ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС "Исследование квадратного уравнения"

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС Исследование квадратного уравнения Пояснительная записка.   Функции   вида y=ax2+bx+c (ax2+bx+c­квадратный   трёхчлен),   где   а¹0,   в   школьном курсе   математики   придаётся   большое   значение.   Безукоризненное   знание   необходимых свойств квадратного трёхчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратное уравнение с параметром часто включается в письменные работы и в тесты при поступлении в   ВУЗы. Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного   трёхчлена   при   решении   заданий,   связанных   с   исследованием   квадратного уравнения.   К   таким   задачам   относятся:   задачи   на   применение   теоремы   Виета,   на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром. Цель   данного   курса   перейти   от   репродуктивного   уровня   усвоения   материала (простого   решения   квадратных   уравнений   и   задач   на   их   составление)   к   творческому. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший   материал   для   учебно­исследовательской   работы,   что   является   пропедевтикой научно­исследовательской работы. В результате изучения курса учащиеся смогут творчески применять теорему Виета, решать   задачи   на   исследование   расположения   корней   квадратного   уравнения   и   решать квадратные уравнения с параметром. Курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 классов.   Тематическое планирование (18 ч.)      № п/п Наименование темы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.   Квадратное уравнение и его корни. Теорема Виета. Существование корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с параметром. Разные задачи. Зачёт.   Часы. 2 2 2 4 2 4 2   Программа 1.Квадратное уравнение и его корни. (2ч.) Определение   квадратного   уравнения.   Дискриминант   квадратного   уравнения.   Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром. 2.Теория Виета (2ч.) Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей. 3.Существование корней квадратного уравнения(2ч.)  Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта. Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра. 4.Расположение корней квадратного уравнения(4ч.) Графическая характеристика  расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей. Решение задач. Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения. 5.Решение квадратных уравнений с параметром (2ч.) Что значит решить уравнение с параметром. Решение уравнений. 6.Решение задач. Зачёт.(6ч.)  I. Квадратное уравнение и его корни       Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х­переменная,  а, b, с ­ некоторые числа, а¹0. В зависимости от дискриминанта D=b2­4ac квадратное  уравнение может иметь два корня (D>0), один корень (D=0) и не иметь корней (D<0).  При D>0 корни уравнения могут быть найдены по формуле                        ­  b  ±    D                             2а     D   /4      Если в квадратном уравнении коэффициент b заменить на 2к, то формулу корней  квадратного уравнения можно записать в другом виде:                     ­  k±                          а                  Квадратное уравнение, у которого а=1, называют приведенным и  записывают в виде х2+рх+q=0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень,  иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных  корня.    Примеры. 1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:  а) 3х2+х+2m­3=0  б) х2­2х+m­1=0  в) x2+(m+3)x+m­3=0 2. При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по  знаку: а) х2+(3а­5)х=2 б)2х2­(5а­3)х+1=0 в)4х2+(5а­1)х+3а+а=0 3. При каких значениях к оба корня уравнения равны 0: а)3х2+(к­1)х+1­к=0 б)х2­(3к+4к)х+9к­16=0 в)х2+(16­к)х+к+8=0 4. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, если а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0. Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного  уравнения . 5. При каком значении а уравнения х2 + ах + 1= 0  и  х2 + х + а = 0 имеют общий  корень?   Ответ: а = ­2. 6. Доказать, что при любом значении а уравнение ( а ­ 3 ) х2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два  корня.                                     II. Теорема Виета Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения   выражает  теорема Виета, получившее своё название по имени знаменитого французского  математика Франсуа Виета.       Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0, тогда х1+х2=­b/a, х1х2=c/a.  Для приведённого квадратного уравнения х2+рх+q=0, если х1 и х2 – корни этого  уравнения, то х1+х2=­p, x1x2=q.       Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения  х2+рх+q=0. Примеры: 3+х2х1 3 4+х2 2+х2 1.  Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х­1=0 найти: а) х1 в)х1/х2+х2/х1                     г)х1 1.      Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2­7х­3=0. Составить квадратное уравнение,  2                         б)х1х2 4. корнями которого являются числа: а) х1­2 и х2­2                  б) 2х1+3 и 2х2+3 в)1/x1 и 1/x2                   г) х1+1/х2 и х2+1/x1 2.      При каком значении параметра а один из корней уравнения х2­3,75х+а=0 является  квадратом другого? Ответ: ­125/8; 27/8. 3.      При каком значении параметра а один из корней уравнения х2­(3а+2)х+а2=0 в  девять раз больше другого?  Ответ: ­6/19; 6. 4.      Корни х1 и х2 уравнения х2+рх+12=0 обладают свойством х2­х1=1. Найти р. Ответ: ± 7. 5.      При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а­2)х+а=0 имеет корни, сумма  которых равна 0? Ответ: ­ 2. 6.      При каком значении параметра а уравнение (а­1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни  одного знака? Ответ: [­ 2,125; ­2) È (1;+¥). 7.      При каком значении параметра а корни уравнения ах2+(2а­1)х+а­2=0  отрицательны и их сумма меньше –5? Ответ: [­ 0,25; 0). 8.      При каком значении параметра р корни уравнения (р­2)х2+2рх+р+4=0 разных  знаков и их сумма отрицательна? Ответ: (­ 4; 0).                     III.Существование корней квадратного уравнения Для того чтобы квадратное уравнение ах2+bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно   чтобы   дискриминант   уравнения   был   больше   или   равен   нулю.   Как правило,   в   случае   необходимости   доказать,   что   заданное   квадратное   уравнение имеет   решение,   начинают   с   вычисления   его   дискриминанта,   с   тем   чтобы   затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ах0 2+bx0+c<0.   Чаще   всего   в   качестве   х0 берут   0   (даёт   достаточное условие с<0), 1(условие а+b+с<0) или –1 (условие а­b+c<0). Пример 1. Доказать, что при любом а уравнение (а3­2а2)х2­(а3­а+2)х+а2+1=0 имеет решение. Решение. Обозначим   левую   часть   данного   уравнения   через f(x).   Сразу   видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Очевидно, что f(1)=­a2+a­1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что  наше уравнение всегда имеет решение Пример 2.      При   каких   значениях   параметра   а   уравнение   х2­2Ö3(а­3)х +а2­3а+2=0   имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.     Решение. Если а2­3а+2<0, т.е. 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных   случаях   или   корней   нет,   или   они   одного   знака.   Отдельно   надо рассмотреть   те   случаи,   когда   корни   равны   или   один   из   них   равен   0.   В   случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х1>0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:            а2 –3а+2>0            а­3>0            D/4=2а2­15а+25>0 , откуда а>5.       Также рассматриваются другие случаи.     Ответ: если а<1 или 2<а<2,5, то х1<0, х2<0;                   если а=1 или а=2, то х1<0, х2=0;                   если 1<а<2, то х1<0, х2>0;                   если а=2,5, то х1=х2<0;                   если 2,5<а<5, то корней нет;                   если а=5, х1=х2>0;                   если а>5, х1>0, х2>0. Пример 3.        При каких значениях параметра а уравнение а(а+3)х2+(2а+6)х­3а­9=0 имеет более одного корня?       Комментарий   к   решению. Данное   уравнение   –   квадратное,   если   а¹0,   а¹3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4=(а+3)2­а(а+3)(­3а­9)>0 Однако   решение   полученного   неравенства   не   является   окончательным   решением задачи.   Мы   должны   еще   рассмотреть   случай,   когда   исходное   уравнение   является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а=0 и а=­3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а=­3.       Ответ: {­3}È(­1/3;0)È(0;+¥) Пример 4.       При каком значении параметра а уравнение (а­2)х2+(4­2а)х+3=0 имеет единственный корень?       Комментарий   к   решению. Если   а=2,   то   уравнение   превращается   в   линейное, которое не имеет корней. Если а¹0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень   при   нулевом   дискриминанте. D=а2­7а+10=0   при   а=2   или   а=5.   Значение   а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.       Ответ: а=5.                   Пример 5. При   каком   значении   параметра   а   уравнение   (а­1)х2+(а+4)х+а+7=0   имеет единственное решение? Ответ: 1;2;­22/3.             Пример 6. При каком значении параметра а уравнение (2а­5)х2­2(а­1)х+3=0 имеет единственное решение? Ответ: 5/2;4. Пример 7. При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение? (х2­(3а­1)х+2а2­2)/(х2­3х­4)=0.  Ответ:­2;0,5. IV. Расположение корней квадратного уравнения Для   решения   задач   этого   пункта   существует   таблица   (см.   приложение),   но   нет необходимости   заучивать   её,   надо   понять   принцип   построения   таблицы   и   уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах. Пример 1.       При каком значении параметра а один корень уравнения х2­(3а+2)х+2а­1=0 больше 1, а другой меньше 1?       Решение. Решение   легко   получается   на   основании   графического   соображения. График   функции   у=х2­(3а+2)х+2а­1   представляет   собой   параболу,   ветви   которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х1;х2] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х2­(3а+2)х+2а­1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х1<1<х2. Ответ: а>­2.       В общем случае для того, чтобы уравнение f(х)=ах2+вх+с=0 имело бы один корень меньше   А,   а   другой   больше   А,   необходимо   и   достаточно   выполнения   неравенства аf(A)<0. Пример 2.       Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2­а)х2­3ах+2=0 больше 1/2.       Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 >1/2). Если а ¹ 2, то уравнение ­   квадратное.   Введем   обозначение f(x)   =   (2­а)х2­3ах+2,    хв=3а/2(2­а), D=а(17а­16). Тогда   для   выполнения   условия   примера   необходимо   и   достаточно   одновременное выполнение следующих условий: D³0, хв>1/2, (2­а)f(1/2)>0. Решая эту систему получим: 16/7£а<2.       Ответ:  [16/17;2].                     Пример 3.       При каких значениях параметра а уравнение (а­2)х2­2(а+3)х+4а=0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.       Комментарий   к   решению. Так   как   речь   идет   о   двух   корнях,   то рассматриваемое   уравнение   должно   быть   квадратным,   то   есть   а¹2.   Рассмотрим функцию f(х)= (а­2)х2­2(а+3)х+4а, (а¹2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале (­¥;2) и один раз на интервале (3;+¥). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:       (а­2)f(2)<0       (а­2)f(3)<0 Ответ:  2<а<5. Пример 4.       При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2­(3а+1)х­а­2=0 лежат в промежутке (­1;2)? Комментарий к решению. Рассмотрим функцию f(х)= 4х2­(3а+1)х­а­2. Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох внутри интервала (­ 1;2). Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:  D³0          ­1<хв<2                      f(­1)>0 f(2)>0                   Ответ: (­3/2; 12/7).   Пример 5. Найти   все   значения   а,   при   которых   ровно   один   корень   уравнения   х2+2ах+3а­ 2=0   удовлетворяет условию х<­1. Ответ: а=2, а<1.  Пример 6.  Найти   все   значения   а,   при   которых   уравнение   х2­6х+а=0   имеет   два   различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7). Ответ: ­74, то х=(в±Öв2­16)/2; если в=±4, то х=в/2;если –46, то корней нет. Пример 3. Решить уравнение (2а­1)х2­(3а+1)х+а­1=0. Ответ: если а=0,5, то х=­0,2;                      если –9­Ö840,5 то х=(3а+1+Öа2+18а­3)/(2а­1)    Пример 4.    Решить уравнение ах2­(1­2а)х+2­а=0. Ответ:  если а=0, то х=­2;                         если а<­0,25, то корней нет;                         если а=­0,25, то х=­3;                         если –0,25<а<0 или а > 0, то х1,2=(1­2а±Ö4а+1)/2а.        Пример 5.   Решить уравнение (х2­5х+6)/(х­а)=0       Ответ: если а=2, то х=3;                     если а=3, то х=2;                     если а¹2,а¹3, то х=2 или х=3.     VI. Разные задачи       Пример 1.   Найти все значения а, при которых уравнения ах2+(3+4а)х+2а2+4а+3=0 имеет только целые корни.         Решение. Пусть а=0, тогда из уравнения следует, что 3х+3=0, х=­1. Поэтому а=0 удовлетворяет   условию   задачи.   Пусть   а¹0,   тогда   уравнение   равносильно   уравнению х2+(4+3/а)х   +2а+4+3/а=0.   Если   х1 и   х2 –   целые   корни   нового   уравнения,   то   ­4­3/а   и 2а+4+3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а=n, где nÎZ, тогда а=n/2, 3/а=6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может   принимать   значения   из   чисел ±1; ±2; ±3; ±6.   Проверка   показывает,   что только при n=­1 и n=3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.  Ответ:  0; ­1/2; 3/2. Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение х2+(а+2)х+1­а=0 имеет 2 действительных корня х1 и х2 такие, что х1х2<0, |х1| <4, |х2| <4.        Решение. Обозначим f(х)=   х2+(а+2)х+1­а   и   заметим,   что   если   условия   задачи выполняются, то f(­4)>0, f(4)>0, f(0)>0. Получили систему:       9­5а>0       3а+25>0       1­а<0          Решая систему, получаем 1<а<9/5.       Ответ: 1<а<9/5.       Пример 3. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+а)х2­3ах+4а=0 в зависимости от а?       Ответ: если –1<а£0,5, то один корень меньше 1;                       если –0,5<а£0, то оба корня меньше 1;                       при других а таких корней нет.          Пример 4. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение: 1.      ах2+½х­1½=0 Ответ: если а<­1/4, то два корня;               если а=­1/4, то три корня;               если –1/4<а<0, то четыре корня;               если а=0, то один корень;               если а>0, то корней нет.   2.      х2+а½х­2½=0 Ответ: если а<­8, то четыре корня;               если а=­8, то три корня;               если –8<а<0, то два корня;               если а=0. то один корень;               если а>0, то корней нет. 3.      х2+2½х­а½=5 Ответ :если а<­3 или а>3, то корней нет;               если а=±3, то один корень;               если –3<а<3, то два корня. 1.      При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения                       2х2­рх+2р2­3р=0 равен нулю? VII. Задачи к зачёту Ответ: р=1,5. 2.      При каком значении параметра р корни уравнения 3х2+(р2­4р)х+р­1=0 равны по  модулю, но противоположны по знаку? Ответ: р=0. 3.      При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х2+(3а2­½а½)х­а3­3а=0  равны нулю? Ответ: а=0. 4.      Не вычисляя корней уравнения 2х2­5х­4=0 найти: а) 1/х2 б) х1х2 в) х1/x2 1+1/х2 2; 4+х2х1 4; 3. 3+x2/x1 5.      Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х2­6х­1=0. Составить квадратное  уравнение, корнями которого являются числа: а) х1х2 б) 1/х2 в) х1/х2+1 и х2/х1+1; 2; 2 и х2х1 1 и 1/х2 2; 6.      В уравнении 5х2­ах+1=0 определить а так, чтобы разность корней равнялась  единице. Ответ: ±Ö5. 7.      При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х2­(а+3)х+6=0  равно 1,5? Ответ: –8 ; 2. 8.      При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а+1)х2+(а+1)х+а=0  положительна? Ответ:[­1/7;1/2) 9.      При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)х2+(2­а)х+а+6=0  положительны? Ответ: [­10 ; ­6) 10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а­1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеют  одинаковые знаки? Ответ: [­2,125 ; ­2) È (1;+µ). 11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2+(3а+4)х­3=0 лежат в  промежутке (­2 ; 1).? Ответ: (­5/2 ; 5/7). 12. При каких значениях параметра а уравнение (а­1)х2=(а+1) х­а имеет единственное  решение, удовлетворяющее условию 0<х<3? Ответ: (0;12/7); 1+2Ö3/3. 13. Решить уравнения при всех значениях параметра: а) ах2­6х+1=0; б) ах2=4; в) х2­ах=0; г) ах2+8=2х2+4а. 14.      Решить уравнение (а­1)х2+2(2а+1)х+(4а+3)=0. Ответ:      если а<­4/5, то корней нет;                         если а=1, то х=­7/6,                         если а³­4/5 и а¹1, то х1,2=(­(2а+1)±Ö5а+4)/(a­1). 15.      При каких значениях параметра а уравнение (а2­6а+8)х2+(а2­4)х+(10­3а­а2)=0  имеет более двух корней? Ответ: а=2. Литература для учащихся 1.      Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2001год. 2.      Галицкий   М.Л.,   Гольдман   А.М.,   Звавич   Л.И.   Сборник   задач   по   алгебре   8­9. Москва. «Просвещение». 2001год. Литература для учителя 1.      Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 1989. 2.      Литвиненко   В.Н.,   Мордкович   А.   Г.   Практикум   по   решению   математических   задач. Москва. «Просвещение». 1984. 3.      Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 год №7 4.      Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3 5.      Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 год №5 6.      Горнштейн   П.И.,   Полонский   В.Б.,   Якир   М,С.   Задачи   с   параметрами.   Москва­ Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002год.