Прототипы задания 21

                                                                                     1     2

(№ 324468) Решите уравнение x₂  x 3 0.

(№ 324469) Решите уравнение ^{x x} ²   2x ¹ 2x1.

(№ 324470) Решите уравнение x  2_⁴ 4x  2_² 5 0.

12 (№ 324471) Решите неравенство x₂ 7x _8  0.

12 (№ 324472) Решите неравенство x₂       7x _8  0.

_ 12 (№ 324473) Решите неравенство      ₂  0.

x 1  2

(№ 324474) Решите неравенство x 4²  3x 4.

 2 x   0, (№ 324475) Решите систему неравенств 2  3 x2  .

                                                                                                        ^6   9x 31 4x

(№ 324476) Решите неравенство 3x 7_² 7x 3_².

(№ 324477) Решите неравенство x²    x^{2    9} ⁹ x^{2          9}.

_7 3 x 2 3 7 x 2 2x,

(№ 324478) Решите систему неравенств _                                        

_x 4x 8 0.

(№ 324479) Найдите значение выражения a3 16a a 1 4  a 1 4 при a  45.

4x9y

(№ 324480) Найдите значение выражения  y , если 2 x3 y

x y7.

3_x3  x9 .

(№ 324481) Сократите дробь x ₁₀ 2x4

(№ 324482) Найдите значение выражения p a  , если p b   b6b _.

                                                                                                                p6 a                 b 3

   p a  ,    если (№ 324483)      Найдите      значение     выражения

p 1a _

p b   b  b33b  b1.

(№ 324484) Найдите значение выражения 61a 11b50, если   9.

 (№ 324485) Найдите f 3, если f x  1 7^6x.

(№ 324486) Решите уравнение x 7_³  49x 7.

(№ 324487) Решите уравнение x³  4x² 5x.

(№ 324489) Решите уравнение x³ 3x²   x 3  0.

(№ 324490) Решите уравнение x 2_²x 3 12x 2.

(№ 324491) Решите уравнение x 2x 3x 4 x 2x 3x 5.

(№ 324492) Решите уравнение 2x 3_²x 3 2x 3x 3_².

(№ 324493) Решите уравнение x⁴ x  20_².

(№ 324494) Решите уравнение x⁶ x 5³.

2x²  7x 3 (№ 324495) Решите уравнение         x₂            9        1.

_

(№ 324496) Решите уравнение x²      6x         6 x     6 x 7.

(№ 324497) Решите уравнение x²  ²⁵_² x²  3x ¹⁰_²  0.

3x²  y  4, (№ 324498) Решите систему уравнений 2x₂  y _1.

2x² 3y² 11,

(№ 324499) Решите систему уравнений            2    6y2 _11 .x

4x _

x  6y²  7y, (№ 324500) Решите систему уравнений  ₂ x  6y  7 .x

2x 3²  5y, (№ 324501) Решите систему уравнений  ₂

3x  2  5 .y

                                                                                                            x²  y²  37,

(№ 324502) Решите систему уравнений _{ }xy 6. x²  4y 1, (№ 324503) Решите систему уравнений  2 3_ 4y _ y2.

x _

x6y 7 0,



(№ 324504) Решите систему уравнений  y 4                   

x y 10  3.

Прототипы задания 22

(№ 324505) Три бригады изготовили вместе 173 детали. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая и на 12 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.

(№ 324506) Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 4%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 2 кг высушенных фруктов?

(№ 324507) Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 100 кг свежих фруктов?

(№ 324508) Имеются два сосуда, содержащие 20 и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 41% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 43% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

(№ 324509) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

(№ 324510) Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Турист прошёл путь из A в B за 5 часов, из которых спуск занял 4 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 1 км/ч?

(№ 324511) Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 6 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 162 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

(№ 324512) Два автомобиля отправляются в 340-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 17 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. (№ 324513) Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

(№ 324514) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город B, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в A, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

(№ 324515) Два велосипедиста одновременно отправляются в 60километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

(№ 324516) Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

(№ 324517) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

(№ 324518) От пристани A к пристани B, расстояние между которым равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно.

(№ 324519) Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 60 деталей, на 3 часа раньше, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

(№ 324520) Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 60 литров она заполняет на 3 минуты раньше, чем вторая труба?

(№ 324521) Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

(№ 324522) Расстояние между городами A и B равно 80 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из C в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C.

(№ 324523) Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.

(№ 324524) Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 5 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

(№ 324525) Расстояние между пристанями A и B равно 60 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошёл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

(№ 324526) Баржа проплыла по течению реки 60 км и, повернув обратно, проплыла ещё 20 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения равна 1 км/ч.

(№ 324527) Игорь и Паша красят забор за 3 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 6 часов, а Володя и Игорь — за 4 часа. За какое время мальчики покрасят забор, работая втроём?

(№ 324528) Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 21%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

(№ 324529) Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 56 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

(№ 324530) Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующий час — со скоростью 70 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

(№ 324531) Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 240 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 200 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

(№ 324532) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

(№ 324533) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

(№ 324534) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

(№ 324535) По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1400 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минутам.

Прототипы задания 23

(№ 324536) Постройте график функции y  ¹ xx₂ ^22x и определите, при каких значениях m прямая y m не имеет с графиком ни одной общей точки.

x4  x3

(№ 324537) Постройте график функции y  ¹ x  x₂ и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком две общие точки.

x 5x² 5x  ⁴

(№ 324538) Постройте график функции y   и определите, x  4

при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно одну общую точку.

(№ 324539) Постройте график функции y x  ² x 2 . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

(№ 324540) Постройте график функции y x ² 6 x 8. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

x²  x 6x²  4x 5

(№ 324541) Постройте график функции y  x₂  2x _3 и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно одну общую точку.

x²  4x 6, если x 1,

(№ 324542) Постройте график функции y                                     

_3x, если x 1

и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

(№ 324543) Найдите все значения k , при каждом из которых прямая y  kxимеет с графиком функции y  x²  4 ровно одну общую точку.

Постройте этот график и все такие прямые.

(№ 324544) Найдите все значения k , при каждом из которых прямая y  kxимеет с графиком функции y  x² 1 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

(№ 324545) Найдите p и постройте график функции y  x²  p , если известно, что прямая y 6x имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

x²  x x (№ 324546) Постройте график функции y  и определите, при x 1

каких значениях m прямая y m не имеет с графиком ни одной общей точки.

x²  2x x

(№ 324547) Постройте график функции y  и определите, при x  2

каких значениях m прямая y m не имеет с графиком ни одной общей точки.

x²  4x, если x 1,

(№ 324548) Постройте график функции  y                                

_x 6, если x 1

и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

6x x², если x 1,

(№ 324549) Постройте график функции y                                

_ x 8, если x 1

и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

x² ⁹x 1

(№ 324550) Постройте график функции y    и определите, при 1 x

каких значениях k прямая y  kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

x3, если x 1,

(№ 324551) Постройте график функции y  ^ 1,5x 4,5, если 3 x 4, ^1,5x7,5, если x  4

и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

x²  4x 4, если x 4,

(№ 324552) Постройте график функции y ^ 16                              

_ x , если x 4

и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком одну или две общие точки.

4 x 1

(№ 324553) Постройте график функции y  x  4x₂ и определите, при каких значениях k прямая y  kx не имеет с графиком ни одной общей точки. (№ 324554) Постройте график функции y  12^_ x  1x  x  1x _^ и определите,

_

при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно одну общую точку.

(№ 324555) Постройте график функции y x ² 4x5 и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно три общие точки.

(№ 324556) Постройте график функции y   x² 5x 3 x 2 6 и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно три общие точки.

(№ 324557) Постройте график функции y  4 x   1 x² 4x 3 и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно три общие точки.

(№ 324558) Постройте график функции y  x x 24x   и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

(№ 324559) Постройте график функции y  x x 3 x  x и определите, при каких значениях m прямая y m имеет с графиком ровно две общие точки.

(№ 324560) Постройте график функции y  22xx₂^¹x  и определите, при каких значениях k прямая y  kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

(№ 324561) Постройте график функции y x ² 4 x 2x и определите, при каких значениях m  прямая y m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

 Прототипы задания 24

(№ 324562) Отрезки  лежат на параллельных прямых, а отрезки  и  пересекаются в точке . Найдите , если .

(№ 324563) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны  в точках  соответственно. Найдите , если

.

(№ 324564) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны  и  в точках  и  соответственно. Найдите , если

.

(№ 324565) Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведѐнную к гипотенузе.

(№ 324566) Точка  является основанием высоты, проведѐнной из вершины прямого угла  треугольника  к гипотенузе . Найдите , если

.

(№ 324567) Прямая, параллельная основаниям трапеции , пересекает еѐ боковые стороны  и  в точках  и  соответственно. Найдите длину отрезка , если .

(№ 324568) Найдите боковую сторону  трапеции , если углы  и  равны соответственно .

(№ 324569) Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . Найдите периметр параллелограмма, если .

(№ 324570) Биссектрисы углов  и  параллелограмма  пересекаются в точке, лежащей на стороне . Найдите , если .

(№ 324571) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

(№ 324572) Высота  ромба  делит сторону  на отрезки   и

. Найдите высоту ромба.

(№ 324573) Биссектрисы углов  при боковой стороне  трапеции  пересекаются в точке . Найдите , если .

1

(№ 324574) Отрезки  являются хордами окружности. Найдите длину хорды , если , а расстояния от центра окружности до хорд  и  равны соответственно 12 и 5.

(№ 324575) В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 5.

(№ 324576) В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 16, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

(№ 324577) Углы  и  треугольника  равны соответственно . Найдите , если радиус окружности, описанной около треугольника , равен 8.

(№ 324578) Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как 6:7:23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12.

(№ 324579) Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон в точках ,  и . Найдите углы треугольника , если углы треугольника  равны ,  и .

(№ 324580) Точка  является основанием высоты , проведенной из вершины прямого угла  прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает стороны  в точках   и соответственно. Найдите , если .

(№ 324581) Окружность с центром на стороне  треугольника  проходит через вершину  и касается прямой  в точке . Найдите диаметр окружности, если .

(№ 324582) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках  и  соответственно и проходит через вершины  и . Найдите длину отрезка , если , а сторона  в 1,5 раза больше стороны .

2

Прототипы задания 25

1.       Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20,

BD 10. Докажите, что треугольники подобны.

2.       В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

3.       Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

4.       На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

5.       Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M . Докажите, что треугольники MBC и MDAподобны.

6.       Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

7.       Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

8.       Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AAB_{1 1} и ABB₁ равны.

9.       Биссектрисы углов параллелограмма ABCD пересекаются в точке E стороны BC . Докажите, что E — середина BC .

10.   В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O . Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

11.   В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники ACB_{1 1} и ACB подобны.

12.   Через    точку          пересечения     диагоналей          параллелограмма ABCDпроведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP DT .

13.   Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O , лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

14.   Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну стороны от прямой AB. Докажите, что AB  IJ .

1

15.   Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m n: . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся также m n: .

16.   Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

2

Прототипы задания 26

(№ 324599)

В выпуклом четырёхугольнике    диагональ     является биссектрисой угла  и пересекается с диагональю  в точке . Найдите , если известно, что около четырёхугольника         можно описать окружность, .

(№ 324600)

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

(№ 324601)

В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основанию . Окружность проходит через точки  и  и касается прямой  в точке . Найдите расстояние от точки  до прямой , если , .

(№ 324602)

Биссектриса  треугольника  делит сторону  на отрезки,                 и

.       Касательная         к        описанной окружности         треугольника       , проходящая через точку , пересекает прямую  в точке . Найдите

(№ 324603)

Боковые стороны  и  трапеции  равны соответственно 8 и 10, а основание  равно 2. Биссектриса угла  проходит через середину стороны . Найдите площадь трапеции.

(№ 324604)

В треугольнике  биссектриса  и медиана  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника .

(№ 324605)

На стороне  остроугольного треугольника ( ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту  в точке ,

— точка пересечения высот треугольника        . Найдите

(№ 324606)

Точки  лежат на стороне  треугольника  на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки  и  и касающейся луча , если

.

(№ 324607)

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.

(№ 324608)

В треугольнике известно, что , , точка — центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону  в точке . Найдите

.

(№ 324609)

Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. Точки  и лежат на первой окружности, точки — на второй. При этом  и  — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми  и

.

(№ 324610)

Четырёхугольник           со сторонами       и        вписан в окружность. Диагонали    и        пересекаются в точке    , причём     . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

(№ 324611)

На стороне  треугольника  взята точка так, что окружность, проходящая через точки , и , касается прямой . Найдите , если

                  ,               и            .

(№ 324612)

В параллелограмме  проведена диагональ . Точка  является центром окружности, вписанной в треугольник . Расстояния от точки до точки  и прямых  соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите

площадь параллелограмма

(№ 324613)

Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

(№ 324614)

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей   ромба и       параллелограмма,         если отношение диагоналей параллелограмма равно 2.

(№ 324615)

Углы при одном из оснований трапеции равны , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции. 

(№ 324616)

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.

(№ 324617)

Середина  стороны  выпуклого четырехугольника     равноудалена от всех   его вершин.      Найдите      ,         если ,         а        углы       и четырёхугольника равны соответственно     и       .

(№ 324618)

В треугольнике  биссектриса угла  делит высоту, проведённую из вершины , в отношении 5:4, считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если .

(№ 324619)

В трапеции основания  и  равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании  равна . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и  и касающейся прямой , если .

(№ 324620)

Две касающиеся внешним образом в точке окружности, радиусы которых равны 5 и 15, вписаны в угол с вершиной . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекает стороны угла в точках

 и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника . (№ 324621) Биссектрисы углов  и  параллелограмма  пересекаются в точке . Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки  до стороны  равно 4. 

(№ 324622)

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.

(№ 324623)

В треугольнике                 на его медиане  отмечена точка              так, что

                                        . Прямая             пересекает сторону  в точке         . Найдите

отношение площади треугольника  к площади четырёхугольника            . 

(№ 324624)

Из вершины прямого угла треугольника  проведена высота . Радиус окружности, вписанной в треугольник , равен 8, тангенс угла равен  . Найдите радиус вписанной окружности треугольника . 

(№ 324625)

Медиана  и биссектриса  треугольника   пересекаются в точке , длина стороны  относится к длине стороны  как 9:7. Найдите отношение площади треугольника  к площади четырёхугольника .