1Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Цель урока:

9.2.3.8
применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии для перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Длина отрезка АВ равна 2 единицы.


В1 – середина отрезка АВ. В2 – середина отрезка В1В. В3 – середина отрезка В2В и т.д. Длины отрезков образуют бесконечную геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен

А

В

В

В

В

В

1

2

3

4

1

2

1

4

1

8

1

;

;

;

;

...

.

Найдем сумму n первых членов этой прогрессии:




При увеличении числа слагаемых n значение дроби приближается к нулю .

Если n = 10, то

Если n = 15, то


Если n = 20, то

Следовательно, и

Следовательно: сумма n первых членов геометрической прогрессии


При увеличении n стремиться к 2.
Значит:

1

2

1

4

1

8

1

;

;

;

;

...

.

Пример 1

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии:

т.к.

условие: |q| < 1 выполняется.

Значит

Получим:

Пример 2

Представим бесконечную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.
0,(18)=0,18+0,0018+0,000018+… - геометрическая прогрессия q = 0,0018:0,18=0,01 т.е. |q|<1, значит


и окончательно:

Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами следующего квадрата и т. д. Найдите сумму периметров всех квадратов.

Периметры квадратов образуют геометрическую
прогрессию.

Выполните задания:

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

2. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(1); б) 0,(36).

Ответы:

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

2. Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(1) = ; б) 0,(36) = .

Молодцы!!!

Список использованной литературы
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. «Алгебра» Учебник для 9 класса средней школы. М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ.
Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 9 класса. – М.: Классикс Стиль, 2007. – 160 с.
Ершов А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы для 9 класса. – М.: Илекса, - 2007.
Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2003.
Симонович С.В., Евсеев Г.А. Практичекая информатика: Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс. – М.: АСТ-ПРЕСС: Инфорком- Пресс, 2001
Богатырев Г.И., Боковнев О.А. Математика для подготовительных курсов. – М.: Наука.
Брабрин В.М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. – М.: Наука.1990.
Леонтьев В.П. Новейшая энциклопедия порсонального компьютера 2005. – М.: ОЛМА-ПРЕСС Образование, 2005.
Интернет ресурсы:
http://mat.1september.ru
http://www.mathematics.ru
http://www.math.ru
http://www.mccme.ru
http://www.problems.ru
http://www.matematika.agava.ru
http://www.computer-museum.ru
http://inf.1september.ru
http://iit.metodist.ru
http://www.klyaksa.net