Экономическая задача в ЕГЭ профильного уровня по математике

Задачи экономического содержания в ЕГЭ по математике (профильный уровень)Практическая часть

Светлана Викторовна Марченко
МОКУ «Вторая Рождественская средняя общеобразовательная школа имени С.З. и Г.З. Пискуновых»

Самое необходимое для решения задачи экономического содержания в ЕГЭ по математике (профильный уровень)

1) 1% - это 0,01
2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:
Число a составляет p% от числа в: a = 0,01bp
Число а увеличили на p%: a·(1+0,01p)
Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%: a·(1+0,01p)·(1+0,01q)
Число а уменьшили на p%: a·(1 - 0,01p)

Задачи, связанные с изменением величины 

Пусть So – первоначальная величина, S – новая величина.
Повышение на a% n раз на a%
S= So ·(1+0,01a) S= So ·(1+0,01a)n
Понижение на a% n раз на a%
S= So ·(1-0,01a) S= So ·(1-0,01a)n

Тематика задач экономического содержания в ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задачи на кредиты с аннуитетными (равными) платежами
Задачи на кредиты с дифференцированными платежами
Задачи на вклады и инвестиции
Задачи на оптимизацию, решаемые при помощи производной

1. В июле 2022 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом; – с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

𝑆𝑆= 311040(1+ 1+𝑛 + 1+𝑛 2 + 1+𝑛 3 ) 4 1+𝑛 4 311040(1+ 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 + 1+𝑛 2 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 2 2 1+𝑛 2 + 1+𝑛 3 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 3 3 1+𝑛 3 ) 311040(1+ 1+𝑛 + 1+𝑛 2 + 1+𝑛 3 ) 4 1+𝑛 4 4 1+𝑛 4 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 4 4 1+𝑛 4 311040(1+ 1+𝑛 + 1+𝑛 2 + 1+𝑛 3 ) 4 1+𝑛 4 =201300

S млн рублей – начальная сумма
n=0.01a - ставка по кредиту
x млн рублей – ежегодный аннуитетный платеж

Ответ: 201300 рублей.

S млн рублей – начальная сумма
n=0.01a - ставка по кредиту
x млн рублей – ежегодный аннуитетный платеж

&𝑆∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 4 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 2 =0. &𝑆∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 4 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 2 =0. &𝑆𝑆∙ 1+𝑛 2 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 2 2 1+𝑛 2 − 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 − 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 4 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 2 =0. &𝑆𝑆∙ 1+𝑛 4 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 4 4 1+𝑛 4 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 3 3 1+𝑛 3 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 1+𝑛 2 2 1+𝑛 2 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 1+𝑛𝑛 1+𝑛 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 =0. &𝑆∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 4 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 2 =0. &𝑆∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 1 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 1 =0; &𝑆∙ 1+𝑛 4 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 3 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 2 − 𝑥 2 ∙ 1+𝑛 − 𝑥 2 =0.

(𝑛𝑛+2)( 𝑛+1 2 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1 2 2 𝑛+1 2 ( 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 )− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 )=0,

&𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2. &𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2. &𝑛𝑛=−2; &𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2. &𝑛𝑛=−2.2; &𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2. &𝑛𝑛=0.2. &𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2. &𝑛=−2; &𝑛=−2.2; &𝑛=0.2.

Ответ: 20%.

2. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

m = 21,
конечная сумма S к = 1604 тыс.,
x=30 тыс.,
a = 3%. Пусть 𝑛𝑛=0.01𝑎𝑎=0.03.

𝑆 𝑘 𝑆𝑆 𝑆 𝑘 𝑘𝑘 𝑆 𝑘 = 𝑋 1 𝑋𝑋 𝑋 1 1 𝑋 1 +…+ 𝑋 21 𝑋𝑋 𝑋 21 21 𝑋 21 =20𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑥𝑥 20−190𝑛 20−190𝑛𝑛 20−190𝑛 + 𝑆−20𝑥 𝑆𝑆−20𝑥𝑥 𝑆−20𝑥 𝑛+1 𝑛𝑛+1 𝑛+1 = 163𝑆−18900 100 163𝑆𝑆−18900 163𝑆−18900 100 100 163𝑆−18900 100 =1604.
откуда находим S = 1100 тыс.
Ответ: 1100 тыс.