ГАПОУ МО «Подмосковный колледж «Энергия»
Тема 1: Сочетания. Размещения.
Перестановки.
Дистанционный курс по математике для
студентов 1 курса
Преподаватель: Добрынина Н.В.
КОМБИНАТОРИКА
Занимается задачами о существовании и подсчете
различных комбинаций, которые можно составлять
и элементов заданного конечного множества.
Задача: На какую сумму очков выгоднее
поставить ставку, если очки выпадают
при подбрасывании двух игральных
костей?
Решение:
Сумма
очков
Число
способов
Возможные варианты
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1 + 1
1 + 2; 2 + 1
1 + 3; 3 + 1; 2 + 2
1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2
1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3
1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3
2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4
3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4
4 + 6; 6 + 4; 5 + 5
5 + 6; 6 + 5
6 + 6
1. Рассмотрим возможные
варианты.
2. Представим
полученные результаты
в таблице.
3. Видно, что
целесообразно сделать
ставку на выпадение
сумме 7 очков,
поскольку она
получается наибольшим
количеством вариантов.
Ответ: 7.
ФАКТОРИАЛ ЧИСЛА N
произведение всех натуральных
чисел от 1 до n, включая n.
ПРИМЕР: 5!
Решение: 5! = 1*2*3*4*5= 120
Основные формулы
комбинаторики
ПЕРЕСТАНОВКИ
Перестановками из n различных элементов
называются все возможные последовательности
этих элементов. Pn перестановка .
{a, b, c} – множество элементов
Перестановки: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Pn=n!
P3=3!=1*2*3= 6
ПЕРЕСТАНОВКИ
с повторениями из n
Перестановками
элементов k типов, причем 1 типа – n1 штук, 2
типа – n2 штук, 3 типа – n3 штук и так далее,
называются все возможные последовательности
исходных элементов .
{a, b, а} – множество элементов
Перестановки: aаb, baа, аba.
ЗАДАЧА:
Сколькими способами можно переставить
буквы в слове «ананас»?
Решение:
Всего букв 6.
Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1.
РАЗМЕЩЕНИЯ
взятых из исходного множества,
Размещениями из n различных элементов по m
элементов,
называются все возможные последовательности из m
элементов, которые отличаются составом элементов
или порядком их следования. (Аnm)
{a, b, c} – множество элементов
Размещения: ab, ac, bc, ba, cb, ca.
РАЗМЕЩЕНИЯ
Размещениями с повторениями из элементов n
различных типов по m элементов, взятых из исходного
множества,
возможные
которые
последовательности
отличаются составом элементов или порядком их
следования. (Аnm)
называются
все
из m
элементов,
{a, b, c} – множество элементов
Размещения: ab, aa, ba, bb, cb, ca, ac, cc, bc.
СОЧЕТАНИЯ
Сочетаниями из n различных элементов по m
элементов называются все такие последовательности
из m элементов, взятых из исходного множества. (Cnm)
{a, b, c} – множество элементов
Сочетания: ab, cb, ac.
Задача:
В первенстве по футболу участвует 16
команд, причем любые 2 играют между собой
1 матч. Сколько игр будет сыграно?
СОЧЕТАНИЯ
Сочетаниями c повторениями из n различных
элементов по m элементов называются все такие
последовательности из m элементов, взятых из
исходного множества. (Cnm)
{a, b, c} – множество элементов
Сочетания: ab, cb, ac, aa, bb, cc.
Задача:
В кондитерской имеется 5 различных
видов пирожных. Сколькими способами
можно составить набор из4 пирожных?
Замечания:
• При
использовании
в
задаче формул
исходного
элементов
перестановок
множества не происходит выбор.
из
порядок
• Сочетания применяются в задачах, где не
элементов.
важен
порядок
Размещения
следования элементов имеет принципиальное
значение.
применяются,
следования
где
Схема решения комбинаторных задач
Перестановка
Начало
Есть ли в задаче
выбор?
ДА
Размещение
Могут ли элементы
повторяться?
Важен ли
порядок?
НЕТ
Сочетание
С повтором
Без повтора
6: Сколькими
Задача
способами можно
раскрасить
столбцов
из
четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец
был окрашен в определенный цвет.
диаграмму
4
Решение: Pn =n! = 4! = 1234 = 24.
Задача 7: Имеется 5 кружков: 3 белых и 2 черных.
Сколько различных узоров можно получить,
располагая кружки в ряд.
.
Задача 8: Сколько словарей надо издать,
чтобы можно было непосредственно выполнить
перевод с любого из 5 языков на любой
из 5 языков.
Задача 9: На железнодорожной станции имеется
5 светофоров. Сколько может быть дано
различных комбинаций их сигналов, если
каждый светофор имеет 3 состояния.
Задача 10: 12 человек играли в городки.
Сколькими способами они могут разбиться на
команды по 4 человека в каждой.
.
Задача 11: В цветочном магазине продаются
цветы 6 видов. Сколько можно составить букетов
из 10 цветов в каждом (букеты отличающиеся лишь
расположением цветов считать одинаковыми).
.
11
и
хорошистов
Задача 12: В группе 20 студентов, из которых 5
остальные
отличников,
троечники. Сколькими способами можно выбрать
группу для выполнения лабораторной работы,
состоящей из 3 хорошистов, 1 отличника и 1
троечника.
165*5*4=3300
Задача 13: Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек
(все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими
способами можно накрыть стол к чаю на 3
человека, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце
и 1 ложку.
24*60*120=
172800
Список литературы:
1. Новоселов О.В. Комбинаторика и вероятность:
учебн. пособие для слушателей подготовит.
курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ,
Красноярск, 2009. – 78 с.
2. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и
информатика. Учебное пособие (для студентов
гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2е изд.
Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им.
И.А. Бунина, 2001, 110 с.
3. http://math4school.ru/elementy_kombinatoriki
Сочетания, размещения, перестановки.pptx
