Урок 1-2. Числовые последовательности и их свойства
Урок 1-2. Числовые последовательности и их свойства . Предел последовательности
Устный счет 1.Продолжите цепочку чисел: 1) 2, 5, 11, 23, 47,… 2) 1, 1, 2, 3, 5, … 3) 12, 31, 24, 12, 51,… 2
Устный счет
1.Продолжите цепочку чисел:
1) 2, 5, 11, 23, 47,…
2) 1, 1, 2, 3, 5, …
3) 12, 31, 24, 12, 51,…
2. Определите арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака вставить пропущенное число:
№ 1
№ 2
№ 3
5,3 | 10 | 4,6 | 2,5 | 10 | 4 | 3,6 | 0,9 | 4 |
1,7 | 4,4 | 3,1 | 3 | 7,2 | 0,8 |
95, 191, …
8, 13, 21, …
26, 12, 71, 28 …
6,2
9,3
9
Определение 1. Функцию вида y = f(x), x
Определение 1.
Функцию вида y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.
Обозначение: 1) y = f(n);
2) y1, y2 ,y3,…,y n,…;
3) (y n)
Способы задания последовательности:
Способы задания последовательности:
СЛОВЕСНО
Например: последовательность простых чисел : 2,3,5,7,11,13,17,19,……
АНАЛИТИЧЕСКИ
(указание формулы n-го члена)
Например:
1,4,9,16,…..,n2
2,22,23,24,…2n
y=5 5,5,5,5,..,5..
№ 37.2, 37.3
Определение 2. Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все её члены не больше некоторого числа
Определение 2.
Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все её члены не больше некоторого числа.
Например, -1, -4, -9, -16,…, -n2 , ограничена сверху.
-1 – верхняя граница последовательности или любое число, которое больше чем -1, например, 0.
Определение 3.
Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все её члены не меньше некоторого числа.
Например, 1,4,9,16,…,n2 , ограничена снизу.
1 – нижняя граница последовательности или любое число, которое меньше 1, например, 1/2.
Определение 4. Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной последовательностью
Определение 4.
Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной последовательностью.
№ 37.41, 37.42
Рассмотрим две последовательности (yn) и (хn)
Рассмотрим две последовательности (yn) и (хn) .
(yn):1,3,5,7,9,…,2n-1,.. | (хn):1, 1/2, 1/3, 1/4,, 1/n,… |
Изобразим члены этих последовательностей на числовой прямой: | |
|
|
Определение 5. Последовательность yn называют возрастающей , если каждый её член больше предыдущего: y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 <…;
Определение 5.
Последовательность yn называют возрастающей, если каждый её член больше предыдущего:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 <…;
Пример: 1, 3, 5, 7,….., 2n-1,…
Определение 6.
Последовательность yn называют убывающей, если каждый её член меньше предыдущего:
y1> y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …;
Пример: 1, 1/2, 1/3, 1/4,….., 1/n,…
Определение 7. Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности
Определение 7.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином –
монотонные последовательности.
№ 37.48, 37.49 – устно
№ 37.51 (в, г) в тетрадях
Выполнить номера: № 37.4 (в, г) ,37
Выполнить номера: № 37.4 (в, г) ,37.5 (в, г), 31.9 (а, г), 37.10 (б, в) , 37.23, 37.27 (в, г), 37.31
№ 37.4 (а, б), № 37.5 (а, б), № 37.9 (б, в), № 37.10 (а, г) , № 37.22, № 37.27 (а, б), № 37.30.…
№ 37.4 (а, б), № 37.5 (а, б), № 37.9 (б, в), № 37.10 (а, г) , № 37.22, № 37.27 (а, б), № 37.30.
Задание на дом:
Урок 3. Числовые последовательности и их свойства
Урок 3. Числовые последовательности и их свойства . Предел последовательности
Определение 8 . Число b называется пределом последовательности y1, y2 ,y3,…,yn,…,если по мере возрастания номера n член yn неограниченно приближается к b
Определение 8 .
Число b называется пределом последовательности y1, y2 ,y3,…,yn,…,если по мере возрастания номера n член yn неограниченно приближается к b.
Запись:
Читают: «предел последовательности (y n) при стремлении n к бесконечности равен b»
Запись: Читают: « (yn) стремится к b, или (yn) сходится к b»
Предел стационарной (постоянной) последовательности равен значению любого члена последовательности
Предел стационарной (постоянной) последовательности
равен значению любого члена последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Теорема: 1) 2) 3) 4)
Теорема:
1)
2)
3)
4)
Числовые последовательности и их свойства . Предел последовательности .
Выполнить номера: № 31.5 (б), 31
Выполнить номера: № 31.5 (б), 31.6 (б), 31.7 (б), 31.8
Задание на дом: Выучить формулы № 31
Задание на дом: Выучить формулы № 31.5 (а), 31.6 (а), 31.7 (а).
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
