Дифракция света

§ 4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Дифракция Френеля 1. Площадь любой зоны Френеля, построенной на ограниченном сферическом фронте  волны   (дифракция   на   круглом  отверстии):                                                  S    ad a d                                                   (1) где  а  — расстояние от источника света до фронта волны;  b  — расстояние от вершины волнового фронта до точки наблюдения дифракционной картины (до экрана);  λ — длина волны, излучаемой источником света. 2. Радиус внешней границы k­ой зоны Френеля: k                                              ad a d r k         (2) 3. При радиусе отверстия r0, много меньшем расстояний а и b, в нем  строится k зон: k 2 r 0  ( 1 a  ) 1 b                                                 (3) Дифракция Фраунгофера (дифракция от щели в параллельных лучах) 1. Интенсивность света в точке, положение которой определяется углом  дифрагирования  :φ                                           I   I   sin ) sin( b  2   sin ) b  0 (         (4) где I0 — интенсивность света в центре дифракционной картины. 2. Угловое положение k­го максимума интенсивности дифракционной  картины определяется уравнением: sin  k   2  1 k b   2                                           (5) Дифракционная решетка 1. картины от решетки определяется уравнением: Угловое положение k­ro минимума интенсивности дифракционной  sin    kì èí  k b , (6) где b — ширина щели дифракционной решетки. 2. от решетки определяется уравнением: Угловое положение k­го главного максимума интенсивности картины sin   kì àêñ  k d (7) (8) (9) (10) (11) где d — период решетки. 3. Интенсивность света k­гo главного максимума:   kI  2 N I   где N — число щелей решетки; I — интенсивность, создаваемая в  направлении угла  Кроме минимумов, определяемых условием  N b k φ  одной щелью.    sin kì èí , между двумя соседними максимумами располагаются N — 1 добавочных  минимумов. Угловые направления добавочных минимумов определяются    условием: sin N   ; k k имеет все целочисленные значения, кроме О, N, 2N, ..., kN. 5. Угловая дисперсия дифракционной решетки:  dD k cos  где k — порядок спектра. 6. Разрешающая способность дифракционной решетки: R    kN Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми те­ 7. лескопом: где, D — диаметр объектива телескопа.    1,22  D              (12) 8. Расстояние  I,   разрешаемое объективом  микроскопа: i  0,61  , — длина волны света;  λ  1 sin n n — показатель преломления среды,  u где  заполняющей    пространство    между    предметом   и    объективом                           (13) микроскопа; u — половина угла между лучами, идущими от предмета к  краям объектива микроскопа. 9. Дифракцию рентгеновских лучей получают на кристаллических решетках. Дифракционные максимумы определяются условием (формула Вульфа —  Брегга): 2 sind k   где  θ  — угол скольжения (угол, дополнительный к углу падения). (14) дифракция Френеля — дифракционное изображение препятствия; дифракция Фраунгофера — дифракционное изображение источника  ВОПРОСЫ Какое дополнение в принцип Гюйгенса ввел Френель? Как определяется радиус любой зоны Френеля? В каком соотношении  находятся площади этих зон? Поясните следующие определения дифракции: а) б) света. Поясните следующее утверждение: «Когда источников (колебаний) мало,  например два, то результат их совместного действия называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о  дифракции». Начиная с какого соотношения между радиусом отверстия r и расстоянием от экрана до точки наблюдения b свет в точке наблюдения при  увеличении b не будет сменяться темнотой? Как, пользуясь методом векторных диаграмм, показать, что, если в отверстии вмещается четное число зон Френеля, в точке наблюдения  будет минимум освещенности, а при нечетном числе зон — максимум? Что будет наблюдаться на экране при дифракции на одной щели в параллельных лучах, если ширина щели равна длине волны света? Чем отличаются дифракционные картины на экране (рис. 4.1), если: а) б) одинаковой величины? в экране Э1 одно отверстие? в экране Э1 много беспорядочно расположенных отверстий         Рис 4.1 Какими   параметрами характеризуется    дифракционная решетка в  9. качестве спектрального прибора? 10. Как   изменяется   разрешающая   способность   дифракционной    решетки   при   изменении    наклона    пучка     лучей, падающих на решетку? 11. Как изменится дифракционная картина, полученная с  помощью решетки, если: а) увеличить постоянную   решетки, не изменяя  общего числа штрихов; б) увеличить общее число штрихов, не изменяя постоянной решетки; в) увеличить ширину щелей, оставив неизменным постоянную решетки и число щелей? Примеры решения задач 1. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта r4 = 3 мм. Определите радиус двенадцатой зоны из той же точки наблюдения. Р е ш е н и е Первый способ. Сделаем чертеж по условию задачи (рис. 4.2): А В —  фронт плоской волны; С — точка наблюдения; СО = b CD = b + k , DO=R k  2 Очевидно, что  так как λ мала, членом  2 kr  b k ( 2  ) 2  2 b    k b k 2 2  4 ; 2 2 4k   — пренебрегаем, следовательно, Запишем условие задачи в виде двух уравнений: 2 kr kb ; ,     уравнения друг на друга: b 2 r 4 4 2 r 12 b 12  Поделим почленно  2 r 4 2 12 r  ;   1 3 2 r 12 2 4 r  3 Отсюда 2 r 12 r 2 43 Подставим значение r4, получаем r12 = 3  3  мм. Второй   способ.     Преобразуем формулу (2):   разделим числитель     и знаменатель подкоренного выражения на а: при   а ∞ → 2 kr  = kbλ. r k   kb b  a 1 ; Рис 4.2 2.   На   круглое   отверстие   радиусом  R  =   2   мм   в   непрозрачном  экране падает   параллельный   пучок   света   с   длиной   волны  λ  =  = 0,5 мкм. На каком   максимальном   расстоянии   от   отверстия   на  экране   в   центре дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно? Р е ш е н и е В центре дифракционной картины получится темное пятно, если число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, четное. Число зон убывает по мере удаления от отверстия. Максимальное   расстояние,   при   котором   еще   будет   наблюдаться  темное пятно,   это   расстояние,   при   котором   в   отверстии   укладываются   две   зоны Френеля. При   решении   предыдущей   задачи   мы   получили   формулу   зависимости радиуса k­ой зоны от длины волны, расстояния от точки наблюдения и номера зоны: Выразим из этой формулы b: b 2 kr  k ; так как k = 2, rk = R, то b = 4 м. 3. При нормальном падении света на решетку длиной l = 2 см на экране с помощью   линзы   с   фокусным   расстоянием  F  =   1   м   получено   несколько спектров. Красная линия (λ = 630 нм) в спектре третьего порядка видна под углом   ния   падающего   на   решетку   света. Найдите: а) постоянную решетки; б) разрешающую способность решетки в спектре третьего порядка; в) линейную дисперсию решетки D.   =   20°   относительно   направле φ Р е ш е н и е а) Для определения постоянной решетки воспользуемся формулой (7), из  которой найдем d   k sin ; Вычисления дают d = 5,525 мкм. б) Разрешающая способность решетки R = kN. Так как dN  ,  то   l dR      R = 10894. kl в) Линейной дисперсией дифракционной решетки называют величину,  численно равную D* = d  d  F     где  F — фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран. Дифференцируя уравнения максимума для решетки  (d  sin   =  φ =  kλ, получаем: откуда d cos    ,   kd  d  d  d  k cos  d ; Так как  d   k sin , то     d  d tg    и  D    Ftg  . Подставляя   числовые   значения,   получаем  D*   =   57,8   •   105.   Это   число показывает,   во   сколько   раз   изменился   бы   в   данной   установке  (с   данной линзой)   тангенс   угла   отклонения   (угла   дифрагирования),  если   бы   длина волны изменилась на 1 м. 4. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две красные лампочки (λ = 640 нм).  Расстояние между лампочками l = 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с  расстояния L = 15 км. Определите наименьший диаметр объектива телескопа, при котором можно видеть раздельные дифракционные изображения  лампочек. Р е ш е н и е Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми телескопом,    1, 22  D .   — это угол между двумя лампочками, видимыми с расстояния в 15  км, т. е.                                              l L Следовательно,   l L =1,22    , откуда  D = 1, 22L l D Вычисляя, получаем D = 0,06 м. 5. Диаметр зрачка человеческого глаза при средней   яркости рассматриваемого предмета D = 3 мм. Определите: а) минимальное угловое расстояние между отдельными точками рассматриваемого предмета; б) минимальное расстояние между этими точками,  рассматриваемыми с расстояния наилучшего зрения нормального глаза (L = 25 см). Р е ш е н и е Глаз человека наиболее чувствителен к свету, длина волны которого X = 55 • 10­8 м. При решении задачи используем это значение длины волны. Угловое расстояние между двумя точками, находящимися на расстоянии l друг от друга,    l L Разрешающая способность человеческого глаза определяется выражением  1    A R 0,61 Следовательно,     0,61 2D а)    560 10   7 ðàä  34" ; б) из равенства    l L  — находим:   l L  l 0,042 ì ì Задачи для самостоятельного решения 4.1. Расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения 1 м. Экран    освещают    монохроматическим   светом   с   длиной  волны λ = 5 • 10­7 м. Вычислите радиус пятой зоны Френеля, если:  а) источник    света   точечный   и   расстояние между   ним   и экраном а = 0,5 м; б) волновой фронт, падающий на экран,  плоский, падение света  нормальное. Ответ     15,28 10 9,55 10 ; ) м б r 5 ) а r 5 . м    4 4 4.2. Экран находится на расстоянии L = 40 м от точечного мо­ нохроматического источника света (λ = 5 • 10­4 мм). На расстоянии а = 20 м от источника света помещен экран с ирисовой диафрагмой. При  каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия будет:  а) наиболее темным; б) наиболее светлым?  Ответ  ) а r мм б r ; ) 2,24 3,16 . мм   4.3. Точечный источник света (λ = 550 нм) находится на расстоянии L = 11 м от экрана. Между источником света и экраном на рас стоянии b = 5 м от экрана помещена ширма с круглым отверстием, диаметр которого d = 4,2 мм. Как изменится освещенность в точке, находящейся в центре дифракционной картины, если ширму убрать?  Ответ Освещенность уменьшится. 4.4. На щель нормально падает параллельный пучок монохроматического  света. Длина волны падающего света укладывается в ширине щели 8 раз. Какова ширина нулевого максимума в дифракционной  картине, проецируемой линзой на экран, отстоящий от линзы на расстоянии l= 1 м?  Ответ  xммV 0,252 . 4.5. На непрозрачную пластинку с узкой щелью нормально па дает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий  второй светлой дифракционной полосе, равен  1°. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?  Ответ  143 . 4.6. На расстоянии 2 м от точечного монохроматического источника света  (λ = 5 • 10­7 м) находится экран. Посредине между источником и экраном  расположена непрозрачная ширма с отверстием радиусом 1 мм. Ширму перемещают к экрану на расстояние 0,75 м. Сколько раз при ее перемещении будет наблюдаться темное пятно в центре дифракционной картины на экране?  Ответ 2 раза. 4.7. Каково наибольшее значение числа k (номер дифракционного  максимума) для желтой линии натрия (λ = 589 нм) при нормальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?  Ответ  k  5. 4.8. На решетку с периодом 6 • 10­5 м нормально падает моно хроматический свет. Разность углов дифрагирования для максиму­ мов второго и первого порядков равна 4°36'. Определите длину световой  волны.  Ответ  4,725 10  .м      7 Р е ш е н и е .    Для максимума второго порядка  sin  для  максимума   2 ; d 2 первого порядка  sin   . d 1     2 2 ,sin   1  sin     1    d cos    1 sin cos    2 . d   cos  1  1    d  2 2 d ,    2 cos  sin  1   2 2 d .    d  2  2 cos  2  sin .    1 4.9.Длина волны монохроматического света λ = 590 нм. Определите  наибольший порядок максимума, который можно получить с помощью решетки, имеющей 500 штрихов на миллиметр, если: а) свет падает на решетку нормально; б) свет падает на решетку под углом 30°.  Ответ  a) k = 3; 6) k = 5. 4.10.На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. Непосредственно за решеткой помещена линза с фокусным расстоянием 2 м, проецирующая спектры  на  экран. Диапазон длин волн видимого спектра λ ф= 400 нм, λk = 700 нм. а) Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядка? б) Во сколько раз спектр второго порядка на экране длиннее спектра   первого  порядка? в) Какова разность углов отклонения конца первого и начала второго спектров?  Ответ а) Спектры не перекрываются;  4.11. На   дифракционную   решетку,   имеющую   200  штрихов на 1 мм, нормально падает свет от разрядной трубки с водородом. Под каким   наименьшим   углом    дифракции    максимумы    линий λ1 = 410,2 нм и λ 2 = 656,3 нм совпадают?   3,375; )3 10 .  б ) o в l 2 l 1 Ответ Фмин=12°40'. 4.12. Ширина решетки l = 15 мм, период решетки d= 5 мкм. В спектре какого наименьшего порядка получаются  раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин   волн 2*10­10м, если линии принадлежат диапазону крайней красной части видимого  спектра (780 нм ÷ 700 нм)?  Ответ Линии разрешаются в спектре второго порядка. 4.13. На щель шириной 10 мкм нормально падает монохроматический свет  с длиной волны λ = 6 • 10­7 м. Определите значения интенсивностей первого, второго и третьего максимумов, приняв интенсивность  нулевого максимума за единицу.  Ответ  I  1  4  2 9 , I  2  4  2 25 , I  3  4  2 49 . 4.14. Дифракционная решетка, имеющая 4000 штрихов на 1 см, используется   в  спектрографе.   Вычислите  линейную   дисперсию спектрографа при объективе с фокусным расстоянием 1 м в спектре третьего порядка для длины волны 5 • 10­7 м.  Ответ D = 1,5 мм/нм. 4.15. Диаметр зеркала телескопа равен D = 2,6 м. Какой должна быть  минимальная длина l отрезка на Луне, чтобы его изображение можно было бы отличить от изображения точки?  Ответ  98 . lм   Р е ш е н и е .     V 1,22 .  Принимаем    55 10 м  8   (к этой длине волны   D наиболее чувствителен глаз человека);  4.16. Диаметр Марса D = 3400 км. Минимальное расстояние 1,22   .  V  l L  D между Землей и Марсом L = 78­ 10е км. Может ли человек с нормальным  зрением видеть Марс в виде диска? Каким должно быть минимальное угловое увеличение телескопа, чтобы   изображение Марса можно было отличить от изображения звезды?  Ответ Нет.  Угловое увеличение телескопа   должно быть не менее пяти  кратного. a lсм б l ) 3,35 10    5 ; )   2,2 10 см  5 . 4.17. Угол раскрытия объектива (угол, под которым падают лучи от объекта   на   объектив)   микроскопа   L 2и = а) наименьшее расстояние между двумя точками объекта, рассматриваемого в микроскоп; б) наименьшее расстояние между двумя  точками объекта, если пространство   между   объектом   и   объективом  заполнить   иммерсионной жидкостью с показателем преломления п = 1,515 (кедровое масло).  Ответ d = 0,281   нм .   Определите:  2 4.18.  Монохроматическое  рентгеновское  излучение длиной  волны  λ  = 0,0712   нм   отражается   от   грани   кристалла   поваренной  соли  NaCl. Дифракционный   максимум   первого   порядка   наблюдается   при   угле скольжения   7°18'.   Определите   расстояние   между   слоями   кристаллической решетки NaCl (атомными плоскостями). Ответ d = 0,281   нм. § 6. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА, ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ 1. Закон Малюса: I  2 I 0 cos a , где / — интенсивность света, прошедшего через анализатор и поляризатор; /0 — интенсивность   света,   вышедшего   из   поляризатора;  а  —   угол   между главными   плоскостями   анализатора   и   поляризатора   (отражение   от анализатора не учитывается). 2. Закон Брюстера: tga   2 1  n 2 n 1 ; луч перпендикулярен преломленному;  где a — угол падения светового луча на диэлектрик, при котором отраженный  2   — относительная диэлектрическая 1 n 2 n 1 проницаемость диэлектрика, на границе которого происходит отражение;  — относительный    показатель преломления диэлектрика. 3. Формулы Френеля при отражении света от диэлектрика:  E  P E ( ) E ( 0 ) E P   a y sin(  sin( a y  tg a y )  ) tg a y ( ( ) ) . Здесь   E   —   составляющая   напряженности   электрического   поля  в отраженном   свете,   перпендикулярная   плоскости   падения; 0E    — составляющая   напряженности   электрического   поля   в   падающем  свете, 0E P)   —составляющие перпендикулярная   плоскости   падения; напряженности E, лежащие в плоскости падения;  угол падения света; λ — угол преломления.   EP  и   (  — α   Разность   фаз   между   обыкновенным   и   необыкновенным   лучами, выходящими   из   кристалла,   если   направление   падающего  пучка перпендикулярно оси кристалла:   2 где  λ  —   длина   волны   в   вакууме;  п0  и  пе  —   соответственно   показатели преломления   обыкновенного   и   необыкновенного   лучей;  h  —  толщина кристалла. 0( h n )e n    n k E 2 , 5. Угол поворота плоскости поляризации света в оптически активных  кристаллах al , где а — удельное вращение, зависящее от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме; l —путь света в кристалле. 6. Угол  поворота  плоскости  поляризации  света в   растворах  aCl где  а  —   удельное   вращение,   зависящее   от   природы   оптически   активного вещества   и   растворителя;  l—толщина   слоя   раствора;   С   —  концентрация оптически   активного   вещества. 7. Разность   показателей   преломления   анизотропной   жидкости для  необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в  направлении, перпендикулярном вектору напряженности uv электрического поля  E , где λ — длина волны света в вакууме, k — постоянная Керра, зависящая от природы вещества, длины волны и температуры. 8. Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света через  оптически неактивное вещество, находящееся в однородном магнитном поле индукции В, VlB , где V — постоянная Верде, зависящая от природы вещества и длины волны света; l — длина пути света в магнитном поле. ВОПРОСЫ Интенсивность естественного света l0. Каковы средние значения  интенсивности и амплитуд колебаний электрического вектора во взаимно  перпендикулярных плоскостях,   содержащих  луч. Какова интенсивность отраженного луча, если на изотропный диэлектрик падает под углом Брюстера   луч    плоско поляризованного света   с электрическим   вектором: а) перпендикулярным плоскости падения;  б) лежащим в плоскости падения? На рисунке 5.1 представлены графики, выражающие зависимости отношений потоков энергий в отраженной и падающей волнах от угла: / — свет поляризован в плоскости падения; // — свет поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости   падения. Как, пользуясь таким графиком, определить угол Брюстера? Как изменится график при отражении света от среды с большим показателем преломления? На пути пучка естественного света стоит поляризатор. Как будет меняться интенсивность света, падающего на экран, при вращении  поляризатора вокруг направления луча? Как будет меняться интенсивность, если перед экраном поставить анализатор и его вращать вокруг луча, оставляя поляризатор неподвижным? Как отличить естественный свет от света, поляризованного по кругу, или от смеси естественного света с кругло поляризованным? Как поляризован   свет,    падающий   на   анализатор,   если при   любом положении   анализатора поле    зрения    оказывается просветленным? Каким образом можно   превратить  плоско поляризованный свет в поляризованный по  кругу и наоборот? 8. В   некоторых    установках, предназначенных для   анализа поляризованного света, пучок света пропускают через равномерно вра­ щающийся  николь,   а затем направляют на фотоэлемент.   На какую  частоту должен быть рассчитан усилитель фототока, если ни коль вращается с угловой скоростью  ?ω 9. Тонкая  двояко преломляющая   пластинка  помещена между двумя призмами Николя. Почему при рассматривании пластинки через   николь­анализатор   ее   поверхность   кажется   окрашенной? При каком положении анализатора относительно кристаллической пластинки цветное окрашивание не наблюдается? На рисунке 5.2 изображена установка, где S — источник монохроматического  света;   N1   и   N2 — николи;   К — пластинка одноосного кристалла. Что будет наблюдаться на экране Э при вращении   кристалла вокруг луча,  если оптическая ось кристалла: а) перпендикулярна направлению распространения света; б) совпадает с  направлением распространения света? Почему не наблюдается  интерференция лучей, вышедших из пластинки двояко преломляющего кристалла, настолько тонкой, что она не дает заметного разделения лучей? Что следует сделать для   наблюдения   интерференции? На рисунке 5.3 представлена в виде полярной диаграммы зависимость мощности Р потока поляризованного света, прошедшего сквозь призму Николя, от угла   между направлением   короткой α диагонали и плоскостью, в которой происходят колебания электрического вектора  Ео  в   свете,   падающем   на   призму.   Какая   существует аналитическая зависимость между мощностью  Ро  поляризованного потока, падающего на призму, и мощностью Р потока, прошедшего призму? Какова амплитуда электрического вектора Е, вышедшего из призмы, если а = 60°? Изобразите полярную диаграмму, показывающую такую же зависимость для света, частично поляризованного. Как, пользуясь аналогичной диаграммой для   эллиптически   поляризованного   света,   определить   направление   и отношение полуосей эллипса? Какими способами можно получить из оптически изотропного вещества  анизотропное? Предположим, что зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных зонах поляроид имеет одну ориентацию, во всех нечетных ориентация  перпендикулярна четным зонам.  Сравните действие такой пластинки с обычной зонной пластинкой. Плоско­выпуклая стеклянная линза с малой кривизной сферической  поверхности лежит на плоской   металлической   поверхности. Будут ли  наблюдаться кольца Ньютона, если на линзу под углом Брюстера падает свет, поляризованный: а) в плоскости падения;   б) перпендикулярно  плоскости   падения? В  оптических  приборах  поверхности  оптических деталей покрывают тонкой пленкой, показатель преломления которой меньше  показателя преломления стекла. Для чего это делают? Ячейка Керра в сочетании со скрещенными поляризатором и анализатором используется в скоростной фотосъемке в качестве быстродействующего светового затвора. В этом случае на конденсатор  ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся прямо угольные импульсы напряжения (рис. 5.4). Длительность каждого импульса τ0 = 10­8 с. Объясните действие такого затвора. Какова продолжительность экспозиции при съемке? Какова частота кино съемки? Примеры решения  задач 1. Под каким углом должен падать пучок света из воздуха на  поверхность жидкости, чтобы при отражении от дна стеклянного сосуда  (пх = 1,5), наполненного водой (n2 = 1,33), свет был полностью   поляризован? Р е ш е н и е На   границу   воздух — водападает   естественный    свет   (1) под углом  . Здесь он частич ноотражается    (2),    частично β Рис. 5.4 преломляется (3) (рис. 5.5). Пучки лучей 2 и 3 света частично  поляризованы: в пучке 2 электрический вектор преимущественно лежит в  плоскости, перпендикулярной плоскости падения, в пучке 3 электрический вектор лежит преимущественно в плоскости падения. По закону  преломления .                                           (1) На  границу    вода — стекло  падает частично  поляризованный свет  под углом а. Здесь он частично отражается (4), частично  преломляется  (5).  sin sin n 1 a Пучок лучей   4 должен   быть   полностью     поляризован     электрический  вектор  лежит    в   плоскости,   перпендикулярной   плоскости   падения),  при этом угол между пучками света 4 и 5 равен  поляризации. ; а — угол полной   2 По условию Брюстера, тангенс угла полной поляризации равен  показателю преломления второй среды относительно первой: n 1 n 2 tga  tgα= 1,125,  :β . o Из уравнения (1) находим    o 1,33  sin sin 48 24' 0,994  84  α  = 48°24'.  2. Для сравнения яркости освещения двух поверхностей одну  из них рассматривают   непосредственно,   а   вторую   через   два   николя.  Каково отношение   яркостей,   если   освещение   обеих   поверхностей  кажется одинаковым  при угле между николями 70°? Каждый николь поглощает 10% проходящей через него энергии. Р е ш е н и е АО — обыкновенная волна интенсивностью  I 0 2   Естественный свет интенсивностью /0 при переходе через поверхность призмы Николя разделяется на две световые волны (рис. 5.6):  в направлении  АН распространяется необыкновенная волна интенсивностью   и в направлении I 0 2 В месте склейки канадским бальзамом обыкновенная волна претерпевает полное   отражение,   а   необыкновенная   проходит,   претерпев   небольшое преломление. Через   первую   призму     проходят ля лежащие причем   поглощается николем. в 0,1         только плоскости проходящей     Нико колебания, чертежа, энергии   Интенсивность   света,   прошедшего   через первый   николь, I 1  0,5 0,9   . I 0 По закону Малюса интенсивность света, прошедшего через второй николь (анализатор),   пропорциональна   интенсивности   линейно   поляризованного света, падающего на него, и квадрату косинуса  угла между направлениями колебаний, падающих и пропускаемых анализатором. Учитывая   поглощение   света   вторым   николем,   получаем   интенсивность прошедшего света:  I 0,9 cos   a 2 I 1 2 0,5 0,81  2 I 0 2 cos a При прохождении через два николя интенсивность света уменьшилась в  I I = 21  раз.  Следовательно, яркость  поверхности, наблюдаемой   через   два николя, в 21  раз больше. 0 2 3. Частично поляризованный свет проходит через николь. При  повороте николя   на   60°   от   положения,   соответствующего   максимальной   яркости, яркость   пучка   уменьшается   в   2   раза.   Пренебрегая  поглощением   света   в николе,   определите:   а)   отношение   интенсивно­стей   естественного   и плоскополяризованного света; б) степень поляризации пучка. Р е ш е н и е а)   При   первом   положении   николя,   соответствующем   максимальной яркости,   через   николь   проходит   весь   ранее   поляризованный   свет интенсивностью   /п  и   поляризованный   свет,   интенсивность   которого составляет половину интенсивности естественного света. Интенсивность прошедшего света равна: /' = /п + 0,5/е.                                     (1) При втором положении николя прошедший свет имеет интенсивность: I '  I  2 cos 60 o  0,5 e I  1 4 I   1 2 I e .                                      (2) По условию задачи /' = 2/". Используя соотношения (1) и (2), получаем:  0,5 2(   I  I e 1 4 I  0,5 ) e I откуда,               I I e Следовательно,   отношение   интенсивностей   естественного   и плоско поляризованного света равно единице. б)   Степень   поляризации   определяется   отношением   интенсивности поляризованного света к общей интенсивности света, или отношением:   I I s s   I I p p (3) где Is и Iр — максимальная и минимальная интенсивности в двух взаимно  перпендикулярных направлениях. Максимальная интенсивность света,   пропускаемого   николем, I  I '  I   0,5 I s                                                  (4) При этом положении плоскости поляризации николя и падающего света параллельны. При повороте николя на 90° свет, ранее  поляризованный, не пройдет, а на экран будет падать свет с минимальной интенсивностью: e  3 2 I  I p  1 2 I e  1 2 I (5) Используя определение степени поляризации (3) и уравнения  (4) и (5), получаем: ∆= 0,5. 4. Сложный объектив состоит из двух линз, одна из которых сделана из стекла с коэффициентом преломления  n1  = 1,52, а другая — из стекла с коэффициентом   преломления  п2  =   1,6.   Во   сколько   раз   уменьшатся   в объективе   потери   света   из­за   отражений,  если склеить линзы канадским бальзамом с коэффициентом преломления пъ — 1,6? Определите потери света в склеенном объективе. Углы падения света на поверхности линз считать малыми. Р е ш е н и е В случае нормального падения света на границу двух сред с относительным показателем преломления п отношение потоков энергии W и W в отраженной и   падающей   волне   для   света,   поляризованного   как   параллельно,   так   и перпендикулярно плоскости падения, одно и то же и равно:                                         (1) Учитывая, что по условию задачи угол падения на отражающую поверхность 2  n n   . 1) 1) ( ( ' W W 2 мал, получим, что от первой отражающей поверхности отразится энергия I 1  I  0 1  I 0 ( ( n 1 n 1 2 2  1)  1)  I 0 2 (0,52) 2 (1,52)  0,043 I 0 (I0 — интенсивность света, падающего на объектив). Через   первую   поверхность   пройдет   энергия  /2  =  0,957  /0.   Эта  энергия падает на вторую границу раздела двух сред. Энергия, отражающаяся от этой границы, I 3 0,957 I  0 2  0,957 I ( 0 ( 2  1) 2  1) n 3 n 1 n 3 n 1  0 т. е. на границе стекло — канадский бальзам отражения практически нет. Следовательно, склеивание канадским бальзамом ведет к уменьшению числа отражающих   поверхностей   в   2   раза   и   уменьшению   потерь   в   результате отражения тоже в 2 раза. Энергия /2  падает на границу стекло — воздух и частично отражается. Отраженная энергия I 4  I ( 2 ( n 2 n 2 2 2  1)  1)  0,053 Через объектив пройдет свет интенсивностью I 5  0,947 I 2  0,947 0,957   I 0  0,906 I . 0 Потери энергии при отражении во всем объективе составляют  0,094 /0 или 9,4% падающей энергии. Задачи для самостоятельного решения 5.1.Определите угол полной поляризации при отражении света: а) от стекла; б) от границы лед — вода.  Ответ   45 25 . 56 40 ; 0,821  dнм  2  . 1  o  o 5.2.Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были бы наиболее полно  поляризованы? o  Ответ  37 .  5.3.Определите  коэффициент   преломления:   а)   непрозрачной эмали, для которой угол полной поляризации при отражении оказался  равным 58°; б) прозрачного вещества, для которого предельный угол  полного отражения равен углу полной поляризации.  Ответ  1,6; ) б n 1,27. ) а n   5.4.Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд, и  отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его  на дно сосуда под углом 42°37’ Определите: а) показатель преломления  жидкости; б) угол, под которым дол жен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное отражение.  Ответ  1,63; ) б  o 67 . ) а n   5.5.Определите угол полной поляризации для луча, отраженного от  поверхности черного стекла (п = 1,65). Под каким углом к отраженному лучу нужно поставить второе такое же стекло (диэлектрическое зеркало), чтобы уменьшить интенсивность луча еще в 2 раза?  Ответ   55 06 .  58 43 ;     o o 5.6. Каким должен быть преломляющий угол у стеклянной приз мы, чтобы углы входа и выхода луча из призмы были углами полной поляризации? Чему равен при таком преломляющем угле  угол наименьшего отклонения?  Ответ   66 40 ;  46 40 . мин    o o 5.7.   Естественный   луч   1   света   падает   на стеклянную   Угол   падения   равен   углу   При   таком   угле падения на стекло интенсивность отраженного луча составляет около 0,1 от интенсивности падающего естественного плоскопараллельную пластинку. полной   поляризации.     света. Определите интенсивность естественного и поляризованного света в  лучах 1,2, 3, 4 (рис. 5.7), приняв интенсивность падающего луча за единицу. Поглощением света в пластинке можно пренебречь.   Ответ   0,08 ; n 0,1 ; n  0,1 0,64 0,82 0,18 0,9; 0,8       I 1 I 2 I 3 I 4  e  n   e        n (индекс е относится к интенсивности естественного света, индекс п — к интенсивности линейно­поляризованного света). У к а з а н и е .      Коэффициент   отражения   энергии    I     I 0 I P . Для нахождения интенсивности колебаний в плоскости падения  IPи пер­ пендикулярных плоскости падения I  следует воспользоваться формулами  Френеля. 5.8. Естественный свет падает на стекло (п = 1,54) под углом полной   поляризации.   Пренебрегая   потерями  света,   определите: а) коэффициент отражения;  б) степень поляризации отраженных лучей и лучей, прошедших в стекло.  Ответ  a kб ) 0,083; )0,09;1. 5.9. Пользуясь формулами Френеля, определите коэффициент отражения света при нормальном падении света на границу раздела вакуум — диэлектрик. Выразите этот коэффициент через показатель преломления диэлектрика.  Ответ     2 . n n 21 21  1  1 5.10. Естественный свет проходит сквозь плоскопараллельную стеклянную пластинку (п = 1,5), падая на нее под очень малым углом.   Пренебрегая   потерями   света,   определите   интенсивность света, вышедшего из пластинки.  I  Ответ  где, I 0 — интенсивность света, падающего на стеклянную пластинку. 0,81 . e 0,92 I I 0    У к а з а н и е .     Воспользуйтесь результатом решения задачи 5.9. 5.11.В некотором оптическом приборе естественный свет про ходит последовательно через две линзы, сделанные из стекла с показателем  преломления п1 = 1,6. Считая углы падения света на линзы малыми, определите долю света, прошедшего через прибор. Во сколько раз изменятся потери энергии из­за отражения при на несении на поверхность линз прозрачного слоя из материала, имеющего  показатель преломления п2 = 1,3?  I  Ответ  У к а з а н и е .  Следует воспользоваться результатом решения задачи 5.9,  Уменьшатся в 2,35 раза. 0,8 . 0 I учтя при этом, что свет проходит через 4 отражающие поверхности. 5.12.  При падении света на границу воздух — стекло (п = 1,6) под углом 58° отражается 8,3% падающей энергии. Какова степень поляризации отраженного и прошедшего в стекло света?  Ответ 1; 0,09. 5.13. Главные плоскости двух призм Николя образуют между собой угол в 30°. Как изменится интенсивность прошедшего света, если главные плоскости поставить под углом 45°? Чему равен угол между главными плоскостями двух николей, если после прохождения через  них света его интенсивность уменьшилась в 4 раза?  Ответ Уменьшится в  1,5 раза,  o. 45    5.14. Поглощение света в николе таково, что наибольшая интенсивность     поляризованного света,  прошедшего сквозь николь, составляет 90% интенсивности поляризованного света, падающего на него. Во сколько раз уменьшится интенсивность, если свет пройдет последовательно через три николя, расположенные так, что плоскости  поляризации первого и третьего совпадают,  а плоскость поляризации второго образует с этими плоскостями угол 63°  Ответ n=65. 5.15.  Поляроид пропускает частично поляризованный свет. Какова степень поляризации, если известно, что отношение минимальной и максимальной  амплитуд колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях равно  0,2?  Ответ 0,92. 5.16. На пути светового пучка стоят два поляроида с параллельными  плоскостями поляризации. Во сколько раз изменится интенсивность света,  прошедшего через поляроиды, при повороте одного из них на 90°, если каждый поляроид пропускает свет со степенью поляризации 0,9?  I P I  19. Ответ У к а з а н и е .  По степени поляризации нужно найти отношение ин­   тенсивности колебаний в одном из главных направлений поляризатора к ин­ тенсивности колебаний в другом. Это отношение является характеристикой  поляроида. 5.17.  Частично       поляризованный       пучок     света       проходит   через николь.   Интенсивность   пучка   увеличивается   вчетверо,   если   повернуть николь   на   угол   60°   от   положения,   соответствующего   минимальной интенсивности. Какова степень поляризации пучка?  Ответ   0,86. 5.18.    Пучок   естественного   света,   длина   волны   которого   в   пусто те   589   нм,   падает   нормально   на   пластинку   исландского   шпата,   вы резанную   параллельно   оптической   оси.   Толщина   пластинки  h  = =  0,03   мм;    п0  =   1,658;    пе  =   1,486.   Определите   длину   волны       в кристалле   обыкновенного   и   необыкновенного   лучей,   разность   хода лучей,   прошедших   через   пластинку.   Какой   наименьшей   толщины нужно   сделать   пластинку,   чтобы   для   этого   света   она   была   «четверть волновой»?  V l   h n 0   nм e Ответ    0  3,55 10   7 ,м  е  3,95 10   7 , м  10 5,16 10  ; h  h 4  n 0   nм e  856 10   9 .   5.19.    волн     в   одноосном   положительном     Постройте,   пользуясь   принципом   Гюйгенса,   направление преломленных     кристалле   для следующих   случаев:   а)   оптическая   ось   перпендикулярна   к   плоскости падения и параллельна поверхности кристалла; б) оптическая  ось лежит в плоскости кристалла; в) оптическая ось лежит в плоскости падения под углом 45° к поверхности кристалла. поверхности параллельно   падения         5.20.  Пластинка кварца толщиной h = 1 мм, вырезанная пер­ пендикулярно к оптической оси и помещенная между двумя параллельными    николями,   поворачивает   плоскость   поляризации   на угол  же длины волны не будет выходить из второго николя?   = 20°. При какой толщине кварцевой пластинки свет этой α Ответ   h  hмм  2  4,5 . 5.21.  Какой толщины пластинку кварца нужно поместить между скрещенными  николями,  чтобы поле зрения стало максимально светлым? Как в этой пластинке должна проходить оптическая ось? Опыт производится в монохроматическом свете (  = λ 500 нм). Удельное  вращение кварца для этой длины волны 29,°7 на 1 мм.  Ответ  hмм 3,02 ; оптическая ось кристалла совпадает с направлением  распространения   света. 5.22. Какова концентрация сахара в растворе, если угол поворота  плоскости поляризации желтого света при прохождении его через трубку с раствором сахара равен 20°? Длина трубки 15 см. Удельное вращение сахара равно 66,°5 дм­1   при  концентрации 1 г/см3.  Ответ  с  0,2 / 3 г см .   5.23.  На рисунке 5.8 показана схема демонстрационного опыта русского физика Н. А. Умова. Свет от монохроматического источника S  проходит сквозь поляризатор Р, а затем сквозь слегка замутненный раствор  сахара в стеклянном сосуде В. В сосуде видна винтообразно расположенная  темная полоса.               Какова длина шага темного винта в растворе при следующих  условиях: раствор содержит р = 650 г сахара на q = 1 л воды,  плотность раствора D = 1,32 г/см3, освещение раствора производится светом с длиной волны λ = 521 нм, для которого постоянная вращения равна а = 87° дм­1. Как изменится наблюдаемая картина, если пользоваться источником белого света?      p q Ответ    pD цветную окраску. Винтообразные полосы будут иметь     lсм 42 .   Рис. 5.8 5.24. Монохроматический свет (  λ = 404,7 нм)   проходит сквозь поляроид Р (рис. 5.9)  и падает на кварцевую пластинку K, имеющую форму клина,   угол между гранями   которого  равен   тической оси в кварце   показано   штриховкой.   Свет   проходит   в   кварце   пути   порядка нескольких   миллиметров.  Постоянная   вращения   для   указанной   длины волны равна а = 48°9' мм­1.  Почему наблюдатель,   смотрящий   через поля­ роид А, видит полосы? Каково расстояние между ними?   = 7°48’  Направление оп θ h  Ответ    2,7 . cм   2 t 2 5.25. Параллелепипед,   вырезанный   из   плексигласа  с  линей ными размерами а = 2b = 3d = 0,5 см, сжимается силой F в на правлении оси Z (рис. 5.10) и освещается плоскополяризованным монохроматическим светом (λ = 500 нм) в направлении оси X. Пло скость колебаний падающего света составляет с осью анизотропии угол 45°. Коэффициент фотоупругости плексигласа С = 2* 10­11 м2/Н. При какой силе давления F свет выйдет из плексигласа поляризо ванным по кругу? Как в этом случае при поворотах анализатора А относительно луча меняется освещенность экрана? Как будет меняться  освещенность экрана при поворотах анализатора, если перед анализатором   поставить   «четвертьволновую»   пластинку?  Ответ   FН 4 с  41 . Освещенность   экрана не   меняется.   Освещенность  экрана меняется: за один оборот она становится два раза максимальной. 5.26. Между скрещенными николями помещена пластинка кварца,  вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки  составляет угол 45° с главными направлениями николей. Рассчитайте минимальную толщину пластинки, при которой одна линия водорода (λ1 = 656,3 нм) будет сильно ослаблена, а другая (λ 2 = 410,2   нм)   будет  обладать  максимальной   интенсивностью.  hм .    2 0,58 .  18 V n Разность показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного  лучей этих длин волн в кварце ∆n = 0,009. Ответ  У к а з а н и е :   Интенсивность наименьшая, если колебания, падающие на    анализатор,   составляют с  главной  плоскостью анализатора   угол  Это будет, если из пластинки выходят колебания в фазе, т. е. разность фаз.   Дф   =  2k  (k  —   целое   число).   Аналогично   рассуждая,   нужно найти   разность  фаз   колебаний,   вышедших   из   пластинки.   При наименьшей толщине пластинки число k наименьшее. . 2    5.27. В установке для наблюдения эффекта Керра плоский конденсатор с  длиной пластин l = 10 см заполнен нитробензолом и помещен между поляроидами. Через систему проходит монохроматический  свет. Вектор напряженности электрического поля составляет с главным  направлением поляризатора угол  = 45°. Опре для нитробензола, если наименьшее значение напряженности  электрического поля, при котором положение анализатора не влияет на  поле зрения, равно Е1 = 106 В/м. Какова наименьшая напряженность поля конденсатора, если при скрещенных поляризаторе и анализаторе поле зрения имеет наименьшую  освещенность? Изменится ли освещенность поля зрения, если, не изменяя напряженности, заменить светофильтр?  делите постоянную Керра  α Ответ    1 2 4 lE 1  2,5 10   12 м В Е / , 2  2 1 lk   2 10 4 , В м / 5.28. Ячейка Керра с расстоянием между электродами d = 1 мм заполнена нитробензолом и помещена между двумя скрещенными николями. Направление электрического поля в конденсаторе образует с  главными направлениями николей угол а = 45°. Через систему проходит монохроматический свет с длиной волны, для которой постоянная Керра К  = 2,2­10­12 м/В2. Определите длину пути света в конденсаторе, если минимальное напряжение между пластинками  конденсатора, при которой интенсивность света, прошедшего через  ячейку,   при   вращении   николя­анализатора  не  меняется, равно U = 1 кВ.  Ответ   lм 2 d kU 4 2  0,13 . 5.29. Некоторое вещество  помещено  в  продольное магнитное поле   соленоида,   расположенного   между   двумя   поляроидами. Длина трубки с веществом l = 30 см. При противоположных  на правлениях магнитного поля напряженностью Н = 56,5*103 А/м углы  поворота  плоскости  поляризации  составляют φх = +5° 10' И φ2 = —3°20'. Определите постоянную Верде для вещества в трубке. При  каком угле между поляроидами свет может проходить толь ко в одном направлении, т. е. система служит оптическим вентилем? Какова при этом минимальная напряженность магнитного поля?   4 угол между поляроидами равен  3,24 10  A V  1 ;   4 ; Ответ   4 lV минH     1 2 lH 2  2,78 10 7  / Aм .