1Ықтималдық теориясының элементтері_геометриялық ықтималдықты

Геометрическая вероятность.

Теория вероятностей, 9 класс.

Цель обучения

9.3.2.5
применять геометрическую вероятность при решении задач;

Основной вопрос:

Как связано понятие вероятности с геометрией?

Задачи:
Провести серию опытов.
Сформулировать геометрическое понятие вероятности.
Сделать выводы. Подтвердить или опровергнуть гипотезу.
Решить задачи на нахождение вероятностей.

Серия опытов.

Серия опытов, приводящих к определению вероятности из геометрических соображений.

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в Казахстане?

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в Казахстане?

ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Казахстан.
Точнее, какую часть всей площади карты составляет Казахстан.
Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Общий случай: в некоторой ограниченной области G случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

G

Геометрическое определение вероятности

Если предположить, что попадание в любую точку области G равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей:

Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.
Площадь закрашенной части квадрата 16см2 – 4см2 = 12см2.
Значит,

Опыт3. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?

Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

Вывод.

Мы пришли к выводу, что наше предположение верно, т. е. дали верное геометрическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества G точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества G:

Решение тренировочных задач.

Задачи 1 – 4.

Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС;  3)МС; 4) МВ; 5) АВ?

Решение.
A={точка Х попадает на отрезок АМ}, АМ=2см, АВ=12см,

2) В ={точка Х попадает на отрезок АС}, АС=2см+4см=6см,

3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см,

4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,

5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},

А М С В

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?

Решение.
а)




б)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Решение.

Задача №4. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Решение:

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:


Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:


Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:


Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Итог.

Вопросы. Задача.

Вопросы:

Что такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)?
Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными?

Задачи.

№1. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

G

№2. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит  вписанному в круг квадрату

Решение: 
Пусть сторона квадрата равна а, тогда его диагональ d=а√2 является диаметром описанной окружности, ее радиус равен R= d/2 = a√2 /2.
P = Sквадр. / Sкруга = а2 / (пR2)  = a2 / (п*2a2 /4) = 2/п = 2 / 3,14 ≈ 0,64 .

№3. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному в круг  равностороннему треугольнику.

Решение.
Пусть сторона равностороннего 3-ка равна а. Тогда его площадь равна SΔ= a2√3/4.
Радиус описанной окружности равен Rоп= а/√3. Sкруга = п*Rоп2 = па2 /3.
Вероятность попадания точки в треугольник равна
Р = SΔ / Sкруга = (а2√3/4) / (пa2/3) = 3√3 /(4п) ≈ 0,41

№4. Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.