Проектная работа

на тему

"Действия с многочленами"

  Выполнила: ученица 7А класса

Арсланова Д.

Проверила: Минеева К.И.

2021г.

Оглавление

Введение. 3

Основная часть. 4

Заключение. 8

Список литературы.. 9

Введение

“Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки" Готфрид Лейбниц (учёный, математик).

Труды ал - Хорезми (VIII - IX века), Абу Камила (IX - X века), ал - Караджи (X - XI века), ал-Беруни (X - XI века), Омар Хайяма (XI - XII века), ал-Каши (XIV - XV века) и других ученых стран ислама значительно способствовали развитию алгебры, в частности теории уравнений. Однако в этих трудах отсутствовали символы и знаки. Как содержание задачи и название величин, так и все действия, решение и ответ записывались полностью словами.

На уроках алгебры мы изучали тему «Многочлены», которая меня заинтересовала. Тема многочлены одна из важнейших тем в алгебре, она является основой для изучения формул сокращенного умножения, преобразования выражений и др. 

С многочленами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, разложение многочлена на множители. В этой работе мы определим и ознакомимся с  указанными действиями многочленов, то есть, разберемся, как они выполняются и что получается в результате.

Целью моего проекта является  подчеркнуть значимость данной темы в курсе алгебры основной школы, продолжить развитие интереса учащихся к предмету, навыков самостоятельной, исследовательской деятельности.

Основная часть

1.     Многочлен

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Пример №1. 

11x- одночлен

2y - одночлен

  11x-2y - многочлен

2.     Стандартный вид многочлена

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Пример №2.  (2a+b)-(b-4a)=2a+b-b+4a=6a

2aи 4a- подобные

b и -b - подобные

3.     Степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде.

Пример №3.

4с⁶+7а⁹–18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а⁹ имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с⁶ и –18х.

4.     Сложение и вычитание многочленов.

Два первых действия с многочленами – сложение и вычитание – стоит рассматривать вместе, так как они выполняются по одному принципу:

·        сначала составляется сумма или разность исходных многочленов, для чего многочлены заключаются в скобки и между этими скобками ставятся знаки плюс или минус;

·        после этого раскрываются скобки, в результате получается новый многочлен;

·        наконец, при необходимости полученный многочлен приводится к стандартному виду.

Для пояснения приведем решение примеров:

Пример №4.Выполним сложение многочленов:

6х²+8х–11 и –9х²+3х+19

Сначала составим их сумму (6х²+8х–11) + (–9х²+3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х²+8х–11–9х²+3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

–3х²+11х+8

Пример №5.Выполним вычитание многочленов:

7х⁵+12х³–24 и 2х⁵+36х³–11

Составим разность многочленов (7х⁵+12х³– 24) – (2х⁵+36х³–11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х⁵+12х³– 24 – 2х⁵–36х³+11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

5х⁵– 24х³–13

5. Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример №6.Умножим одночлен 7х на многочлен 6х²+3х–5. Запишем в виде произведения:

7х•(6х²+3х–5)

Выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х²+7х•3х–7х•(–5) и получим:

42х³+21х²+35х

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х²+3х–5)= 42х³+21х²+35х

6. Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №7.Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

ах+ас+сх+с²

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

(а+с)(х+с)=ах+ас+сх+с²

Пример №8.  Умножим многочлен 8х³–12х на многочлен 3х⁵–10х. Имеем:

(8х³–12х)(3х⁵–10х)=8х³•3х⁵+8х³•(–10х)–12х•3х⁵–12х•(–10х)=24х⁸–80х⁴ –36х⁶+120х²

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

7.  Разложение многочлена на множители

·        Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

Пример №9. Вынесем за скобки общий множитель:

   15а + 3b = 3 * 5а + 3 * b = 3 * ( 5a + b);

Общим множителем данного многочлена является число 3

·        Способ №2. Способ группировки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1.     Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями

2.     Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов

3.     Вынести полученный общий многочлен за скобки

Пример №10.

Сгруппируем крайние члены между собой, а средние между собой:

Заключение

Можно сделать вывод, что применение алгебраических правил настолько универсальны, что могут применяться не только в точных науках, но и в повседневной нашей жизни

Поэтому развитие науки, такой как алгебра, даёт нам огромную помощь в нашей жизни и продвижении вперёд вместе научно-техническим прогрессом. И хочется выразить огромную благодарность всем учёным, математикам, чей вклад был внесён в развитие этой науки.

В этой работе я показала что такое многочлен, и объяснила как выполняются сложения, вычитание и умножение многочленов, способы разложение многочлена на множители.В этом проекте я подчеркнула значимость данной темы в курсе алгебры основной школы, продолжила развитие навыков самостоятельной, исследовательской деятельности.

Список литературы

1.     Алгебра:7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С.Якир. - 2-е изд., дораб. - М.: Вентана-Граф, 2017. - 272 с. :ил.

2.     http://spacemath.xyz

3.     https://spadilo.ru

4.     Скачано с www.znanio.ru