алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Простейшие вероятностные задачи - Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

Цель: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение среднего арифметического.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172. Найдите среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Вариант 2

1. Определение моды измерений.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183. Найдите среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

III. Изучение нового материала

В классической математике работают с реальной моделью ситуации (например, встреча двух пешеходов), которая однозначно описывается с помощью математического аппарата. В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти (например, не оговоренная заранее встреча двух друзей в кафе). Такие непредсказуемые события называют случайными. Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. Естественно, как и во всей остальной математике, выбираемая модель идеализирована (например, смеси веществ считаются идеально перемешанными, изменение скорости тела происходит мгновенно и т. д.). Поэтому, как мы наблюдаем в жизни, почти небывалое событие происходит, а ожидаемое - нет.

Теперь разберемся с основными понятиями теории вероятности. При этом будем считать, что случайные события равновероятны (или равновозможны), - идеализированная модель.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события. Необходимо определить:

1) число N всех равновозможных исходов данного испытания;

2) количество N(A) исходов, в которых наступает событие А;

3) частное  равняется вероятности события А, которое обозначают символом Р(А), т. е. 

Пример 1

Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадет: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.

Всего имеется N = 6 возможных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N(A) = 1 происходит интересующее нас событие А - выпадение трех очков. Вероятность этого события 

б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие В: выпадение числа очков, кратных трем: выпадение или трех, или шести очков. Вероятность такого события: 

в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие С: выпадение числа очков больше трех: выпадение 4, 5 или 6 очков. Вероятность этого события 

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D наступает в четырех случаях, т. е. N(D) = 4. Вероятность такого события: 

Пример 2

Найдем вероятность того, что при вытаскивании одной карты из колоды (52 карты) эта карта окажется: а) дамой пик; б) дамой любой масти; в) картой пиковой масти; г) картой черной масти.

Всего имеем N = 52 возможных исхода. Считаем, что эти исходы равновероятны.

а) Очевидно, что в колоде только одна дама пик. Поэтому только при одном из исходов N(A) = 1 происходит интересующее нас событие А - выпадение дамы пик. Вероятность этого события 

б) Также в колоде имеются карты четырех мастей, в том числе четыре дамы. Поэтому при четырех исходах N(B) = 4 происходит нужное нам событие В - выпадение любой дамы. Вероятность такого события 

в) В колоде имеется по 13 карт каждой масти, в том числе и пиковой. Поэтому число интересующих нас исходов N(C) = 13 - выпадение карты пиковой масти. Вероятность этого события 

г) В колоде имеются 26 карт черной масти и 26 карт красной масти. Число интересующих нас исходов N(D) = 26 - выпадение карты черной масти. Вероятность такого события 

При вычислении вероятности часто используют правило умножения. Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, необходимо перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 3

Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях: 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 - четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6 ∙ 6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события 

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием. Например, событие, состоящее в том, что при бросании игральной кости выпадет натуральное число очков. Вероятность достоверного события равна 1. Событие, которое не может произойти, называют невозможным. Например, выпадение 9 очков на игральной кости. Вероятность невозможного события равна 0. Таким образом, вероятность Р(А) некоторого события 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Заметим, что понятие вероятности позволяет решать практические задачи.

Пример 4

Как приближенно посчитать число рыб в озере?

Пусть в озере плавает х рыб. Бросаем сеть и отлавливаем n рыб. Вероятность поймать одну рыбу  Пометим этих рыб и выпустим в озеро. Через несколько дней в ту же погоду, в том же месте ставим ту же сеть. Предположим, что поймали m рыб, из них k — меченых. Меченая рыба поймалась с вероятностью  Получаем равенство:  откуда  Разумеется, точность такого эксперимента будет невысокой, но для оценки числа рыб в озере вполне допустима.

При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий. События А и В называют противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события B, а ненаступление события А - наступление события В. Событие, противоположное событию А, обозначают символом . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 

Пример 5

Пусть бросают игральную кость. Обозначим события: А - выпадения четного числа очков, В - выпадение нечетного числа очков. Очевидно, что А и В - противоположные события, т. е.  При этом 

Пример 6

Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 10?

Общее число равновозможных исходов этого испытания равно 36. Пусть событие А означает, что сумма выпавших на двух кубиках очков меньше 10. Так как благоприятным для события А является большое число исходов, то удобно сначала найти вероятность противоположного ему события , которое означает, что сумма выпавших очков больше или равна 10. Благоприятными для события  являются: 6 + 4; 6 + 5; 6 + 6; 5 + 6; 4 + 6. Поэтому вероятность  и 

Еще раз отметим два основных правила, используемых в теории вероятностей: правило сложения вероятностей и правило умножения вероятностей.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т. е. наступление одного из них исключает наступление другого.

Пример 7

Пусть в мешке находятся 15 шаров: 7 белых, 5 красных и 3 зеленых. Из мешка наугад вынимают один шар. Рассмотрим следующие события: событие А - шар оказался красным; событие В - шар оказался зеленым (очевидно, что события А и В несовместны); событие С - шар оказался не белым (красным или зеленым). Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В.

Найдем вероятности событий А, В, С. Для каждого испытания (извлечение из мешка одного шара) равновозможными являются 15 исходов. Из них для события А благоприятны 5 исходов, для события В - 3 исхода, для события С - 8 исходов. Находим вероятности этих событий:  Видно, что Р(С) = Р(А) + Р(В).

Имеем правило сложения вероятностей: если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А и В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Пример 8

На учениях летчик получил задание “уничтожить” три расположенных рядом склада боеприпасов. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,1, во второй - 0,15, в третий - 0,2. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв остальных складов. Найдем вероятность того, что склады будут уничтожены.

Обозначим события: А - попадание в первый склад, В - попадание во второй склад, С - попадание в третий склад (эти события несовместны), D - уничтожение складов. По правилу сложения вероятностей P(D) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,1 + 0,15 + 0,2 = 0,45.

Два события называют независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Пример 9

Пусть в одном мешке находятся 10 шариков, из которых 3 белых, а в другом - 15 шариков, из которых 7 белых. Из каждого мешка наугад вытаскивают по одному шарику. Какова вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?

Рассмотрим события: А — из первого мешка вынимают белый шарик; В - из второго мешка вынимают белый шарик (события независимы). Для события А благоприятными являются 3 исхода из 10 и  для события В - 7 исходов из 15 и 

Рассмотрим событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В. Общее число равновозможных исходов испытания, в которых событие С наступает или не наступает, равно 10 ∙ 15. Действительно, каждому из 10 извлечений шарика из первого мешка соответствует 15 возможностей извлечения шарика из второго мешка. Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вынутых шарика являются белыми. Каждому из трех возможных извлечений белого шарика из первого мешка соответствуют семь возможностей извлечения белого шарика из второго мешка, т. е. число исходов, благоприятных для события С, равно 3 ∙ 7. Поэтому получаем:  или 

Имеем правило умножения вероятностей: если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В, т. е. 

Пример 10

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости четного числа очков и на второй - трех очков?

Обозначим события: А - появление на первой кости четного числа очков, В - появление на второй кости трех очков, С - появление на первой кости четного числа очков и на второй кости трех очков (т. е. событие С состоит в совместном появлении событий А и В). События А и В независимы, тогда 

IV. Контрольные вопросы

1. Какие события называют несовместными?

2. Правило сложения вероятностей.

3. Свойство вероятностей противоположных событий.

4. Какие события называют независимыми?

5. Правило умножения вероятностей.

V. Задание на уроках

§ 51, № 1, 3, 4, 9, 10, 12.

VI. Задание на дом

§ 51, № 2, 5, 6, 7, 8, 11.

VII. Подведение итогов уроков