Аксиометрический метод txt

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №97»

Ленинского района города Нижнего Новгорода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конференция исследовательских работ

обучающихся

 

 

 

 

Аксиоматический метод в прошлом.

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Егорычев Данила Владимирович

Ученик 8 «А»

Руководитель: Камерина Елена Борисовна

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           

                                          город Нижний Новгород

2020 год                         

                                                                                                                                                                                         1

 

Оглавление

 

1.Введение………………………………………………………………3
2.Аксиомы: два понимания……………………………………...……4
3.Проблема аксиомы о параллельных прямых .….…………………5
4.Геометрия Лобачевского…………………………...........................6
1.     5.Создание аксиоматического метода ………………………………7
2.     6. Сущность аксиоматического метода ……………………………..8
3.     7. Заключение…………………………………………………………9   8. Список литературных источников……………………………….10                                                                                                                                             2
1.Введение         Аксиоматический метод — это способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем. При радикальном применении этого подхода математика сводится к чистой логике, из нее изгоняются такие вещи, как интуиция, наглядные геометрические представления, индуктивные рассуждения и так далее. Исчезает то, что составляет суть математического творчества.   Возникновение аксиоматического метода связано с именем Пифагора (V в. до н.э.), но впервые аксиоматический метод успешно применил Евклид в своей книге «Начала» в III в. до н.э. В последствии на аксиоматическом методе была построена сама математика.   Зачем же вы спросите тогда был придуман этот метод? Для ответа на этот вопрос нам нужно обратиться к самым истокам математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                         3

                            2.Аксиомы: два понимания

 

 

Как мы помним из школы, математические доказательства, аксиомы и теоремы появились в Древней Греции. Аксиоматическое построение геометрии было канонизировано в книге, по которой обучались математике многие поколения, — в «Началах» Евклида. Впрочем, в те времена понятие аксиомы понималось по-иному, чем теперь. До сих пор в школьных учебниках иногда говорится, что аксиомы — это очевидные истины, принимаемые без доказательства. В 19 веке это понятие сильно изменилось, потому что ушло слово «очевидные». Аксиомы перестали быть очевидными, они по-прежнему принимаются без доказательства, но могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. За этим небольшим, на первый взгляд, изменением стоит достаточно радикальная смена философской позиции — отказ от признания одной-единственной возможной математической реальности. Главную роль в таком изменении, безусловно, сыграла история возникновения неевклидовой геометрии, которая произошла в 19 веке благодаря работам таких ученых, как Николай    Иванович Лобачевский и Яшон Бойяи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                 4

 

                  3. Проблема аксиомы о параллельных прямых

 

 

 

История неевклидовой геометрии началась с попыток доказать так называемый пятый постулат Евклида — знаменитую аксиому о параллельных: через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение по своему характеру заметно отличалось от остальных аксиом Евклида. Многим казалось, что нужно его доказывать, оно не было столь же очевидным, как остальные аксиомы. По пытки эти столетиями не завершались успехом, многие математики предлагали свои «решения», в которых впоследствии другие математики находили ошибки. (Сейчас-то мы знаем, что эти попытки были заведомо обречены на неудачу, это был один из первых примеров недоказуемых математических утверждений).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                      

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                         5

                                 4.Геометрия Лобачевского  

Лишь в 19 веке было осознано, что, быть может, это утверждение на самом деле недоказуемо и существует какая-то другая, совсем отличная от нашей геометрия, в которой эта аксиома неверна. Что сделал Лобачевский? Он поступил так, как поступают часто математики, пытаясь доказать какое-то утверждение. Излюбленный прием — доказательство от противного: предположим, что данное утверждение неверно. Что же отсюда следует? Для доказательства теоремы математики пытаются вывести из сделанного предположения противоречие. Но в данном случае Лобачевский получал все новые математические, геометрические следствия из сделанного предположения, но они выстраивались в очень красивую, внутренне согласованную систему, которая тем не менее отличалась от привычной нам евклидовой. Перед его глазами разворачивался новый, непохожий на привычный нам мир неевклидовой геометрии. Это и привело Лобачевского к осознанию того, что такая геометрия возможна. При этом аксиома о параллельных в геометрии Лобачевского явно противоречила нашей обыденной геометрической интуиции: она не только не была интуитивно очевидной, но была с точки зрения этой интуиции ложной.

Однако одно дело представить себе, что такое в принципе возможно, а другое — доказать строго математически, что такая система аксиом для геометрии непротиворечива. Это было достигнуто еще на несколько десятилетий позже в трудах других математиков — Бельтрами, Клейна и Пуанкаре, которые предложили модели аксиом неевклидовой геометрии в рамках обычной евклидовой геометрии. Они фактически установили, что противоречивость геометрии Лобачевского влекла бы противоречивость привычной нам евклидовой геометрии. Верно и обратное, то есть с точки зрения логики обе системы оказываются совершенно равноправными.

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                   6

                         5.Создание аксиоматического метода 

 

Ситуация была осмыслена после выхода книги  Гильберта «Основания геометрии», он и предложил то понятие аксиоматического метода, с которого мы начали. Гильберт понял, что для того, чтобы разобраться с основаниями геометрии, необходимо полностью исключить из аксиом все, кроме логики. Он красочно выразил эту мысль следующим образом: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость»

Именно Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для элементарной геометрии, это произошло в самом конце 19 века. Таким образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических, утверждений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                   7

 

                       6.Сущность аксиоматического метода

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой. Так говорил Английский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики Поль Дирак.

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма — понятие четырехугольника, для четырехугольника — понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями. Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

 

 

 

 

 

 

                                                                                                      8

                                             7.Заключение

В ходе работы я выяснил, что аксиоматический метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым содержательным предметным областям.

Отдельно стоит сказать о преподавании математики. Нет ничего хуже, чем строить обучение школьников на выполнении механических действий (алгоритмов) или же на построении формальных логических выводов. Так можно загубить в человеке любое творческое начало. Соответственно, при обучении математике не стоит подходить с позиции строгого аксиоматического метода в смысле Гильберта — не для того он был создан.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                            9

                                                                                                                            

                                                                                                                           8.Литературные источники.

 

Яндекс - https://yandex.ru/

 

Mathematics- https://mathematics.ru

 

Википедия- https://ru.wikipedia.org

 

Studopedia - https://studopedia.ru/11_26198_elementi-topologii.html

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                       10

                                                                                                                            

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru