Задачи с параметром в заданиях Единого Государственного Экзамена

Барсуков Сергей Владимирович

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
(2p+3)x² + (p+3)x + 1 = 0 имеет хотя бы один корень и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

2x + 1 1
21-p √ x-3 + 3

——— = ————

I. Рассмотрим первое уравнение.

1. Если 2p + 3 = 0 ↔ p = -—

2.


если D= p² + 6p + 9 – 8p – 12 ≡ p²- 2p – -3 ≥ 0 (p + 1)(p-3)≥ 0

Неотрицателен при p є (-∞;-1,5) U
U (-1,5;-1] U [3;+∞).

3
2

3
2

При 2p + 3 ≠ 0 ↔ p ≠-—

II. Теперь рассмотрим второе уравнение.

——— = ————

2x + 1 1
21-p √ x-3 + 3

y = ————

1
√x – 3 + 3

Первый способ.
Построим эскизы функций

y1 =

y2 =

———

2x + 1
21 - p

————

1
√x – 3 + 3

существует при
x ≥ 3

21 – p > 0 ↔ p < 21

Решение существует, и притом единственное

y1(3) ≤ y2(3) ↔ ≤ — ↔ p ≤ 0

Следовательно, одинаковое число решений-
при p = -1; p = -—

————

2 ∙ 3 + 1 1
21 – p 3

одно

3
2

При этих значениях параметра p
оба уравнения имеют по
одному решению.

Второй способ.
Пусть √х – 3 = t ↔ x = t2 + 3,
t ≥ 0. Тогда второе уравнение
примет вид

Построим эскизы графиков левой и правой частей

2t2 + 7 1
21 – p t + 3

——— = ——

———

——

y1 =

——— + ——

2t2 7
21 – p 21 – p

y2 =

——

1
t + 3

-3

Так как 21 – p > 0, то ветви параболы направлены вверх и вершина расположена выше оси Ox. Пересечение при t ≥ 0 существует, и оно единственно, тогда и только тогда, когда y1(0) < y2(0) ↔
↔ ≤ ↔ p ≤ 0

7 1
21 – p 3

—— —

Третий способ.
Так как 21 – p > 0, t ≥ 0, то =
= ↔ 2t3 + 7t + 6t2 + 21 = 21 – p ↔

↔ t(2t2 + 6t + 7) = -p.
Построим эскиз кубической параболы y = t(2t2 + 6t + 7).
Проверим функцию на монотонность
: y′ = 6t2 + 12t + 7 > 0 при всех t.

2t2 + 7
21 – p

1
t + 3

———

———

Видно, что пересечение кубической параболы с прямой y = -p при t ≥ 0 существует, и оно единственно, при любом –p ≥ 0 ↔ p ≤ 0.

Рис. 3

«Различных решений второе уравнение не имеет, число корней первого и второго уравнения совпадает и равно 1 при p = -1,5 и p = -1»

Советы по установлению добрых
отношений с параметрами.
Не бойся “незнакомца в маске”.
Всегда анализируй условие поставленной задачи.
Различай параметр и неизвестную величину.
Если установил, что в задаче играет роль параметра, постарайся через него выразить неизвестную величину.
Обращайся с параметром деликатно, проверяй возможность совершения тех или иных действий.
Старайся привлекать графики для получения решения.
Привыкай к использованию координатной плоскости, в которой по оси абсцисс откладывается параметр, а по оси ординат- неизвестная переменная.
Особое внимание уделяй представлению ответа, он может быть объемнее решения.
Не избегай встреч с параметром, не пасуй перед трудностями!

Самое интересное может скрываться за трудно открываемыми дверями…