3х² -1 М( -1; 2).

3) f(x)= е^3x (0; 4).

II. Вычислите интеграл:

1)+ 1)dx

III. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) Параболой у = 9 – х² и прямой у = 3 –х с осью Ох.

2) графиком функции у = cos x, отрезком [; оси Ох.

3) графиком функции у = х³ и прямой у = 1

Скачано с www.znanio.ru

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения

Рецензент: Иванова Л.М. , преподаватель, высшей квалификационной категории филиала

ВВЕДЕНИЕ Данная методическая разработка по теме «Задачи, приводящие к понятию производной

Методическая цель Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений

Формировать навыки познавательного мышления

Технологическая карта Структура комбинированного урока

Первичное усвоение новых знаний - 10 мин

Информационный блок 2.1. План лекции № п/п

Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость

Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной

Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при , будет равна

Приравнивая имеем , значит, речь идет о касательной в точке

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также