АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ

Аналитическая и геометрическая модели
числового промежутка

Цели: ввести понятие числового промежутка как геометрической модели числового неравенства; рассмотреть различные виды числовых промежутков; формировать умения изображать на координатной прямой числовой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства –1 < 3 прибавить число 4; число –2;

б) из обеих частей неравенства –15 < –2 вычесть число 3; число –5;

в) обе части неравенства 6 > –1 умножить на 8; на –5;

г) обе части неравенства 9 < 27 разделить на 9; на –3; на –1.

2. Заполните пустые квадратики:

а)                  б)                        в) 

       А В =                               А В =                         А В =

III. Объяснение нового материала.

1. А к т у а л и з а ц и я   з н а н и й.

Напоминаем учащимся, что алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

Математические модели бывают не только алгебраические (в виде числового равенства, уравнения, неравенства), но и словесные (в виде словесного описания реальной ситуации), графические (в виде схемы, графика, чертежа). Учащиеся уже знакомы со всеми этими видами моделей. Напоминаем, что алгебраическую модель ещё называют аналитической, а графическую – геометрической. Чтобы свободно оперировать любыми видами математических моделей, нужно учиться переходить от одного из них к другому.

Н а п р и м е р:

2. В в е д е н и е   н о в о г о   п о н я т и я.

Работаем с представленными выше моделями, причём идём в обратном порядке: от словесной модели № 2 к словесной модели № 1.

Возьмём произвольную точку х на координатной прямой, причём эта точка лежит между точками a и b. Это означает, что ей соответствует число х, которое больше a и меньше b, то есть a < x < b. Верно и обратное: для любой точки, лежащей между точками a и b, будет выполняться это неравенство.

О п р е д е л е н и е:  Множество  чисел,  удовлетворяющих  условию
a < x < b, называют интервалом и обозначают так: (a; b).

На  рисунке  (геометрическая  модель)  это  множество  изображают  в виде:

Светлые кружочки означают, что числа a и b не принадлежат этому множеству.

Аналогично вводим определения отрезка, полуинтервала, числового луча, открытого числового луча и числовой прямой.

О п р е д е л е н и е:  Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы, числовые лучи, открытые числовые лучи и числовая прямая называются числовыми промежутками.

3. О п е р а ц и и   с   р а з л и ч н ы м и   м о д е л я м и.

Рассматриваем на с. 173 учебника таблицу, в которой представлены такие модели числовых промежутков, как:

– аналитическая (неравенство, задающее числовой промежуток), например: a ≤ x ≤ b;

– словесная (обозначение и название числового промежутка), например: [a; b] – числовой промежуток от a до b;

– геометрическая (изображение числового промежутка на координатной прямой), например:

IV. Формирование умений и навыков.

Все  упражнения,  решаемые  на  этом  уроке,  можно разбить на  т р и
г р у п п ы:

1) Изобразить на координатной прямой числовой промежуток по его обозначению (создание геометрической модели).

2) Назвать числовой промежуток, изображённый на координатной прямой, и обозначить его (создание словесной модели).

3) Изобразить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать неравенство, соответствующее изображенному или обозначенному числовому промежутку (переход от аналитической к геометрической модели и наоборот).

О с о б о е   в н и м а н и е  уделяем:

– правильным формулировкам;

– верному использованию круглых и квадратных скобок при обозначении числового промежутка;

– верному использованию светлых кружков («выколотых» точек) и тёмных при изображении числовых промежутков на координатной прямой.

1. № 812 (а, б, д, е), № 813, № 814.

2. № 815 (а, г), № 816 (в, г).

Р е ш е н и е

№ 815.

а) х ≥ –2;                         ;      [–2; +∞).

г) х < –5;                          ;        (–∞; –5).

№ 816.

в) –5 ≤ х ≤ –3; ;       .

г) 2 < х ≤ 6,1;                  ;       (–2; 6,1].

3. № 817 (а) – устно, № 819 (а, в).

Р е ш е н и е

№ 819.

а) ≈ 1,4,        (1,5; 2,4).

в) ≈ 2,2,        (1,5; 2,4).

4. Задайте неравенством числовой промежуток:

а)                  ж) х [2;7,3];

б)                  з) y (–∞; 100);

в)                   и) х (–8,3; 0];

г)                   к) y (0; +∞);

д)                  л) х (–15; –4);

е)                    м) y [–60; 100).

Р е ш е н и е

а) 0 < x ≤ 14;                              ж) 2 ≤ х ≤ 7,3;

б) y < 17,5;                                  з) у < 100;

в) x ≥;                                   и) –8,3 < x ≤ 0;

г) π < x < 3π;                              к) у > 0;

д) –11 ≤ у ≤ –4;              л) –15 < x < –4;

е) –15 ≤ у < 0;                            м) –60 ≤ у < 100.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что называется числовым промежутком?

– Какие виды числовых промежутков существуют?

– Как выглядит геометрическая модель числового промежутка?

– Как записать аналитическую модель числового промежутка с помощью неравенства?

Домашнее задание: № 812 (в, г, ж, з), № 815 (б, в), № 816 (а, б), № 817 (б), № 819 (б, г).