Дидактический материал по теме: "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цели работы:

ü  систематизация математических знаний и практических умений по разделу «Стереометрия»;

ü  развитие познавательной способности и активности, самостоятельности, ответственности и организованности;

ü  знакомство с историей развития математики.

 

Содержание работы:

Часть 1 (изложение теории):

1.1.              Понятие перпендикулярности для прямых и плоскостей. Определения и признаки.

1.2.              Почему мы изучаем эти понятия. Примеры из жизни.

Часть 2 (решение задач):

2.               

2.1.              В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найти диагонали BD и AC₁, если он имеет размеры 7 м, 5 м и 3 м.

2.2.              Через вершину угла C треугольника ABC проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найти гипотенузу.

Часть 3 (изготовление модели):

3.               

3.1.              Изготовление модели правильной пятиугольной призмы (указать длину ребер, количество вершин, ребер, граней, площадь поверхности, объем).

3.2.              Изобразить диагональное сечение модели.

Часть 4 (решение задач по теме: «Декартовы координаты»):

4.               

4.1.              Заданы координаты точек A(1;1;-3), B(1;-6;-3). Построить эти точки в заданной системе координат. Определить расстояние между A и B.

4.2.              Заданы координаты точек A(-1;4;-3), B(7;0;-1), C(1;3;-6), D(0;4;-3). Определить:

а)  координаты векторов AB и CD;

б) длину векторов AB и CD;

в) сумму векторов AB+CD;

г)  скалярное произведение векторов AB и CD;

д) угол между векторами AB и CD.

 

 

Перпендикулярность двух прямых

 

Определение 1:

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

 

 

 

 

 

Теорема 1:

Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

______________________________________________________________

 

 

 

Перпендикулярность прямой и плоскости

 

Определение 2:

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости.

 

 

 

 

 

Теорема 2 (признак перпендикулярности прямой и плоскости):

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

 

 

 

 

 

 

Теорема 3 (свойство перпендикулярных прямой и плоскости):

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

 

 

 

 

 

Теорема 4 (свойство перпендикулярных прямой и плоскости):

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

 

 

 

 

______________________________________________________________

 

Перпендикулярность трех прямых

 

Определение 3:

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данный отрезок  с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Определение 4:

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Определение 5:

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

 

 

 

 

 

 

 

Определение 6:

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

 

 

 

 

 

 

Определение 7:

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

Определение 8:

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 5 (теорема о трех перпендикулярах):

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

 

 

 

 

 

 

Определение 9:

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

 

Теорема 6:

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

 

 

 

 

 

 

 

Определение 10:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

______________________________________________________________

Перпендикулярность двух плоскостей

 

Определение 11:

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

 

 

 

 

 

 

Теорема 7 (признак перпендикулярности плоскостей):

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

 

 

 

 

 

 

______________________________________________________________

 

 

 

 

Данный раздел изучается для:

ü изучения закономерностей между геометрическими объектами в пространстве;

ü дальнейшего использования при решении задач, связанными с геометрическими телами;

ü применения полученных знаний по изученной теме в жизненных ситуациях.

Приведем примеры применения данной темы в жизненных ситуациях:

ü окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости: непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т.е. перпендикулярно к плоскости земли; так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д.;

ü когда мы говорим, что некоторый предмет, например, лампочка уличного фонаря, находится на высоте 6 м от земли, то имеем ввиду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли;

ü в обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, состоящими из перпендикулярных плоскостей: двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т.д.

ü в черчении применяется ортогональное проектирование, т.е. параллельное проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции; чертежи деталей машин получаются путем ортогонального проектирования на одну, два или три перпендикулярные плоскости, эти плоскости называются плоскостями проекций.

 Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоуг. параллелепипед;

его размеры – 7 м, 5 м и 3 м

 

Найти: BD и AC₁

 

Решение:

  1)     Рассмотрим случай, когда AB = 7 м, AD = 5 м, AA₁ = 3 м.

Рассмотрим ΔABD – прямоугольный (т.к. ABCD – прямоугольник):

По теореме Пифагора: BD² = AB² + AD² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74

BD =  м;

  2)     Рассмотрим случай, когда AB = 5 м, AD = 3 м, AA₁ = 7 м.

Рассмотрим ΔABD – прямоугольный (т.к. ABCD – прямоугольник):

По теореме Пифагора: BD² = AB² + AD² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34

BD =  м;

  3)     Рассмотрим случай, когда AB = 7 м, AD = 3 м, AA₁ = 5 м.

Рассмотрим ΔABD – прямоугольный (т.к. ABCD – прямоугольник):

По теореме Пифагора: BD² = AB² + AD² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

BD =  м;

  4)     По теореме о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда:

AC₁² = AB² + AD² + AA₁² = 7² + 5² + 3² = 49 + 25 + 9 = 83; AC₁ =  м

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда не зависит от того, какие именно его ребра являются длиной, шириной или высотой.

Ответ: BD =  м, либо BD =  м, либо BD =  м, AC₁ =  м.

1.               

2.               

2.1.               

Дано: ΔABC – прямоугольный;  ; ;  1 м;

проекция BC на  равно 3 м;

проекция AC на  равно 5 м

 

Найти: AB

Решение:

  1)     Построим  и , тогда получим:

CA₁ – проекция AC на  Þ CA₁ = 5 м

CB₁ – проекция BC на  Þ CB₁ = 3 м

 AA₁ = BB₁ = 1 м;

 

  2)     Рассмотрим ΔCAA₁ – прямоугольный:

По теореме Пифагора: AC² = AA₁² + CA₁² = 1² + 5² = 1 + 25 = 26

AC =  м;

 

  3)     Рассмотрим ΔCBB₁ – прямоугольный:

По теореме Пифагора: BC² = BB₁² + CB₁² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10

BC =  м;

 

  4)     Рассмотрим ΔABC – прямоугольный:

По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = 26 + 10 = 36

AB =  м.

 

Ответ: AB = 6 м.