“Арифметика комплексных чисел”.

“Арифметика комплексных чисел”. Методические рекомендации Данный   курс   предназначен   для   изучения   в   старших   классах   средней школы,   где   уже   существует   определенная   база   знаний   и   сформулированы прочные навыки выполнения арифметических операций.  Школьники знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, изучена теория делимости кольца целых рациональных чисел. Наличие же в данном возрасте более полного, глубокого, разностороннего мышления и возможности   самостоятельно   выделять   общее   и   частное,  благоприятствует восприятию этого факультативного курса. Первые четыре занятия посвящены знакомству с самими комплексными числами,   правилами   выполнения   действий   над   ними.   Рассматривается тригонометрическая   и   алгебраическая   форма   записи   комплексных   чисел. Целесообразно при объяснении нового материала пользоваться слайдами или плакатами.(см.Приложения). Если   класс   с   углубленным   изучением   естественно­математических дисциплин, то материал первых четырех занятий можно только повторить, а потом задать вопросы, чтобы проверить уровень усвоения материала. Так, например ответы на вопросы: 1. Можно ли назвать число –7i противоположным числу 7i? 2. Какое множество образует пересечение множества всех   действительных чисел с множеством всех мнимых? 3. Как изображается комплексное число на координатной плоскости? покажут   уровень   усвоения   материала   и   помогут   выбрать   учителю оптимальный темп каждого урока. Возможность   по­разному   формулировать   задания   способствует сообразительности и находчивости учащихся. Опираясь   на   знания   полученные   при   изучении   математики   и   учитывая возраст   учащихся,   многие   вычислительные   задания   можно   предложить школьникам   попробовать   выполнить   самостоятельно,   в   случае   неудачи, учитель дает подсказку. Изучение   “традиционной   части   ”   позволяет   повторить   и   закрепить материал программного содержания.   Так   например,   при   рассмотрении   тригонометрической   формы   записи комплексного   числа   учитель   имеет     возможность   вспомнить   с   учащимися определения   тригонометрических   функций,   их   основные   свойства,   связь   с геометрией,   а   также   повторить   тригонометрические   формулы,   которые вызывают затруднения при запоминании. Основные понятия  этого блока : комплексные числа и действия над ними, число  i,   мнимые   числа,   действительные   числа,   как   часть   множества комплексных чисел. Главная методическая особенность состоит в том, что комплексные числа определяются   как   формальные   выражения  a+bi,  где  a  и  b  действительные числа. Говорим о формальных выражениях, не приписывая никакого смысла знакам  + и i, при помощи которых они составляются. Эти   выражения   являются   совершенно   новыми   объектами,   и   с   самого начала надо договориться о том, какие из них считать равными и определять действия над ними. Завершая рассказ о действиях над комплексными числами следует   подчеркнуть,   что   четыре   основных   действия(сложение,  вычитание, умножение   и  деление)   обладают   теми   же   свойствами,  что   и  действия   над действительными числами. Рассматривая выражение вида a+0i,  можно убедиться, что их арифметика совпадает   с   арифметикой   действительных   чисел.   В   самом   деле,   вычисляя сумму и произведение чисел  z1=  a+0i  и  z2=с+0i, получим (a+0i)+(с+0i)=(a+c) +0i и (a+0i)( с+0i)=ас+0i, откуда видно, что сумме чисел z1+ z2  соответствует сумма действительных чисел а+с, произведению z1* z2 произведение ас. Поскольку   соответствие   между   комплексными   числами   вида  a+0i  и действительными числами взаимно­однозначно, то можно число a+0i считать раным соответствующему ему действительному числу а. В   результате   такого   отождествления   множество   действительных   чисел становиться частью множества комплексных чисел. Обозначив комплексное число 0+1i   через  i  и , убедившись в том, что число 0+bi   можно истолковать как произведение действительного числа b и числа i, получаем возможность рассматривать любое комплексное число как сумму комплексного числа а= a+0i и произведения комплексных чисел b=b+0i и i=0+1i. А так как  i2=(0+1i)( 0+1i)= ­1+0i  = ­1, то полезно подчеркнуть, что при выполнении   действий   над  комплексными  числами   нет   надобности   помнить формальные определения, а   можно действовать как в случае с обычными выражениями с переменными, заменяя i2  на –1. При   изучении   геометрического   изображения   комплексного   числа   с помощью точки плоскости важно подчеркнуть, что не только комплексному числу z=a+bi ставится в соответствие точка(a, b) координатной плоскости, но и всякая точка плоскости является образом некоторого комплексного числа, т.е.   соответствие   между   точками   плоскости   и   комплексными   числами является взаимно­однозначным. Принято термином “комплексная плоскость” обозначать   координатную   плоскость,   каждой   точке   которой   поставлено   в соответствие комплексное число. Геометрическое   изображение   комплексных   чисел   в   виде   векторов позволяет   сразу   же   дать   геометрическую   интерпретацию   сложения   и вычитания комплексных чисел. Модуль комплексного числа есть расстояние от точки Z до точки О, или длина вектора ОZ. Таким образом для z=a+bi ,  z =a2+b2  . Здесь полезно заметить, что для действительных чисел а=  a+0i  модуль    ,т.е   совпадает   с   привычным   понятием   модуля равен   а =a2+02 действительного числа и является расстоянием от точки числовой прямой до начала отсчета. Главным аргументом  argZ  комплексного числа  z  называется угол между положительным   направлением   оси   абсцисс   и   направлением   на   точку, изображающую данное число, отсчитываемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого определения 0argZ2. Встречается   и   другое   определение   главного   аргумента,   при   котором оказывается   ­