Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО

на заседании

ЦМКОГСЭ

Протокол № ____

«____» _______________ 20 ___ г.

Председатель ЦМК

____________Л.М Иванова

утверждено

Зав. филиалом БПОУ «ЧМК»

МЗ Чувашии в г. Канаш

____________ Т.Э Фадеева

Методическая разработка теоретического занятия

элементы комбинаторики. Размещения,

престановки и сочетания.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая подготовка)

Канаш, 2021

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК.. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2.ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК 10

2.1. План лекции. 10

2.2.Теоретическая часть. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. КОНТРОЛИРУЮЩИЙ БЛОК.. 19

ВВЕДЕНИЕ

Данная методическая разработка по теме «Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки и сочетания.» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей обучающихся. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа); Упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Целые и рациональные числа.
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20.
Место проведения	Кабинет № 5
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия Лекция текущая, обзорная.
	Тип	Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельности Фронтальная.
Технологии обучения	Традиционная (репродуктивная) технология обучения Технология развивающего обучения
Методы обучения	Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. - практические (упражнение, тренинг, опыты, самостоятельная работа по алгоритму). Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формирование интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Пробудить чувства обучающихся удивления, гордости, уважения, сопричастности;
	Образовательная			Знать: Решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Логически и полно выстраивать ответ Применять комбинаторики в практических целях и в жизни человека		Закрепить основные понятия комбинаторики с помощью решения задач. Показать применение комбинаторики в практических целях и в жизни человека. Продолжить формировать обучающихся представления о комбинаторике и ее применении в жизни человека; Отработка навыков решения комбинаторных задач с использованием формул перестановок, размещений, сочетаний.
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Развитие комбинаторного мышления учащихся; Формировать навыки познавательного мышления. Формировать умения и навыки учебного труда. Продолжить развитие умения анализировать. Продолжить развитие умения сопоставлять. Продолжить развитие умения сравнивать. Выделять главное при работе с текстом задачи. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи.
Планируемый результат	Уметь	Решать комбинаторные задачи с использованием формул перестановок, размещений, сочетаний. Решать задачи с помощью алгоритмов и методов; Логически и полно выстраивать ответ.
	Знать	Формулы для вычисления соединений: перестановок, размещений, сочетаний
Формированиекомпетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		История				Комбинаторика
			Литература

	Выходящие		Перестановки				Размещения
			Сочетания

Внутрипредметные	Комбинаторика.

Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. – 2017. – 344 с. 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.www. fcior. edu. ru 4.www. school-collection. edu.

1.2. Технологическая карта

Структура комбинированного урока

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование	Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию.	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.	ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях. Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.	ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Эмоциональный настроить и подготовить обучающихся на урок. Сообщение цели и задач.	Эмоциональный настрой и готовность обучающихся на урок.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.	ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний - 30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:	Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения .	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний - 10 мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.	Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве натуральных, целых и рациональных чисел.	ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания - 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.	ОК1, ПК 1, ПК4
7. Первичное закрепление - 5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. преподаватель показывает на доске решение, опираясь на алгоритм	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему. Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.	ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает степень вовлечённости обучающихся в работу на занятии.	под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий.	ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению5 мин
обсуждение способов решения;	Записывают номера заданий. Внимательно слушают преподавателя.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению	ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия), 5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1. Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.	ОК1, ПК 1, ПК4

2. информационный блок

2.1. План лекции

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	Устная работа	1
2.	Объяснение темы «Элементы комбинаторики. Перестановки, размещение и сочетание»
	Элементы комбинаторики.	2
	Перестановки.	2
	Размещение.	2
	Сочетание.	2
3.	Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
	Пример 1	3
	Пример 2	3
4	Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№1059, №1072 и №1080)	3
5.	Домашнее задание №1059, №1072 и №1080 (четные). Подведение итогов.	3

2.2. Теоретическая часть.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Элементы комбинаторики
Перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки

В комбинаторике конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают Р_n .

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

P_n=1∙2∙3∙4∙…∙(n-1)∙n

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n - 1)!

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n₁ – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа - способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

Размещения

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: «размещениями из n по k».

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по k».

Представим себе, что из элементов множества мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, в которых порядок не важен (как в сочетаниях), но выбрав каждый элемент мы возвращаем его обратно в множество и можем выбирать его снова. Сколько же в таком случае мы получим комбинаций

Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы

aba и abc –разные наборы

Изучение этого случая начнем с простого примера:

В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?

Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.

Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.

пирожные			Шифр заказа
Первый вид	Второй вид	Третий вид	Шифр заказа
2	2	1	1101101
5			1111100

Каждый «зашифрованный» заказ представляет собой комбинацию из пяти 1 и двух 0. Число выбора заказа равно числу перестановок с повторениями элементов множества {1,1,1,1,1,0,0}. В этом множестве 1 повторяется пять раз и 0 – два раза

Применим формулу для числа перестановок с повторениями

Значит, способов заказать набор пирожных 21.

Сочетание

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и без упорядочивания выбранных элементов в последовательную цепочку называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m

Пусть множество содержит n элементов, а выборка будет содержать m элементов. Аналогично тому, как мы делали в примере, зашифруем каждую выборку единицами и нулями.

Число единиц равно числу выбираемых элементов, то есть m. Поскольку всего различных элементов в множестве n, то мы должны поставить между единицами (n-1) «перегородку», то есть (n-1) нулей. Число размещений с повторениями равно числу перестановок с повторениями элементов полученного множества из m единиц и (n-1) нулей

Сочетания с повторениями используем тогда, когда порядок расположения элементов в выборке не имеет значения и элементы могут повторяться

Задача подсчета числа сочетаний похожа на расчет числа размещений. Мы выбираем элементов из элементов, но только здесь нам не важен порядок. Мы можем посчитать число размещений . Но поскольку нам не важен порядок, то некоторые варианты мы посчитали по несколько раз.

Например, мы выбираем буквы из латинского алфавита ( букв). При подсчете числа размещений варианты , , , , , различны. Но когда мы считаем количество сочетаний, нам важен лишь набор, но не порядок. Поэтому все эти вариантов должны быть посчитаны как . И это касается любой тройки букв. Таким образом, количество сочетаний будет в раз меньше количества размещений:

Почему именно число ? Мы получили это число, рассмотрев перестановки трех букв (, , , , , ):

Таким образом:

Или в общем виде:

Подставив посчитанные ранее выражения для и , получим:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 5, 6, 7, 8, 9?

Решение:

Данные стороны таковы, что любые три из них соответствуют правилу треугольника, т.е. каждая сторона меньше суммы двух других. Значит, любая комбинация из трех сторон образует треугольник. Здесь речь идет о числе сочетаний из 5 элементов по 3 с повторениями:

Ответ: 35

Пример 2.

Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.

Поскольку , , , , , то существует 5+15+35+70+126=251 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 126

Решение задач.

Задача 1. В классе 20 учеников. Найти количество способов:

а) выбрать команду из 6 человек на интеллектуальный турнир;

б) выбрать старосту и заместителя старосты класса;

в) выбрать трех учеников, которые за время урока пойдут к доске, если каждый ученик может выходить к доске неограниченное количество раз.

Решение.

а) необходимо выбрать 6 человек из 20 учеников. При этом порядок выбора не важен, важен сам набор участников. Это число сочетаний из 20 по 6:

Ответ можно упростить:

б) Выбирая старосту и его заместителя нам важен порядок, т. к. роли отличаются. Т. е. Петров – староста, Иванов – заместитель и Иванов – староста, Петров – заместитель – это разные варианты. Можно описать еще так: роль старосты – это «место 1», роль заместителя – «место 2». Нам нужно на этих местах разместить 2 учеников из 20. Это :

в) Нужно выбрать учеников из . Причем один и тот же ученик может выходить к доске несколько раз. Это выбор из по с повторениями. Всего будет вариантов:

Ответ: .

4. Решение задач упражнения 1059,1072 и 1080 (не четные).

5. Домашнее задание. Решение 1059,1072 и 1080 – четные пункты.

2.3. Глоссарий

Термин	Значение
Перестановки	Конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают Р_n .
Размещение	Упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: из n по k».
Сочетание	Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и без упорядочивания выбранных элементов в последовательную цепочку называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m

3. Контролирующий блок

Тест.

I вариант

II вариант

1. Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи на:

а) выбор и расположение предметов из различных множеств;

б) выбор и перестановку чисел;

в) составление и заполнение таблиц.

1. Комбинаторные задачи – это:

а) задачи на составление различных комбинаций из n элементов;

б) задачи на составление и подсчёт различных комбинаций элементов;

в) задачи на подсчёт различных комбинаций элементов.

2. Число перестановок из n элементов можно найти по формуле:

а) Р_n=n!; б) Рn=;

в) Р_n=n!·(n-1)!.

2. Число размещений из n элементов по k можно найти по формуле:

а) А; б) А;

в) А.

3. Перестановка из n элементов - это:

а) комбинация из n элементов, отличающаяся друг от друга только расположением элементов.

б). комбинация из n элементов, отличающаяся друг от друга только составом

в) комбинация из n элементов, отличающаяся друг от друга только количеством элементов.

3. Сочетанием из n элементов по k называется:

а) любое множество, составленное из k элементов, с учётом порядка, выбранное из данных n элементов.

б) любое множество, составленное из k элементов, без учёта порядка, выбранное из данных n элементов.

в) любое множество, составленное из k элементов, с учётом порядка и составом.

4. Число сочетаний из n элементов по k можно найти по формуле:

а) С;

б) С;

в) С;

4. Выберете формулу для подсчёта

«эн факториала»:

а) n!=1·n;

б) n!=1·2·3·...·(n-1);

в) n!=1·2·3·...·(n-1)·n;

5. Даны цифры 1,2,3. Любое число, составленное из этих цифр – это задача на:

а) перестановку; б) размещение;

в) сочетание

5. Даны цифры 1,2,3. Любое двузначное число, составленное из этих цифр с учётом порядка – это задача на:

а) перестановку; б) размещение;

в) сочетание.

6. Из 25 учащихся выбирают двоих дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Эта задача на:

а) перестановку; б) размещение;

в) сочетание.

6. Для участия в спортивных соревнованиях выбирают 7 человек из 40 участников спортивной секции. Эта задача на:

а) перестановку; б) размещение;

в) сочетание.

I вариант

II вариант

Сколькими способами можно расставить 7 книг на полке?

2.Сколько различных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 0,1,2, 3,4,5 (без повторения)?

3.Сколькими способами из 25 человек можно выбрать троих дежурных?

4. Сколькими способами из 12 членов правления кооператива можно выбрать председателя, казначея и секретаря?

5. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать 12 для участия в соревновании?

6. В чемпионате по хоккею участвуют 7 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Шесть друзей купили 6 билетов в кино. Сколькими способами они могут занять свои шесть мест в зале?
В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на вторник, если в этот день должно быть 5 различных предметов?

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 2, 3,4,5,6 (без повторения)?

4. Сколькими способами из 24 человек можно выбрать троих дежурных?

5. Из восьми членов организации нужно выбрать председателя, казначея и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

6. Сколькими способами из 20 книг можно выбрать 16?

Ответы к тесту:

	№1	№2	№3	№4	№5	№6
I вариант	а	в	а	а	а	в
II вариант	б	б	б	в	б	в

Скачано с www.znanio.ru

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения

Составитель: Семенова А.М. , преподаватель высшей квалификационной категории филиала

СОДЕРЖАНИЕ