Задания для самостоятельной работы ученика

Обобщающий урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Шапко Наталья Николаевна

учитель математики

муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

«средняя школа №7»

г. Нижневартовск

Пояснительная записка

Математика всегда была неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.  Творческая деятельность учащихся не ограничивается лишь приобретением нового. Работа будет творческой, когда в ней проявляется собственный замысел учащихся, ставятся новые задачи, и они самостоятельно решаются при помощи приобретенных знаний, при активном участии в проектной и исследовательской деятельности. Это позволяет развивать познавательную активность учащихся, творческие способности и сообразительность. В процессе такой работы ребята учатся работать с дополнительной литературой, историческим материалом, устанавливать внутрипредметные и межпредметные связи. Всё это будет проявляться ярче, быстрее и качественнее, если на уроках применяются современные информационные и педагогические технологии.

       Технические средства способствуют активизации учебного процесса, помогают нам эффективно проводить уроки, организовывать быстрый доступ к запланированной информации, решать задачи практического содержания, выполнять исследовательскую работу. Больше внимания уделить математической речи, формированию   познавательного интереса к предмету и творческой активности, отработки вычислительных навыков, и навыков   анализа и сравнения, исследовательской деятельности. 

 На данном интегрированном уроке: соревнование в мире «Арифметической и геометрической прогрессии» благодаря предварительной работе с дополнительной литературой, интернетом, подготовке презентаций, а самое главное, исследовательской деятельности обучающихся, расширяется кругозор, повышается познавательная активность. Эпиграфом урока стало высказывание Н.И. Лобачевского, русского математика 19 века: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применима к явлениям действительного мира».

Урок рассчитан для учащихся 9 класса. Для них это урок обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и в тоже время некоторый материал был новым и ранее не изученным. Для урока подобраны задачи из различных сфер жизнедеятельности человека. Такой подход к изучению математики вызывает интерес у обучающихся и побуждает к более глубокому изучению предмета. Работа в группах позволяет выработать коммуникативные качества, умение отстаивать свое мнение, ориентироваться в необычных жизненных ситуациях.

Особенностью игры является её многоцелевой характер, поскольку в ней реализуется комплекс дидактических задач, и постоянно присутствует дух соревнования – ведь никому не хочется в глазах одноклассников оказаться несостоятельным и показать им своё незнание или неумение. Организуя подобные уроки, учителю необходимо стремиться полнее учитывать возрастные особенности школьников и, в частности, удовлетворять их естественную тягу к играм и разнообразить виды учебной деятельности, так как известно, что подростки любят играть и занимаются этим с большим желанием и удовольствием. Игра – это вид деятельности, которому можно придать обучающий, развивающий и воспитывающий характер.

Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цели урока:

·        образовательные: обобщить и повторить материал темы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

·        отработать умения решать задачи по данной теме и показать практическую значимость   приобретённых   умений;

·        развивающие: прививать учащимся интерес к решению задач, используя при этом нестандартные формы и методы;

·        развивать мыслительную деятельность, интуицию, мотивацию практической значимости данной темы, культуру математической речи;

·        воспитательные: воспитывать у школьников чувства коллективизма, личной ответственности перед товарищами по команде и перед общим делом;

·        способствовать формированию эстетических вкусов школьников, развивать их творческую деятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Форма урока: урок-игра.

Оборудование: Проектор, презентация к уроку, компьютер, карточки с заданиями.

Предварительная подготовка: Класс заранее разбивается на группы, каждая группа готовит творческую работу по данной теме и является специалистами в определенной сфере деятельности и делает подборку задач. Предлагают их решение, конструируют свои задачи. Готовят сообщение и домашнее задание другим группам. создание презентаций и плакатов. Двое наиболее успевающих учащихся выбираются в жюри. Учитель-председатель-ведущий.

 Структура урока:

Ход урока:

1.  Учитель(ведущий): Итак, ребята, вы знаете, что математика как наука родилась из практической деятельности человека и идеи для своего развития она черпает из практики, но с другой стороны она создает такие математические модели, которые позволяют руководить этой практической деятельностью. На сегодняшний день вы обладаете достаточным уровнем знаний, чтобы проанализировать различные сферы человеческой деятельности и выявить те из них, в которых встречаются такие ситуации. Работа в группах (готовясь к уроку), вы сталкивались с различными проблемами: кому-то пришлось работать с совершенно незнакомым материалом, кому-то взглянуть на известный факт с новой точки зрения. И сегодня общими усилиями мы попробуем продемонстрировать не только свои знания по теме: «прогрессии», но и попробуем показать широту приложений прогрессий.

   Перед нами стоит цель повторить и систематизировать знания по данной теме, показать значимость прогрессии как математической модели реальных ситуаций. Урок наш будет проходить в форме конкурса между вашими группами. Это «Историки», «Ученые», «Практики», «Эстеты». Каждая группа, готовясь к уроку, нашла применение прогрессий в своей области. Надеюсь, что это соревнование будет увлекательным, и что сегодня вы уйдете с урока с глубоким убеждением, что математика интересный и, главное, очень нужный предмет и что математика нужна нам как воздух в повседневной жизни.

 Результаты нашего соревнования будут оценивать наши эксперты (жюри). Они будут следить за соблюдением правил (Приложение№9), с которыми вы уже ознакомлены. У каждой команды они лежат на столе.  Надеюсь, что будут у нас и победители. А для этого вы должны быть волевыми, настойчивыми, целеустремленными. Обратили внимание на эпиграф? (Слайд 2). Итак, начинаем.

2. Для успешного прохождения этапов наше жюри напомнит нам теорию прогрессий. (приложение1,2слайды 3-9)

3. 1. Любое событие в жизни имеет свою историю. И здесь нашим гидом будет, конечно же, группа «Историки».

Представитель группы рассказывает исторические сведения (слайд 7-9) и предлагает остальным группам решить подготовленные задачи (Приложение 3). Капитан помогает жюри оценить правильность решения. Подводятся итоги 1 этапа.

2. Далее мы даем слово нашим «Ученым», они выяснили, в каких областях науки применяются прогрессии. (слайды 14,15). Задачи (Приложение 4). Подводятся итоги 2 этапа.

3.. А теперь заслушаем наших «Практиков». Они докажут необходимость прогрессий в нашей повседневной жизни. (слайд 16,17). Задачи (Приложение 5). Подводятся итоги 3 этапа.

4.. Ну а теперь группа «Эстеты» убедит нас, как красива математика. Древние индусы дали название математике «лиловати», что означает прекрасная или «красавица с горящими глазами». Слайд(18,19). Задачи (Приложение 6).

5.. Мы с вами пообщались с разными группами. Давайте сделаем выводы (Слайд 20).

1. Закономерности арифметической и геометрической прогрессии широко применяются в деятельности человека,

2. Математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, и что прогрессии так же имеют определенное практическое значение.

4. Жюри подводит общий итог.  Капитаны группы подводят итог работы в группах.

5. Мне, кажется, теперь вы сможете дать хорошие советы вашим родителям, а может быть просто знакомым вам людям, куда с большей пользой (выгодой) вкладывать деньги. Я думаю, что вы согласны со словами, взятыми сегодня как эпиграф. У нас получился очень интересный урок, на котором вы показали нам свой багаж знаний, а он не маленький и он будет вам необходим в старших классах, он будет еще пополняться и расширяться. А тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии», надеюсь, останется для вас любимой.

 Ребята, что вам запомнилось, понравилось, а может быть что-то не понравилось, во время нашего соревнования. Заполните каждый лист на вашем столе. (Приложение 7). Выставление оценок.

6.Домашнее задание. (Приложение 8)

Приложение №1.

Арифметическая прогрессия.

Арифметической прогрессией называют последовательность (), у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число d. Число d – называют разностью прогрессии (арифметической). Другими словами, арифметическая прогрессия - это последовательность, заданная по правилу:  и d даны, =+d при n≥1.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:

=(+):2.

Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно более общее свойство:

=(+):2, при n≥k

Так же справедливы следующие формулы (- сумма n членов арифметической прогрессии)

=+ (n-1)∙d  =(+):2∙n.

Арифметическая прогрессия является линейной функцией y=kx+1, заданной на множестве натуральных чисел.

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объемов.

Большой популярностью, даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали равны сумме чисел по вертикали, и диагонали.

Приложение №2

Геометрическая прогрессия.

Геометрической прогрессией называют последовательность (), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное (для данной прогрессии) число q≠0. Число q называют знаменателем прогрессии. Другими словами геометрическая прогрессия- это последовательность, заданная по правилу: =q∙ при n≥1. Случай, когда  =0, малоинтересен: получается последовательность из одних 0. Поэтому в определение геометрической прогрессии часто включают ≠0.

Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего и предыдущего членов . Этот факт отражается в названии рассматриваемой прогрессии: геометрическая.

Верно и более общее свойство: , при n˃k.

Справедливы следующие формулы через :

==, при q≠1.

При q=1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом .

Геометрической прогрессией является функция вида y=c, заданная на множестве натуральных чисел.

Функция, которую можно задать формулой вида y=c, где a˃0 называется показательной. Свойства показательной функции будут рассмотрены в 10 классе.

Приложение№3

«Историки»

Задача из папируса Райнда.

1.«У семи лиц по семь кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

 Старинные русские задачи.

2. Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

«Книга об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи)

3. 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Приложение №4

«Ученые»

Перед нами стояла задача: выявить те процессы в животном и растительном мире, которые моделируются с помощью прогрессий. Оказалось, что это процессы размножения, развитие зародыша, возникновение эпидемий, увеличение наследственных заболеваний, в растениеводстве поражения культур болезнями. Процесс роста листовой пластинки, многие экологические процессы.

1. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рождённых одной бактерией за 7 минут?

 2.На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Сколько древесины будет на участке через 6 лет, если первоначально её запасы составляли 2,1 *  кубометров?

3.Самое большое животное Земного шара – синий кит. Масса новорожденного китенка примерно 3 т. В период кормления матерью он прибавляет в весе ежесуточно в среднем на 100 кг. Сколько весит китенок через 25 суток после рождения?

Приложение№5

«Практики»

1.Родители ко дню рождения Николая решили купить и обновить мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма денег будет у родителей Николая через 10 месяцев?

2. Виталий положил в банк 8000руб на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 9%. Каким станет этот вклад через 3 года? ответ округлить до целых. На сколько рублей вырос вклад?

3. На первом рабочем месте сборочного конвейера начинают собирать изделия из пяти деталей, затем на каждом из девяти следующих рабочих мест добавляются к изделию на две детали больше, чем на предыдущем. Какое количество деталей будет в изделии после прохождения 10 рабочих мест?

Приложение №6

«Эстеты»

1. Решите уравнение:, полагая, что левая часть сумма бесконечно убывающей прогрессии

2.Решить уравнение:

3.При каких значениях, a три корня уравнения (х-а) (-10х+9) =0 различны, и взятые в некотором порядке составляют арифметическую прогрессию.

Приложение №7

Приложение №8

Домашнее задание

1)    Решите уравнение:

полагая, что левая часть-сумма бесконечно убывающей геометрической

прогрессии.

2)    Морские мидии являются своеобразными живыми очистными сооружениями: 1 кг мидий ежесуточно очищает Ют воды. Определите массу мидий, необходимую для очистки 80000  загрязненных вод. На этом сюжете сконструируйте задачу и решите её.

Приложение №9

Правила соревнования.

Класс заранее разбивается на 4 группы, при этом максимально учитываются пожелания ребят. Затем жребием отбираем направление группы. Учащиеся внутри группы выбирают капитана (более успевающего учащегося). Группы в качестве домашнего коллективного задания готовят материал по своей теме и подбирают задачи для соперников.

Во время конкурса один из участников команды представляет подобранный материал, затем раздает задачи другим группам (задачи написаны на карточках и лежат лицом вниз, капитаны вытягивают карточки с номерами). На решение задачи дается 4-5 мин. Затем жюри и капитан «спрашивающей» команды оценивают верность решения. За верное и полное решение – 5 баллов. Если команда не справляется с заданием, ход решения рассказывает команда, предложившая задание. Не справившейся с заданием команде учитель-ведущий предлагает задание из банка задач по данной теме (Приложение №10), но задание оценивается лишь в 2 балла.

 За нарушение дисциплины и подсказки жюри может наложить штрафные очки (1 балл за 1первое замечание, 2 за второе и т.д.), а вы уже знаете, к чему это может привести.

Жюри записывает ход игры в оценочных листах.

Приложение №10

Банк дополнительных задач.

1.       В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

2.       Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

3.         Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день они проходи  на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

4.       При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.

5.       Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

6.       При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

7.       Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

8.        Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки?

9.       За один день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий -  на 3 га больше, чем в предыдущий. Сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней?

10.    Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15 – ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р 90 коп?