Задачи на теплообмен с окружающей средой.

Задачи по теплообмену с окружающей средой. Задача 1. Известно, что если температура на улице равна ­200С , то в комнате температура равна +  200C , а если на улице температура ­400С , то в комнате устанавливается температура  +100C.  Найти температуру Т батареи, отапливающей комнату. у 2 к 2 ,у 1 Т Т   ­ температуры на улице и в комнате в первом и во втором случаях. ,к 1  Решение.  Здесь необходимо учитывать, что передаваемая в единицу времени теплота  пропорциональна разности температур. Введем обозначения: Т Т   и      Тепловая мощность, рассеиваемая батареей в комнате , равна  1( некоторый коэффициент. Тепловая мощность, рассеиваемая из комнаты на улицу, будет  к Т 2(      В условиях теплового равновесия рассеиваемая батареей мощность равна мощности,  рассеваемой из комнаты на улицу. В результате можно написать   ( k T ) ) ( к T T                                                         1 1 2 1 kу 1 k   ( к T T ) ) k T ( Аналогично во втором случае    1 2 2 k kу 2 Поделив одно уравнение на другое, находим  , здесь к2 –некоторый другой коэффициент.   T  T  , где к1 – к Т Т Т )к .  ) 2 к у                                                                                    Отсюда определяем T.          T T 2 kу TгрС  T T kу 2  1 k у 1 1 2  T T k  T T k   T T 2   T T 1 у 2 k 1  T kу 1 T kу 2  T  T 1 2  60( ) Задача 2 С помощью бензиновой горелки в помещении поддерживается температура T1 = ­ 3 0C при  температуре на улице T2 = ­ 23 0C. Предполагается использовать бензин в движке с КПД  0, 4 перекачивающий по идеальному холодильному циклу тепло с улицы в комнату. Какую  температуру удастся поддерживать в помещении при прежнем расходе бензина?  Движок  находится вне помещения.  , а с помощью  полученной механической энергии запустить тепловой насос,  Решение. Мощность теплового потока из комнаты в пропорциональна разности комнатной и уличной  температур. В установившемся режиме при использовании горелки можно записать, что  количество теплоты, полученное от горелки равно количеству теплоты, ушедшему на  улицу. Если N – мощность горелки, k – коэффициент пропорциональности, Qcг – теплота сгорания бензина за время t.                                        Q cг  N t   ( k T T 2    N ) 1 k T T ( 2 1 )  t Холодильник работает в режиме теплового насоса по обратному циклу Карно, КПД  (холодильный коэффициент) которого равен   Q 1   N t ) теплоты сгорания используется в двигателе. Q 1  Q cг Q 1 A мех  x    0, 4 По условию только 40% ( Q1 – количество теплоты, отнятое от окружающей среды. Aмех – механическая работа  двигателя, работающего на бензине такой же массы, что и горелка. Так как холодильник идеальный, то его КПД  можно записать через абсолютные  температуры, где Т3 – температура, которую будет поддерживать в комнате используемый  тепловой насос.   х Т 2  Т 2 Т 3 Приравняем реальный и идеальный КПД.         x  QТ  1  N tТ  2  Т 3 2 0      нагр T 2 1Q внA   U T 2   T 3 cm T   N   ­ изменение внутренней энергии воздуха в комнате равно  Обозначим       N0 = Q1/t   ­  полезная мощность для холодильного агрегата – количество  теплоты,  отнимаемое агрегатом у окружающей среды в единицу времени. N NT 0 2   N T T 3 2 По первому закону термодинамики  Aвн  = Aмех – работа внешней силы (механическая работа двигателя).   U Q количеству теплоты нагревания этого воздуха. Так как работа внешней силы  положительная, то количество теплоты, которое получает комната, больше количества  теплоты, отнятого у воздуха с улицы, на величину этой работы.     В установившемся режиме мощность теплового потока в комнату равна мощности  потока, который уходит из комнаты.   t Q нагр  Q A (   N Подставим сюда выражения для N и N0 и, сократив на k, получим   T ) k T ( 2 3   ( ) t k T 3 мех   T N k T ( 2 3     Q t A T 2 )   ( T T 1 2  T T T ( 2 2 T T 2 3         ) ( T ) ) T T T ( )( T T T ( T T 2 2 2 2 1 3 3 2 1             2 2 T TT T T TT T T T 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2          2 2 2 T T ( 2 ) T ( T T T T ) 0 2 2 3 3 2 1 2 Получили квадратное уравнение относительно T3, решая которое,  получаем ответ T3 = 299К  Второе решение уравнения  комнаты.   соответствует работе агрегата на охлаждение    t ( k T 3 2 T T 3 2  T 2 )  2 T 2  T 2  209 K )  T 3 2 T 3  1 0 1  1 мех / T 3 )  ) 2 Задача 3 Электрический утюг с терморегулятором, установленным в положение “1” нагревается до  температуры T1 =140 0 C. При этом регулятор включает утюг на t1 = 30 сек  и через  промежутки времени t2 = 5 мин, в течение которых утюг выключен. В положении  регулятора “2” утюг включен на то же время t3 = t1 =30 сек , но через более короткие  промежутки t4 =3 мин. Определить температуру T2 , до которой будет нагреваться утюг в  положении “2”, если температура в комнате T0 = 20 0 C.  Решение. Пусть t1 – время, в течение которого утюг включен, и температура возрастает.            t2 – время, в течение которого утюг выключен, и , если бы он больше не включался,  то он охладился бы до температуры окружающей среды Tокр.   подQ P t 1   , где P – постоянная мощность нагревателя. За время t1 утюг получает тепловую энергию от нагревателя, а передает теплоту  окружающей среде в течение времени (t1 + t2).  Так как температура утюга в установившемся режиме практически постоянна, количество  теплоты, полученное утюгом при нагревании за время t1 , отдается им за время  (t1 + t2)  окружающей среде, т.е. количества теплоты, полученные от нагревателя и отданные в  окружающую среду, равны. Количество теплоты, отдаваемое в окружающую среду,  пропорционально разности температур тела и среды. Для положения регулятора “1”. Подводимая теплота  Отводимая теплота  отвQ )( t 0 P k Для положения регулятора “2”. Подводимая теплота  Отводимая теплота  отвQ t )( 0 P k Приравниваем  равные правые части уравнений для обоих положений регулятора.     k T 3   ,  P t 3  k TТ ( 2  k TТ ( 1  TТ ( 2  TТ ( 1 t 1     P t k T Т 1 ) ( 2 1 подQ P t t 0 )( t 0 )( )( t 0 t 1  t 3  t 1  ) 2 )( t 0 ) 2 ) 4 ) 4  ) 4   ( Т 2  t 3 t 3     TТ ( 1  TТ ( 1 T 2  2  t t 1 0  t t 0 1 2 )( TТ t ( 1 0 )( )(   T ( )  T t )  t 1 t ( 3 2   Т 2  t ( 3 0  T t ) ) t 4 0 t 0 )( ) t 3 t 3  t   ( 4 ) 4  t 3 ) ) T 4  2 4 ( Подставим численные значения.   0,5 3  Tгр С 2   (140 20)(0,5 5) 20(0,5 3)   660 70  3,5  208,6 . Задача 4  Ф1842 Две тонкие медные проволоки одинаковой длины соединили параллельно и подключили  последовательно с лампочкой к источнику постоянного напряжения. Первая проволока  нагрелась на 16 0С выше комнатной температуры, а вторая – в a=2 раза меньше. На сколько градусов выше комнатной температуры нагреются проволоки, если их параллельное  соединение заменить последовательным? Сопротивление каждой проволоки много меньше  сопротивления лампочки и источника , а зависимость сопротивления от температуры  не  учитывать. Решение. Пусть r1 и r2  радиусы сечения проволок , L – их длина. Тогда сопротивления проволок R 1   L  2 r 1              R 2   L  2 r 2   Если U – напряжение на каждой проволоке, то мощности электрического тока ,  выделяющиеся на этих проволоках при параллельном соединении, равны  P 1  2 U R 1   2 2 U r 1  L                      P 2  2 U R 2   2 2 U r 2  L 1t , а вторая на  2t , вся  t 1 r L 1                                                        В установившемся режиме, когда первая проволока нагрелась на  мощность электрического тока уходит через боковые поверхности проволок и идет на  нагревание окружающей среды. Теплопередача пропорциональна разности температур и  площади поверхности контакта. k – коэффициент пропорциональности.   P k r L 2 1  2 2 U r 1  L   2 U r 1 Разделим уравнение (1) на уравнение (2). r 1 r 2   P k 2  2 2 U r 2  L 2 U r 2    (1)                                          t 1                                             t 1  t   r L t 2 2   2    2 k    2 k   t 2     (2) t r L 1  2 L  a  2 L k 2 2 k t 1 2 2 2 Определим отношение токов через проволоки при параллельном соединении. 2 2 ( I 2 2 a 2 )        / / I 1 r 1 r 2 R 2 R 1   I 1) U R 1 U R 2 I 1 I Перейдем к последовательному соединению проводников. Поскольку сопротивление каждой проволоки много меньше сопротивления лампы и  источника , при замене параллельного соединения последовательным сила общего тока в  цепи не изменится. I ( a Нагрев проволок (от комнатной температуры) в обоих случаях прямо пропорционален  выделяющейся на них мощности электрического тока.  / t 1  t 1   / t 2  t Штрихованные переменные относятся к последовательному соединению проволок. Отсюда найдем изменения температур. 2 I R 1 / I R 1 1 2 I R 2 / I R 2 2 / P 1 P 1 / P 2 P 2  2 a 1) 1)       ( a a 2 ) ( 2 2 2 2 2   / t 1 (   t / 2 ( a 2 a  2  1 ) 2 2 1)   t 1 0 25 C   ( t 2 2 a 2  1)  t a 1 /  200 0 C a 2 Задача 5 Если температура на улице 0 гр.С , то в палатке с одним человеком устанавливается  температура 10 гр.С. Какая установится в палатке температура, если в ней будут два  (одинаковых) человека, а температуру тела человека считать 36,6 гр.С? Решение. ;ч T T  ­ температуры тела человека и воздуха на улице соответственно. Пусть  ;к T T  ­ температуры , которые устанавливаются в палатке в присутствии одного  1              и двух человек соответственно. Количество теплоты, которое отдают люди воздуху в палатке, равно количеству теплоты,  которое передается из палатки на улицу, так как температура в палатке устанавливается  постоянной. Запишем эти равенства для одного и для двух человек в палатке. 2 к у                                 )  ( k T T ч 1 к 1  k T 2 ( T 1 ч к 2  ) ( k T 1 к 2  k T ( 2 к  2 ) T у  T ) у  Два человека при одинаковых условиях передают окружающей среде в два раза большую  энергию, чем один. Разделим первое уравнение на второе.    ) 2 ( ( T T T ч к ч   2 36,6 10 36,6 10   ( T T ) к у   T T T T ч у 1 к  2 T T к у )( T T к 1 к  T T 2 1 ч к  T ч  Tгр С к 15,7( T у     ) ) . 2 1 2 2 у 1 T 1 к  Проверим, какой будет установившееся температура, если людей в палатке будет очень  много.   )( ( T T 2 к ч  (36,6 10) T к 2  366 N  26,6 N  N T ( T 1 к у  (36,6 N 366   ) T у  10  ) ( T ч  ) T к 2 T к 2 10  T к 2 ) 10   26,6 N кTгр С 2 При             N           36,6( . ) , что  не противоречит условиям.