Числовая последовательность

Вознесенская средняя школа Числовая последовательн ость Открытый урок по математике в 9 классе Гептина Галина Ивановна 2013­2014 учебный год Цели:    Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n­ый член  последовательности»; познакомить со способами задания последовательности. Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе, сообразительности. Воспитательная: воспитание активности и аккуратности. Предлагаю Вашему вниманию презентацию, разработанную в программе Microsoft Power Point, для 9 класса по теме  “ Числовые последовательности ”, как изложение к объяснительному тексту. Все слайды меняются по щелчку, что дает  возможность остановиться и подробно разобрать любой вопрос. Во всех слайдах используется анимация, которая  поможет ученикам проверить себя и четко запомнить интересно представленный материал. Приложение1 Ход урока: 1. Организационный момент Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием «последовательность», узнаем, какими могут быть последовательности и  рассмотрим способы задания последовательностей. 2. Подготовка обучающихся к активной учебно­познавательной деятельности на основном этапе урока (работа в  группах, дифференцированный подход) Каждая группа учеников получает свое задание. После его выполнения отчитывается каждая группа перед классом,  начинают ученики 1 группы. Задание для учеников 1 группы: Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий. Ответы учеников 1 группы: дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно  происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д. Задание для учеников 2 и 3 групп: ученикам предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки. 2 группа: В порядке возрастания положительные нечетные числа В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным  1 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6… 1; 3; 5; 7; 9; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 5; 10; 15; 20; 25; … 3 группа: найдите закономерности 1; 4; 7; 10; 13; … Увеличение на 3 10; 19; 37; 73; 145; … Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2  раза 6; 8; 16; 18; 36; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1 Ответы 2 группы: 1. 2. 3. В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9; … ) В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…) В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25; …) Ответы 3 группы: 1. 2. 3. 1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3) 10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1) 6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза) 3. Изучение нового материала Рассмотренные нами числовые ряды и есть примеры числовых последовательностей. Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, и т. д., n­ным членами  последовательности. Обозначают члены последовательности так а1; а2; а3; а4; … аn; Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими. Задания для устной работы 1. 2. 3. 4. Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а1; а4; а10; аn; Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да) Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999) Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; ­21; ­15; …? (нет, так как нельзя по первым шести  членам обнаружить какую­нибудь закономерность) Существуют различные способы, которые позволяют задать последовательность. С помощью формулы n­ого члена последовательности (аналитический способ). Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если  хn=3n+2, то х5=3.5+2=17; х45=3.45+2=137. Рекуррентный способ Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько),  называютрекуррентной (от латинского слова recurro– возвращаться). Например, последовательность, заданную правилом а1=1; аn+1= аn +3 можно записать с многоточием: 1; 4; 7; 10; 13; … 4. Закрепление изученного материала (работа в группах, дифференцированный подход) Каждая группа получает индивидуальное задание, которое выполняют самостоятельно. При выполнении заданий ребята  обсуждают решение и записывают его в тетрадь. Даны последовательности: аn=n4 ; аn=(­1)nn2 ; аn=n +4; аn=­n­4; аn=2n ­5; аn=3n ­1. Задание для учеников 1 группы:   последовательности: 1; ___; 81; ___; 625; ... ­1; 4; ___; ___; ­25; … 5; ___; ___; ___; 9; … ___; ­6; ___; ___ ; ­9; … ___; ___; 3; 11; ___; … 2; 8; ___; ___; ___; … Задание для учеников 2 группы: Выписать первые пять членов последовательности, заданной формулой своего n­ого члена. Задание для учеников 3 группы: Определите, какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.   Последовательности заданны формулами. Впишите пропущенные члены  Положительные и  отрицательные числа Положительные числа Отрицательные числа 5. Историческая справка Рекуррентное задание последовательности может быть и более сложным. Например, равенства: х1=1; х2=1; хn+2= хn+1 + хn Также позволяют вычислять поочередно члены последовательности: х3= х2 + х1 =1+1=2; х4= х3 + х2 =2+1=3; х5= х4 + х3 =3+2=5; … . Проще всего выписывать члены этой последовательности, если перевести равенство на русский язык: каждый член  последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … . Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи – по имени средневекового итальянского  ученого Леонардо Фибоначчи (1180 – 1240 ) из г. Пизы. Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 году в  книге «Liber abacci». Эти числа встречаются в математике и природе довольно часто: треугольник Паскаля, количество  веток на дереве или приплод от пары кроликов за определенный период времени, семена в подсолнечнике. Блез Паскаль (1623 – 1662 ) один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это  бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое  из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (1 6 15 20 15 6 1) Продолжите строчку  сами! Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей  диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим: для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1; для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3; для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8; для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 …. Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n­ой диагонали есть n­ое число  Фибоначчи. 6. Подведение итогов урока Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания. Приведите примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной. Какие способы задания последовательности вы знаете. Какая формула называется рекуррентной?