Арифм прогр алғашқы n мүшесінің қосындысы (1)
Оценка 4.6

Арифм прогр алғашқы n мүшесінің қосындысы (1)

Оценка 4.6
pptx
13.05.2020
Арифм прогр алғашқы n мүшесінің қосындысы (1)
Арифм прогр алғашқы n мүшесінің қосындысы (1).pptx

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

Оқу мақсаты: 9.2.3.5 арифметикалық прогрессиялардың n-ші мүшесін, алғашқы n мүшелерінің қосындысын есептеу формулаларын, сипаттамалық қасиетін білу және қолдану

Оқу мақсаты: 9.2.3.5 арифметикалық прогрессиялардың n-ші мүшесін, алғашқы n мүшелерінің қосындысын есептеу формулаларын, сипаттамалық қасиетін білу және қолдану

Оқу мақсаты:

9.2.3.5 арифметикалық прогрессиялардың n-ші мүшесін, алғашқы n мүшелерінің қосындысын есептеу формулаларын, сипаттамалық қасиетін білу және қолдану.

Сабақ кезеңдері:
Математикалық диктант (5 мин).
Жаңа тақырыпты меңгеру (10 мин).
Топпен жұмыс (8 мин).

Математикалық диктант 1. n -ші мүшенің формуласымен берілген келесі тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия болып табылады? а) сn=3n-7 ә) cn=2n(n+1) б) cn= 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+2 𝑛+2…

Математикалық диктант 1. n -ші мүшенің формуласымен берілген келесі тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия болып табылады? а) сn=3n-7 ә) cn=2n(n+1) б) cn= 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+2 𝑛+2…

Математикалық диктант

1. n-ші мүшенің формуласымен берілген келесі тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия болып табылады?
а) сn=3n-7 ә) cn=2n(n+1) б) cn= 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+2 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+2 𝑛+1
2. (xn) арифметикалық прогрессия берілген:
x1; x2; x3; 29; 32; x6; ... .
Табыңдар:
a) d
ә) x3
б) x6
в) x1
г) x2

Проблемалық сұрақ. 20; 23; 26; 29; 32; 35; … арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген

Проблемалық сұрақ. 20; 23; 26; 29; 32; 35; … арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген

Проблемалық сұрақ.

20; 23; 26; 29; 32; 35; … арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген.
1) Aрифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын тап.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы 30 мүшесінің қосындысын тап.
Осы есепті оңай шешуге болмай ма?

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қорытып шығару және қолдану

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қорытып шығару және қолдану


Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қорытып шығару және қолдану

Математика тарихынан Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы неміс математигі

Математика тарихынан Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы неміс математигі

Математика тарихынан


Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы неміс математигі Карл Гаусстың (1777-1855 ж.ж.) өмірінің бір мезетімен байланысты. Ол 9 жаста болғанда мұғалім сабақта мынадай есеп ұсынады: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын тап.
Бір минуттан кейін оқушылардың біреуі (бұл Гаусс болатын) «Мен шығардым» дегенді естігенде мұғалім таң қалады. Гаусс қалай шығарды?

Тізбектегі бірінші мен соңғы мүшелердің қосындысы 101 болатынын, яғни қосындының ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан қосылғыштарды қосқанда әр қосындының мәні 101-ге тең болатынын анықтаған

Тізбектегі бірінші мен соңғы мүшелердің қосындысы 101 болатынын, яғни қосындының ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан қосылғыштарды қосқанда әр қосындының мәні 101-ге тең болатынын анықтаған

1+2+3+4+5…..+98+99+100=?

Тізбектегі бірінші мен соңғы мүшелердің қосындысы 101 болатынын, яғни қосындының ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан қосылғыштарды қосқанда әр қосындының мәні
101-ге тең болатынын анықтаған.

1-ден 100-ге дейінгі сандарды қос-қостан топтаған кезде 50 жұп алынатындығын ескерген.
Жұптар санын, яғни 50-ді 101-ге көбейтіп 5050 санын алады.

Демек, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу :

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу :

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу:

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 деп белгілейік. Қосындыны өсу ретімен жазып, оның астына қосындыны кему ретімен сәйкестендіріп жазамыз:
𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 + …+ 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−2 𝑛𝑛−2 𝑎 𝑛−2 + ...+ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1
Теңдіктерді мүшелеп қосатын болсақ:
2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + …+( 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 )+( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 )
Жақшалардың ішіндегі әр қосынды 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ге тең. Шынымен,
𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 +𝑑 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑 𝑎 1 +𝑑 + 𝑎 𝑛 −𝑑 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 −𝑑𝑑 𝑎 𝑛 −𝑑 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 + 𝑎 𝑛−2 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−2 𝑛𝑛−2 𝑎 𝑛−2 = 𝑎 2 +𝑑 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +𝑑𝑑 𝑎 2 +𝑑 + 𝑎 𝑛−1 −𝑑 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 −𝑑𝑑 𝑎 𝑛−1 −𝑑 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
Мұндай жұптардың саны n.

Біз арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝑛𝑛 мүшесінің қосындысы туралы теореманы дәлелдедік

Біз арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝑛𝑛 мүшесінің қосындысы туралы теореманы дәлелдедік

2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛
2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 ∙𝑛𝑛
 
𝑺 𝒏 𝑺𝑺 𝑺 𝒏 𝒏𝒏 𝑺 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝒂 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝟏 𝟏𝟏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 ∙𝒏𝒏 (1)
Біз арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝑛𝑛 мүшесінің қосындысы туралы теореманы дәлелдедік.
Теорема. Арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝒏𝒏 мүшесінің қосындысы шеткі мүшелерінің қосындысының жартысын барлық мүшелер санына көбейткенге тең.

Осы формуладағы 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ші мүшені 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 мен d арқылы өрнектейік

Осы формуладағы 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ші мүшені 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 мен d арқылы өрнектейік


𝑺 𝒏 𝑺𝑺 𝑺 𝒏 𝒏𝒏 𝑺 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝒂 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝟏 𝟏𝟏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 ∙𝒏𝒏 (1)

Осы формуладағы 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ші мүшені 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 мен d
арқылы өрнектейік. 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1) формуласын (1) формулаға қоятын болсақ:

𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2 ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1))𝑛𝑛 ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2 2 ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2

𝐒 𝐧 𝐒𝐒 𝐒 𝐧 𝐧𝐧 𝐒 𝐧 = 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟏 𝐚𝐚 𝐚 𝟏 𝟏𝟏 𝐚 𝟏 +𝐝𝐝(𝐧𝐧−𝟏𝟏) 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 ∙𝐧𝐧 (2)

Проблемалық сұрақ. 20; 23; 26; 29; 32; 35 арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген

Проблемалық сұрақ. 20; 23; 26; 29; 32; 35 арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген

Проблемалық сұрақ.

20; 23; 26; 29; 32; 35 арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген.
1) Aрифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын тап.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы 30 мүшесінің қосындысын тап.
Осы есепті оңай шешуге болмай ма?

Топпен жұмыс №1. Арифметикалық прогрессия берілген: 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =56; 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 =−14

Топпен жұмыс №1. Арифметикалық прогрессия берілген: 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =56; 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 =−14

Топпен жұмыс

№1. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =56; 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 =−14. Табу керек: 𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 .
№2. Арифметикалық прогрессия болатын
−5+ ...+49=616 қосындысы берілген. Тізбектің неше мүшесі бар?
№3. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−7; 𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 =−90. d-ны табыңыз.
№4. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑑𝑑=4; 𝑆 9 𝑆𝑆 𝑆 9 9 𝑆 9 =−189. 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 -ді табыңыз

Рефлексия Біз оқу мақсатымызды қалай орындадық?

Рефлексия Біз оқу мақсатымызды қалай орындадық?

Рефлексия

Біз оқу мақсатымызды қалай орындадық?
Сабақтағы жұмысымызды қалай бағалар едік?
Сабақты қандай көңіл-күймен аяқтап жатырмыз?

Скачать файл