Дополнительный материал для подготовке к ЕГЭ по математике (база и профиль, 11 класс)

Вариант № 1 база 1.   2.   3.   Найдите значение выражения  Найдите значение выражения  . Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на  доходы Мария Константиновна получила 6960 рублей. Сколько рублей составляет зара­ ботная плата Марии Константиновны? 4.   Среднее квадратичное трёх чисел  ,   и   вычисляется по  формуле  5.   . Найдите среднее квадратичное чисел   и  . Найдите значение выражения   при  . 6.   По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер сни­ мает со счёта абонента 18 руб. Если на счету осталось меньше 18 руб., то на следующее  утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 800  руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не по­ полняя счёт? 7.   8.   Найдите корень уравнения  . Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 58 см, а шири­ на экрана — 42 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах. 9.   Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждо­ му элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.   ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ А) масса футбольного мяча Б) масса телевизора В) масса взрослого бегемота Г) масса дождевой капли 1) 2,8 т 2) 750 г 3) 8 кг 4) 20 мг   Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г 10.   На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно  нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?   11.   На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый  месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в  градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру  в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.   12.   Строительный подрядчик планирует купить 10 тонн облицовочного кирпича у одного из  трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в  таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки? Поставщик Цена  кирпича  (руб. за шт) А Б В 13.   51 52 56 Стоимость  доставки  (руб.) 8000 7000 5000 Специальные  условия Нет Если стоимость  заказа  выше  100 000 руб.,  доставка  бесплатно При заказе свыше  125 000 руб.  доставка со  скидкой 50%. Найдите угол   многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы  многогранника прямые. Ответ дайте в градусах. 14.   На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x че­ тыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу ха­ рактеристику функции или её производной. Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставь­ те в соответствие каждой точке значение производной в ней.   ТОЧКИ А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 1) производная отрицательна на всём интервале 2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале   Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г 15.     Через концы A, B дуги окружности в   проведены касательные AC и BC. Найдите  угол ACB. Ответ дайте в градусах.   16.   Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 3 и 2,  а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого? 17.   Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в  правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ А)  Б)  В)  Г)  1)  2)  4)  3)    Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий  решению номер. 18.   Пять наиболее длинных рек России (учитывается наибольшая длина с притоками) —  это Амур, Енисей, Иртыш, Лена и Обь. При этом Лена длиннее Енисея, но короче Оби,  Амур длиннее и Лены и Иртыша. Выберите утверждения, которые следуют из  приведённых данных. 1) Амур — первая или вторая по длине река 2) Енисей — вторая или третья река по длине 3) Лена длиннее Иртыша 4) Амур длиннее Оби   В ответе укажите номер выбранного утверждения. 19.   Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 3, и  на 4, и на 5 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке  убывания слева направо. В ответе укажите какое­нибудь одно такое число. 20.   Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота де­ рева 11 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева? 1. Вариант № 2 база Найдите значение выражения  . 2. Найдите произведение чисел   и  . 3. Призерами городской олимпиады по математике стало 59 учеников, что составило 20% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде? 4. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им  , где   — число шагов,   — длина шага. Какое расстоя­  см,   ? Ответ выразите в километрах. расстояние   по формуле  ние прошёл человек, если  5. Найдите значение выражения  . 6. Каждый   день   во   время   конференции   расходуется  80  пакетиков   чая.  Конференция длится 9 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции? 7. Решите уравнение  ложительный корень. 8. . В ответе напишите наименьший по­ высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,2 м. Ответ дайте в метрах. Столб   подпирает   детскую   горку   посередине.   Найдите 9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каж­ дому   элементу   первого   столбца   подберите   соответствующий   элемент   из   второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) объём ящика с яблоками Б) объём воды в озере Ханка В) объём бутылки соевого соуса Г) объём бассейна в спорткомплексе ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1) 108 л 2) 900 м 3) 0,2 л 4) 18,3 км 10. В   случайном   эксперименте   симметричную   монету   бросают   дважды.   Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка. 11. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается  время в минутах, прошедшее от запуска  двигателя, на оси ординат —   температура   двигателя   в   градусах   Цельсия.   Определите   по   графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C.     12. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бе­ тонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 4 кубометра   пеноблоков   и   2 мешка   цемента.   Для   бетонного   фундамента необходимо 4 тонны   щебня   и   40 мешков   цемента.   Кубометр   пеноблоков   стоит 2550 рублей, щебень стоит 580 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 210 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант? 13. равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды  . Объем параллелепипеда    14. На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 годы. По горизонтали указывается год, по вертикали — прирост населения в процен­ тах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядно­ сти точки соединены линией.   Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая.   ИНТЕРВАЛЫ А) 2005–2007 гг. Б) 2007–2009 гг. В) 2009–2011 гг. Г) 2011–2013 гг. ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Падение прироста остановилось. 2) Наибольшее падение прироста населения. 3) Прирост населения находился в пределах от 0,5 % до 0,52 %. 4) Прирост населения увеличивался.   Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  А Б В Г 15. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. 16. Найдите   площадь   боковой   поверхности   правильной шестиугольной   призмы,   описанной   около   цилиндра,   радиус   основания   которого равен  17. , а высота равна 2. Поставьте в соответствие каждому неравенству множество его решений.     НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ А)  Б)  В)  Г)  1)  2)  3)  4)  Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:  A Б В Г 18. Хозяйка   к   празднику   купила   торт,   ананас,   сок   и   мясную   нарезку.   Торт   стоил дороже   ананаса,   но   дешевле   мясной   нарезки,   сок   стоил   дешевле   торта.   Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Ананас стоил дешевле мясной нарезки. 2) За сок заплатили больше, чем за мясную нарезку. 3) Мясная нарезка — самая дорогая из покупок. 4) Торт — самая дешёвая из покупок. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 19. Цифры   четырёхзначного   числа,   кратного   5,   записали   в   обратном   порядке   и получили   второе   четырёхзначное   число.   Затем   из   первого   числа   вычли   второе   и получили 2457. Приведите пример такого числа. 20. В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? 1. Вариант № 1 профиль Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены? 2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков. 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 4. ―  Россия. Всего на старт вышло 60 В   соревновании   по   биатлону   участвуют   спортсмены   из   25 стран,   одна   из которых   из России. Порядок старта определяется жребием, стартуют спортсмены друг за другом. Какова вероятность того, что десятым стартовал спортсмен из России? 5.  участников, из которых 6  ― Найдите корень уравнения  6. В   треугольнике   угол   равен   90°,   –   высота,  ,  Найдите  7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 8. Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 9. Найдите значение выражения 10. Небольшой   мячик   бросают   под   острым   углом     к   плоскости   горизонтальной поверхности   земли.   Расстояние,   которое   пролетает   мячик,   вычисляется   по α формуле   (м),   где v0 =   12   м/с   —   начальная   скорость   мячика,   а g — ускорение   свободного   падения   (считайте g =   10   м/с2).   При   каком   наименьшем значении угла  α  (в градусах) мячик перелетит через реку шириной 7,2 м? 11. Смешали некоторое количество 21­процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 15­процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 12. Найдите наибольшее значение функции  13.  на отрезке  а) Решите уравнение  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  14. Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 4 и острым углом 60°. Высота призмы равна 5. Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD. 15. Решите неравенство  16. Дан четырёхугольник ABCD. а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам. б)   Найдите   площадь   четырёхугольника ABCD,   если  ,    17. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных   платежа.   На   сколько   рублей   меньше   он   бы   отдал   банку,   если   бы   смог выплатить долг за 2 равных платежа? 18. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет более двух корней. 19. Произведение всех делителей натурального числа   оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число  ? 1. Вариант № 2 профиль Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей? 2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по   вертикали —   количество   осадков,   выпавших   в   соответствующий   день,   в миллиметрах.   Для   наглядности   жирные   точки   на   рисунке   соединены   линией. Определите   по   рисунку,   сколько   дней   из   данного   периода   выпадало   менее   3 миллиметров осадков. 3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1; 7), (4; 6), (4; 8), (1; 9). 4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок   выступлений   определяется   жеребьёвкой.   Какова   вероятность,   что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? 5. Найдите корень уравнения  6. В треугольнике ABC угол C равен 90°,  ,   Найдите высоту CH. 7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 8. В   правильной   треугольной   пирамиде SABC точка K –   середина   ребра BC,S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC. 9. Найдите значение выражения  10. В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора   Ф. Параллельно с  Ом.   Во   время конденсатором   подключeн   резистор   с   сопротивлением   кВ.   После   выключения работы   телевизора   напряжение   на   конденсаторе  телевизора   напряжение   на   конденсаторе   убывает   до   значения U (кВ)   за   время,  — постоянная. Определите определяемое выражением  (в киловольтах),   наибольшее   возможное   напряжение   на   конденсаторе,   если   после выключения телевизора прошло 28 с. Ответ дайте в киловольтах. (с), где  11. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 15 кг раствора кислоты различной   концентрации.   Если   эти   растворы   смешать,   то   получится   раствор, содержащий   34%   кислоты.   Если   же   смешать   равные   массы   этих   растворов,   то получится   раствор,   содержащий   46%   кислоты.   Сколько   килограммов   кислоты содержится в первом сосуде? 12. Найдите точку минимума функции  13. а) Решите уравнение  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  14. Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны  соответственно 12, 4 и 3. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C. 15. Решите неравенство  16. В   прямоугольном   треугольнике ABC с   прямым   углом C известны   стороны AC = 15, BC =   8.   Окружность   радиуса   2,5   с   центром O на   стороне BC проходит   через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности. а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем  б) Найдите радиус второй окружности.  длины катета  17. 15­го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы: —   1­го   числа   каждого   месяца   долг   возрастает   на r%   по   сравнению   с   концом предыдущего месяца; — со 2­го по 14­е число месяца необходимо выплатить часть долга; — 15­го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15­е число предыдущего месяца. Известно,   что   общая   сумма   выплат   после   полного   погашения   кредита   на   25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. 18. Найдите   все   значения а,   при   каждом   из   которых   решения   неравенства   19.      образуют отрезок длины 1. В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат   каждой  сыгранной   им   партии   и  после   каждой  партии  подсчитывает   три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих,   округлённый   до   целого,   и   «поражения»,   равные   разности   100   и   суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17). а)   Может   ли   в   какой­то   момент   показатель   «побед»   равняться   17,   если   было сыграно менее 50 партий? б) Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»? в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?