Задачи на уравнение теплового баланса.

Задачи на тепловой баланс. Задача 1. В теплоизолированном сосуде имеются две жидкости с начальными температурами T1 и T2  и удельными теплоемкостями С1 и С2 , разделенной нетеплопроводной перегородкой. Перегородку убирают.  После установления теплового равновесия разность между  начальной температурой одной из жидкостей и установившейся температурой T оказалась  в два раза меньше разности начальных температур жидкостей. Найти отношение масс  жидкостей. Решение. После установления теплового равновесия температура жидкостей стала Т. Так как сосуд  теплоизолированный,   то составляем уравнение теплового баланса для двух жидкостей:  ( с m T 1 Разделим уравнение на m2. c m T T 2 2  ) 0 T 1   ) ( 2 1 с 1 m 1 m 2 ( T  T 1 )  c T T 2 2  (  ) 0 2   c T T 2 2  m ( ) 1 ( ) mс T T 1 По условию задачи:    ) T T 1 ( T T 1 2    1 2   T 2    T T T 1 T Подставим в полученное отношение масс и получим ответ. m ( 1 mс T T ( 1  c T T 2 2  ) ) с T 2 c 2    2 1 1 2 ) ( T T 1 2  Задача 2. Железный метеорит влетает в атмосферу Земли со скоростью V= 1500 м/сек , имея  температуру 300К. Если принять, что в результате торможения в атмосфере 80%  кинетической энергии идет на нагревание метеорита, то сколько процентов от массы  метеорита может расплавиться? Температура плавления железа 1530 гр.С, удельная  теплота плавления 300 КДж/кг , удельная  теплоемкость 400 Дж/кг гр.  Решение. По закону сохранению энергии вся выделившаяся при торможении метеорита теплота идет  на изменение его внутренней энергии.  Q 1  0,8  0, 4   2 m  2 m  2  При увеличении своей внутренней энергии метеорит нагревается до температуры  плавления и k – я   часть его расплавится.  ) T Qсm T ( пл 1    2 0, 4 ( T mсm T пл    2 mсm T 0, 4  m   400 (1530 27) 300000   ( k m  ) ( T пл  )   k m (  ) 0, 4 1500  ) 0, 4  (  0,996   2 с T T пл         k ) 2 Ответ: расплавится 99,6% массы метеорита. Задача 3 На кусок льда  при температуре T1 =0 гр.С  положили железный кубик со стороной  а = 2см при температуре T2 = 100 гр.С (рис.1). На какую глубину h  (рис.2) погрузится  кубик в лед, если плотность льда равна 900 кг/куб.м , а плотность железа  7800 кг/куб.м. Удельная теплота плавления льда 332400 Дж/кг , удельная теплоемкость   железа 460 Дж/кг гр. Потерями теплоты пренебречь.                            Решение. Лед находится при температуре плавления, поэтому вся полученная им теплота идет на  плавление. Причем, m3 и V3 – соответственно масса и объем льда, который расплавится  при этом. Объем расплавленного льда V3 равен объему погружения кубика в лед, так как  образовавшаяся при плавлении вода полностью вытесняется.  Q 1 Так как температуры кубика и льда неодинаковые, значит, происходит теплопередача от  горячего тела к холодному до установления теплового равновесия.      ) c Q c m T T ж ж 2 Потерями на испарение и теплообмен с окружающей средой по условию задачи можно  пренебречь, поэтому справедливо уравнение теплового баланса:   V T T 2 ж ж ж  3 a T T ( 2    m 3     л     л  2 a h  V 3    c    ж ( ) ( ) 2 2 1 1 1   Q Q 0 2 1         2 a h c ж ж л      ( c a T T 1 ж ж 2    л  hм  ) 0 1  450 7800 0,02 100  3 a T T ( 2  ) 340000 900      0,023( ) Так как получили h > a , значит, кубик погрузится в лед на 0,3 см больше собственной  высоты, что возможно. Выполним проверку по размерности:    м гр гр (   ) м гр ) ( Дж кг  3 кг гр м    h  Дж кг 3 кг м   Дж  м Дж м кг кг Дж Дж кг кг    Дж  кг гр Дж кг    м Задача 4 В теплоизолированный сосуд помещают воду массой m1 =50 г  при положительной  температуре T1=20 гр.С и лед массой m2=1 кг при отрицательной температуре  T2= ­20 гр.С.  Определить конечное состояние системы  (конечную температуру и массы вещества в жидком и твердом состоянии). Решение. Конечное состояние после теплопередачи неизвестно, поэтому рассмотрим два процесса,  которые могут протекать в системе.  T 1 ) T 2 )       1 в  m 1 л  m 2 Q c m T ( пл 1 Q 2 Q c m T ( пл 3 Q 4 Q c m T ( k Q c m T ( k В зависимости от соотношения масс и начальных температур льда и воды возможны четыре случая, которые необходимо рассмотреть. Для решения задачи воспользуемся алгоритмом и определим путь в алгоритме,  соответствующий данным начальным условиям. T пл T пл ) )   1 2 л в  2 5 6 1 1 4200 0,05 20 4200        Определим численные значения количества теплоты Q1, Q2 и Q3  TДж ( Q c m T в 1 пл 1    mДж Q 333000 0,05 16650 2   TДж ( Q c m T ) 2 л пл 2  Дж 16650 42000 Дж  Q Q Q 1    2100 1 20 4200  42000 Дж 3 3  2 )  1  0   Выполняется первое условие в алгоритме. В конечном состоянии вещество в твердом  состоянии (лед). Составляем уравнение теплового баланса для определения конечной  температуры.     ' Q Q Q Q 5 2 3     ) m c m T ) ( T с m T ( T 1 пл в к пл 1 1 л     c m T с m T c m T с m T 1 в 1 пл л пл в 1 к л      c m T mс m T T c m c m ( л в л 1 kл 2 1    c m T mс m T  Tгр С в л k c m c m л 2    ) 0 ( c m T T 2 к л 2   c m T c m T л 2 к л 2 2   с m T c m T в л 9,6 .  m 1 1 1 ) 1 1    2 2 2 2 1 1 1 пл 1 пл л 1 1 1 Задача 5. В теплоизолированный сосуд помещают воду массой m1 = 1 кг  при положительной  температуре T1=+30 гр.С и лед массой m2=0,5 кг при отрицательной температуре  T2= ­30 гр.С.  Определить конечное состояние системы  (конечную температуру и массы вещества в жидком и твердом состоянии). Решение. 1 1 2    TДж 2     2100 0,5 30 31500    4200 1 30 126000 Дж  )   Qс m T 1   Q c m T ( 3 пл 2 л     333000 0,5 166500 Q mДж 4    Q Q Q Q 3 Выполняется третье условие в алгоритме. В конечном состоянии вещество находится  частично в твердом состоянии и частично в жидком состоянии при температуре 0гр.С.  Составляем уравнение теплового баланса с целью определения массы льда и воды в  тепловом равновесии. 1 3 4 1  )    ' Q Q Q 0 3 4     c m T c m T ( ( T T пл 2 пл 1 1 в 2 л     c m T T ( ) ( c m T в пл л 2   mкг x 1 1 2 ) x   m  T ) пл   0  c m T c m T 2 2 в  1 1  л   0,47( ) Остается в результате только 0,5­0,47=0,03 кг льда. Воды останется 1+0,47=1,47 кг. Задача 6. В латунном калориметре массой m1 = 200 г находится кусок льда массой  m2 = 100 г при температуре t1 = ­10°С. Сколько пара, имеющего температуру  t2 = 100°С, необходимо впустить в калориметр, чтобы образовавшаяся вода имела  температуру 40°С? Удельные теплоемкости латуни, льда и воды c1 = 0,4 ∙ 103 Дж/(кг ∙  К), c2 = 2,1 ∙ 103 Дж/(кг ∙ К), c3 = 4,19 ∙ 103 Дж/(кг ∙ К) соответственно; удельная  теплота парообразования воды r = 22,6 ∙ 105 Дж/кг; удельная теплота плавления льда  λ = 33,6 ∙ 104 Дж/кг. .  .  0 2 3 3 2 ( 2   rm  ) Q 1 TmcQ ( 2 TmcQ 0 Решение. При конденсации пара массой m при 100°С (T2 =373 К) выделяется количество  теплоты  При охлаждении получившейся воды от Т2 = 373 К до θ = 313 К (40°С) выделяется  количество теплоты  При нагревании льда от Т1 = 263 К (­10°С) до Т0 = 273 К (0°С) поглощается количество  теплоты   При плавлении льда поглощается количество теплоты  При нагревании получившейся воды от Т0 до θ поглощается количество теплоты Q c mТ  Для нагревании калориметра от Т1 до θ требуется количество теплоты mcQ 1 По закону сохранения энергии   rm Q  m  (    ) .  Т 1  Т 1 ) . ) . T 1 ) . Отсюда Tmc 2 3 .  2 ( 2 5 6 3 1  4   ( Tmc ( ) 0 2   m ( T Tmc 1 2 0 r 2  ) 2 m   QQQQQQ 6 1  ) T ) 1   mc 2 3  ( Tc 2 3  5 3 4    mc ( 2 3  mc T ) 1 1 3 2  m 2   (   )  T 3  ( 2  или  T 1  ( mc 1 1 ) ≈     22 ∙ 10 ­3 кг = 22 г.