Доказательство второго признака равенства треугольников

Доказательство второго признака равенства треугольников по А.В.Погорелову

Подготовила: Сазонова Светлана

Теорема

Поиск путей доказательства

Рисунок к теореме

Повторение нужного материала

Воспроизведение доказательства

План доказ-ва

План

Доказательство в учебнике

Второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.

Теорема

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А

В

С

С₁

В₁

А₁

Рисунок

Требуется доказать:
Если АС = А₁С₁,
∠А = ∠А₁,
∠С = ∠С₁,
то ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Как это доказать?
На что можно опираться при доказательстве теорем? Что можно использовать?

Повторим аксиомы

Существование треугольника, равного данному
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Основные свойства откладывания отрезков и углов
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

А

В

С

С₁

В₁

А₁

Поиск доказательства

Как сравнить два треугольника с одинаковыми элементами?
Ввести еще один треугольник.
Где его расположить: отдельно, в одном из данных, достроить один из имеющихся?
Построить на лучах одного из данных треугольников.
А как доказать равенство с помощью такого треугольника?
Сделать новый треугольник равным одному из данных и с помощью аксиом доказать равенство второму из данных, таким образом данные треугольники будут равны.

В₂

С₂

Дополнительное построение ∆А₁В₂С₂= ∆АВС

А₁В₂= А₁В₁

луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁

∠В₁А₁С₂=∠В₁А₁С₁

вершины С₁ и С₂ совпадают

План доказательства

∠А₁В₁С₂= ∠А₁В₁С₁

луч В₁С₂ совпадает с лучом В₁С₁

В₂ совпадает с В₁

∆А₁В₁С₁ совпадает с ∆А₁В₂С₂

∆А₁В₁С₁ равен ∆АВС

Доказательство

Пусть ∆А₁В₂С₂=∆АВС, В₂ ∈ лучу А₁В₁.
Из А₁В₂= А₁В₁ ⇒ В₂ совпадает с В₁.
Из ∠В₁А₁С₂=∠В₁А₁С₁ ⇒ луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁
Из ∠А₁В₁С₂= ∠А₁В₁С₁ ⇒ луч В₁С₂ совпадает с лучом В₁С₁
⇒ Значит вершины С₁ и С₂ совпадают
∆А₁В₁С₁ совпадает с ∆А₁В₂С₂ , значит равен ∆АВС.

⇒

ч. т. д.

Источники

Погорелов А.В. – Геометрия. 7-9 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций/ А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014 – 240 с.