Арифм прогр алғашқы n мүшесінің қосындысы (1)

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

9.2.3.5 арифметикалық прогрессиялардың n-ші мүшесін, алғашқы n мүшелерінің қосындысын есептеу формулаларын, сипаттамалық қасиетін білу және қолдану.

Сабақ кезеңдері:
Математикалық диктант (5 мин).
Жаңа тақырыпты меңгеру (10 мин).
Топпен жұмыс (8 мин).

Математикалық диктант

1. n-ші мүшенің формуласымен берілген келесі тізбектердің қайсысы арифметикалық прогрессия болып табылады?
а) сn=3n-7 ә) cn=2n(n+1) б) cn= 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+2 𝑛+2 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+2 𝑛+1
2. (xn) арифметикалық прогрессия берілген:
x1; x2; x3; 29; 32; x6; ... .
Табыңдар:
a) d
ә) x3
б) x6
в) x1
г) x2

20; 23; 26; 29; 32; 35; … арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген.
1) Aрифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын тап.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы 30 мүшесінің қосындысын тап.
Осы есепті оңай шешуге болмай ма?

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қорытып шығару және қолдану

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы неміс математигі Карл Гаусстың (1777-1855 ж.ж.) өмірінің бір мезетімен байланысты. Ол 9 жаста болғанда мұғалім сабақта мынадай есеп ұсынады: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын тап.
Бір минуттан кейін оқушылардың біреуі (бұл Гаусс болатын) «Мен шығардым» дегенді естігенде мұғалім таң қалады. Гаусс қалай шығарды?

1+2+3+4+5…..+98+99+100=?

Тізбектегі бірінші мен соңғы мүшелердің қосындысы 101 болатынын, яғни қосындының ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан қосылғыштарды қосқанда әр қосындының мәні
101-ге тең болатынын анықтаған.

1-ден 100-ге дейінгі сандарды қос-қостан топтаған кезде 50 жұп алынатындығын ескерген.
Жұптар санын, яғни 50-ді 101-ге көбейтіп 5050 санын алады.

Демек, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу:

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 деп белгілейік. Қосындыны өсу ретімен жазып, оның астына қосындыны кему ретімен сәйкестендіріп жазамыз:
𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 + …+ 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−2 𝑛𝑛−2 𝑎 𝑛−2 + ...+ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1
Теңдіктерді мүшелеп қосатын болсақ:
2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + …+( 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 )+( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 )
Жақшалардың ішіндегі әр қосынды 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ге тең. Шынымен,
𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 +𝑑 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑 𝑎 1 +𝑑 + 𝑎 𝑛 −𝑑 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 −𝑑𝑑 𝑎 𝑛 −𝑑 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 + 𝑎 𝑛−2 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−2 𝑛𝑛−2 𝑎 𝑛−2 = 𝑎 2 +𝑑 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +𝑑𝑑 𝑎 2 +𝑑 + 𝑎 𝑛−1 −𝑑 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 −𝑑𝑑 𝑎 𝑛−1 −𝑑 = 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛
Мұндай жұптардың саны n.

2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑎 𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑎 𝑛−1 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 + 𝑎 2 + 𝑎 𝑛−1 + ...+( 𝑎 𝑛 + 𝑎 1 ) 𝑛
2 𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 ∙𝑛𝑛
 
𝑺 𝒏 𝑺𝑺 𝑺 𝒏 𝒏𝒏 𝑺 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝒂 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝟏 𝟏𝟏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 ∙𝒏𝒏 (1)
Біз арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝑛𝑛 мүшесінің қосындысы туралы теореманы дәлелдедік.
Теорема. Арифметикалық прогрессияның алғашқы 𝒏𝒏 мүшесінің қосындысы шеткі мүшелерінің қосындысының жартысын барлық мүшелер санына көбейткенге тең.

𝑺 𝒏 𝑺𝑺 𝑺 𝒏 𝒏𝒏 𝑺 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝒂 𝟏 𝒂𝒂 𝒂 𝟏 𝟏𝟏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝒏 𝟐 ∙𝒏𝒏 (1)

Осы формуладағы 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 -ші мүшені 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 мен d
арқылы өрнектейік. 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1) формуласын (1) формулаға қоятын болсақ:

𝑆 𝑛 𝑆𝑆 𝑆 𝑛 𝑛𝑛 𝑆 𝑛 = ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2 ( 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 + 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 +𝑑𝑑(𝑛𝑛−1))𝑛𝑛 ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2 2 ( 𝑎 1 + 𝑎 1 +𝑑(𝑛−1))𝑛 2

𝐒 𝐧 𝐒𝐒 𝐒 𝐧 𝐧𝐧 𝐒 𝐧 = 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 𝟐𝟐 𝐚 𝟏 𝐚𝐚 𝐚 𝟏 𝟏𝟏 𝐚 𝟏 +𝐝𝐝(𝐧𝐧−𝟏𝟏) 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 𝟐𝟐 𝟐 𝐚 𝟏 +𝐝(𝐧−𝟏) 𝟐 ∙𝐧𝐧 (2)

20; 23; 26; 29; 32; 35 арифметикалық прогрессия құрайтын тізбек берілген.
1) Aрифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын тап.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы 30 мүшесінің қосындысын тап.
Осы есепті оңай шешуге болмай ма?

№1. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =56; 𝑎 11 𝑎𝑎 𝑎 11 11 𝑎 11 =−14. Табу керек: 𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 .
№2. Арифметикалық прогрессия болатын
−5+ ...+49=616 қосындысы берілген. Тізбектің неше мүшесі бар?
№3. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 =−7; 𝑆 15 𝑆𝑆 𝑆 15 15 𝑆 15 =−90. d-ны табыңыз.
№4. Арифметикалық прогрессия берілген:
𝑑𝑑=4; 𝑆 9 𝑆𝑆 𝑆 9 9 𝑆 9 =−189. 𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1 1 𝑎 1 -ді табыңыз

Біз оқу мақсатымызды қалай орындадық?
Сабақтағы жұмысымызды қалай бағалар едік?
Сабақты қандай көңіл-күймен аяқтап жатырмыз?