Движение жидкости в случае, когда объём жидкости не меняется и в случае, когда есть изменения объёма. Парадокс чайного листа

http://sci-article.ru/stat.php?i=1530084001

Движение жидкости в случае, когда объём жидкости не меняется и в случае, когда есть изменения объёма. Парадокс чайного листа

Movement of liquid in the case there are no changes in volume of liquid and in the case there are some changes.

Штром Виктор Фёдорович, инженер - программист,  Санкт-Петербург, Россия
[email protected]u

Аннотация: Представлены эксперименты, показывающих два типа движения несжимаемой жидкости. Первый тип - движение жидкости без изменения объёма, за счёт упругой деформации. Второй тип – формирование вихрей при расширении жидкости, получившей дополнительную кинетическую энергию. Предложены формулы для расчёта и моделирования вихрей.

Annotation:  A set of experiments is presented. The two main types of the movement of incompressible liquid were investigated. In the first case liquid moved with no changes in volume. The elastic deformation maked liquid move. In the second case a formation of curl took place during the expansion of the liquid getting an additional kinetic energy. Some formulas modeling curl's evolution were derived.

Ключевые слова: кинетическая энергия; упругая деформация; вихрь; эксперимент; дифференциальные уравнения кривых второго порядка.

Keywords: kinetic energy; elastic deformation; curl, experiment; second order  differentional equation. 

УДК 532.5

Введение

Приведём определения жидкости и несжимаемой жидкости из учебников. Жидкость  - агрегатное состояние вещества, промежуточное между твёрдым и газообразным состояниями. Жидкость, сохраняя отдельные черты, как твёрдого тела, так и газа, обладает, однако, рядом только ей присущих особенностей, из которых наиболее характерная — текучесть. Подобно твёрдому телу, жидкость сохраняет свой объём, что проявляется в ее малой сжимаемости. Жидкость имеет свободную поверхность.

Несжимаемая жидкость - математическая модель сплошной среды, плотность которой сохраняется при изменении давления.

При определении несжимаемой жидкости подразумевается, что она сохраняет основные свойства жидкости, в частности изменять форму при постоянном объёме.

Покажем, что это свойство позволяет  несжимаемой жидкости создавать движение в замкнутом пространстве. Для этого расширим определение несжимаемой жидкости – имеется наименьшая несжимаемая частица жидкости, способная менять свою форму, сохраняя свой объём.

1.      Эксперименты движения жидкости без изменения объёма, за счёт упругой деформации.

Вода имеет незначительный коэффициент сжатия и во многих случаях подходит для изучения процессов движения несжимаемой жидкости. 

На уроках физики демонстрируется эксперимент, падение тела в жидкости, рис. 1

Рис. 1

Естественно мы видим только движение твёрдого тела.  Опишем движение жидкости при постоянном объёме.

Проведём несколько мысленных экспериментов. 

Пусть наименьшая несжимаемая частица жидкости может принять форму куба 2 х 2 х 1 условных единиц, рис. 2.

Рис. 2

Мысленный эксперимент 1. Имеем кубический сосуд размерами 4 х 4 х 1. Сосуд абсолютно твёрдый. Поместим в сосуд 4 частицы равного объёма 2х2х1, 3 частицы жидкости и 1 твёрдую частицу такой же формы, рис 3а. Сосуд закрыт со всех сторон. Масса твёрдой частицы больше массы жидкой частицы. Под действием силы тяжести (g) частица 0 будет деформировать частицу 2. По закону Паскаля давление будет распространяться на все частицы жидкости. Получим движение всех частиц в сосуде, рис. 3b, с.

Рис. 3

Мысленный эксперимент 2. Твердая частица имеет массу меньше, чем масса частицы жидкости. Твердая частица помещена на дно сосуда, рис. 4а. Получим всплытие более лёгкой твёрдой частицы, рис. 4b, с.

Рис. 4

Кроме видимого перемещения твёрдых частиц, получили движение частиц жидкости.

Мысленный эксперимент 3. Заменим твёрдую частицу (0) на частицу жидкости с импульсом отличным от импульса других частиц. В жидкости будет происходить обмен импульсами между частицами путём обмена упругими ударами. Если разница между импульсами достаточна велика, то во время обмена импульсами будет происходить упругая  деформация частиц и топологическое движение жидкости. Естественно топология изменения форм частиц будет намного сложнее, чем в предыдущих экспериментах. В реальной жидкости будет происходить выравнивание импульсов и топологическое движение будет стремиться к нулю.

2.      Эксперименты формирования вихрей при расширении жидкости, получившей дополнительную кинетическую энергию

“Таким образом, струйка не может иметь внутри жидкости ни начала, ни конца; она должна, следовательно, иметь начало и конец на свободных границах жидкости или быть замкнутой” [1, гл. 2, §2].

Физический эксперимент 4. В сосуд с твёрдыми и прозрачными стенками и плоским дном насыпаны чаинки. Закроем сосуд и раскрутим. Чаинки под действием центробежной силы и силы трения переместятся вдоль стенки сосуда. Воздушная среда для данного эксперимента является достаточно разряженной и её влияние можно не учитывать.

Физический эксперимент 5. Сосуд с твёрдыми и прозрачными стенками наполним водой до краёв. В качестве маркеров движения поместим несколько чаинок. Сосуд плотно закроем крышкой. Сильно встряхнём сосуд несколько раз и поставим на стол. Чаинки, получив кинетическую энергию, будут хаотически двигаться, и оседать под действием силы тяжести.

Физический эксперимент 6. Сосуд с твёрдыми и прозрачными стенками наполним водой до краёв. В качестве маркеров движения поместим несколько чаинок, хаотично разбросанных на дне. Сосуд плотно закроем крышкой. Поставим сосуд на вращающийся круг. Раскрутим и остановим. Видим, что чаинки группируются в центре дна сосуда.

Физический эксперимент 7. Повторим эксперимент 6 с сосудом в форме параллелепипеда. Результат тот же, чаинки группируются в центре дна сосуда. Правда, разброс от центра больше. Что объясняется более быстрым разрушением вращательного движения жидкости, после остановки вращения сосуда.

В экспериментах 6, 7 жидкость начинает вращаться вместе с сосудом и ведёт себя как твёрдое тело. Все молекулы получают одинаковую угловую скорость, а линейная скорость увеличивается от центра к периферии. После остановки вращения сосуда в жидкости начинают проявляться текучесть и вязкость. Трение о стенки сосуда будет уменьшать скорость вращения молекул жидкости от стенок сосуда к центру. На все молекулы жидкости в вертикальном направлении действует только сила гравитации и она равна для всех молекул, поэтому невозможно движение молекул  вверх и вниз по замкнутой кривой с одинаковой скоростью в соответствующих точках кривой. Это значит, что в этих экспериментах не возникают замкнутые кривые движения в вертикальной плоскости. В экспериментах 6, 7 движение жидкости осуществляется центробежными силами, можно сказать в чистом виде. Обычно движение жидкости приводят вращением твёрдым предметом в сосуде. Например, ложечкой в стакане. Конечный результат одинаков, чаинки группируются в центре дна сосуда.

Уточним определение «жидкость имеет свободную поверхность». Это значит, что над поверхностью жидкости имеется пространство с газообразным веществом.

На движение частиц жидкости и газов влияют неравномерное распределение кинетической энергии, сила тяжести, сила трения.

Физический эксперимент 8. Сосуд с твёрдыми и прозрачными стенками наполним водой примерно на 3/5 и герметично закроем. Сосуд  будем некоторое время с силой хаотично встряхивать. Быстро ставим на неподвижную поверхность. Возникают линии тока. Часть линий тока стремится замкнуться на себя. Наблюдается формирование вихря из хаотического движение молекул.

Если эксперимент 8 повторить в сосуде с квадратным сечением, то формирования вихря не наблюдается. Отсюда следует, что для образования вихря требуется 1) достаточное количество кинетической энергии молекул жидкости, 2) дополнительное пространство, 3) направляющая сила на искривление движения.

Чтобы получить вихрь для несжимаемой жидкости с перепадом давления условие 2 обязательно.

Эксперименты записаны на видео.  Файл видео находится по адресу [4].

Вывод формул для расчёта и моделирования вихрей

Известно, что внутри вихрей давление уменьшается к центру, это значит, что происходит уменьшение плотности жидкости, но не за счёт сжатия, за счёт расширения. Чем быстрее движется жидкость в объёме пространства больше объёма жидкости, тем меньше силы удерживающие молекулы жидкости вместе. Вплоть до разрыва. Появляется горизонтальная выталкивающая сила, аналог силы Архимеда

                                                                (1)

где:

 - плотность жидкости в i - ом слое;

 - объём i - ого слоя;

- выталкивающая сила;

 - ускорение.

Если ускорение постоянно, тогда формула  (1) переходит в формулу (2)

                                                                 (2)

Имеем две величины влияющих на движение молекул возбуждённой идеальной жидкости на плоскости, собственный импульс молекулы и горизонтальная выталкивающая сила. Из законов Ньютона известно, что для криволинейного движения необходимо действие не менее двух сил. В двухмерной плоскости получили бы вихрь из концентрических окружностей линий тока, которые совпадут с траекториями движения молекул жидкости. 

В трёхмерном пространстве добавилась сила Архимеда, возникающая под действием гравитации.

                                                                 (3)

Хаотическое движение будет переходить во вложенные конусы вращения, вершиной вниз. Так как боковая поверхность каждого конуса имеет одинаковую плотность, то линии тока могут образовывать любые кривые второго порядка по коническим сечениям конуса. Заметим, что в вертикальном коническом сечении отсутствуют замкнутые кривые.  Затухание вихря будет происходить за счёт рассеивания энергии с окружающей средой.

Конические сечения являются кривые второго порядка, поэтому и движение по ним можно расчитывать дифференциальными  уравнениями кривых второго порядка [3]. В приведённых экспериментах, сосуды симметричны относительно вертикальной оси, поэтому линии тока на поверхностях конусов будут также симметричны относительно вертикальной оси. Это предполагает использование дифференциального  уравнения кривых второго порядка относительно центра.

                                             (4)

При выводе уравнения (4) использовалась обобщённая сила Q. В реальном движении жидкости обобщённая сила  является суммой сил, Q = F_a + F_p + F_t, рис. 5, где F_a - сила Архимеда,  F_p  - выталкивающая сила от наружного слоя, F_t - сила трения, v - скорость частицы М.

                                               Рис. 5

Продемонстрированные эксперименты позволяют моделировать и изучать движение жидкости в лабораторных условиях. Система уравнений (5) даёт возможность численных расчётов движения жидкости в вихре.

                                                      (5)

                                    i = 0,1,...,N; N – число вертикальных  слоёв жидкости в вихре.

Для реального вычисления необходимо расписать систему уравнений по координатам.

Заключение

1.      Первый тип движения жидкости в природе в идеальном виде невозможен. Требуется жёсткий замкнутый сосуд. В неживой природе возможно топологическое движение жидкости надо учитывать при движении магмы внутри планеты. В живой природе, если считать стенки органических клеток достаточно твёрдыми, то движение внутриклеточной жидкости также можно рассматривать, как движение жидкости за счёт упругой деформации её частиц.

2.      Общее дифференциальное уравнение кривых второго порядка [(18), 1]

не ограничивает выбор функции радиуса. Можно найти функцию, которая опишет движение в вертикальной плоскости в поле тяготения.

В природе наблюдается такое движение - «Согласно классической теории, частицы воды, участвующие в волновом движении на глубокой воде, описывают орбиту, имеющую форму окружности. Высота волны равна диаметру этой окружности. На Международном океанографическом конгрессе в Москве академиком В. В. Шулейкиным была показана неточность этой теории. На основании длительного изучения движения взвешенных частиц в волновом бассейне Гидрофизического института Украинской Академии наук в Крыму было установлено, что даже при глубине, превосходящей высоту волны, частицы воды движутся по эллипсу» [2].

3.      Эксперименты 4-8 физические, но в таком виде в природе их трудно встретить. Нет чёткой границы между вихрем и наружной средой. Процессы формирования области жидкости или газа с повышенной кинетической энергией происходят не так однозначно. Однако эти ограничения экспериментов позволяют исследовать формирование линий тока и выталкивающей силы (1) и возможно выявить другие свойства движения жидкости.

4.      При описании эксперимента 7 была доказана невозможность замкнутых вертикальных линий тока. Вероятно, это понимал А. Эйнштейн и предположил, что влияние трения уравнивает скорости молекул жидкости в вертикальных замкнутых линиях тока, рис. 6. Однако эта гипотеза не подтверждается ни расчетами, ни  экспериментами [5].

                                               Рис. 6

Ссылки

1. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика, Москва, изд. «Наука», 1964 г.

2. Международный Океанографический Конгресс 2 Москва 1966 г.  (International Oceanographic Congress 2; 1966; Moscow)

3.  Штром В. Ф., препринт, Дифференциальные уравнения кривых второго порядка,   URL:  http://sci-article.ru/stat.php?i=1431727293

4.  Видеофайлы экспериментов http://my-files.ru/v4jb9q  , https://drive.google.com/file/d/1fNRbQB70FJRKSv23f2cY0bOsMv9Brypx/view?usp=sharing

5. https://en.wikipedia.org/wiki/Tea_leaf_paradox

Скачано с www.znanio.ru