Элементы комбинаторики в задачах по теории вероятностей.

Элементы комбинаторики в задачах

по теории вероятностей.

Шкода Л.И.
Школа №12.

Рассмотрим применение элементов комбинаторики (перестановок, сочетаний, размещений) в задачах

по теории вероятностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (A) = m / n,
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A;
n - число всех возможных элементарных исходов испытания.(Вероятность всегда меньше1)

Задача 1.

В классе, где 7 мальчиков и 14 девочек, определяют двух дежурных. Найти вероятность: а) что это два мальчика;
б)что это две девочки (ответ округлить до десятых).
Решение.
Определим сколько всего способов выбрать двух дежурных. Всего в классе 7+14 = 21чел.
С212 = 21! / (19! · 2! ) = (19! · 20 · 21) / (19! · 1 · 2) = (20 · 21) / 2 = 210
а) найдем число способов выбрать двух мальчиков
С72 = 7! / ( 5! · 2! ) = (5! · 6 · 7) / (5! · 1 · 2) = (6 · 7) / 2 = 21 Тогда вероятность Р (М) = 21 : 210 = 0,1
б) найдем число способов выбрать двух девочек
С142 = 14! / ( 12! · 2! ) = (12! · 13 · 14) / (12! · 1 · 2) = (13 · 14) / 2 = 91 Тогда вероятность Р (Д) = 91 : 210 = 0,433…≈ 0,4
Ответ а) 0,1 ; б) 0,4

Задача 2.

Четыре участника забега, среди них «И», должны быть распределены в произвольном порядке на четырех беговых дорожках. Какова вероятность, что «И» окажется на первой дорожке? ( Округлить до сотых).
Решение.
Найдем количество вариантов распределения участников
Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Вычислим вероятность, что «И» окажется на первой дорожке
Р («И») = 1 / 24 = 0.041…≈0,04.
Ответ: 0,04.

Задача 3.

Пять студентов, сдающих экзамен, среди них Петров, преподаватель должен определенным образом разместить в аудитории, где семь одноместных столов. Какова вероятность, что Петров будет сидеть за первым столом? (Округлить до сотых).
Решение.
А75 = 7! / 5! = (5! · 6· 7 ) / 5! = 42
Найдем вероятность Р = 1 /42 = 0,0238 ≈0,02.
Ответ: 0,02.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

4 билета на елку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность, что билеты получат 2 мальчика и 2 девочки? (Округлить до сотых).
Решение.
Всего ребят 15 +12 = 27. Найдем количество комбинаций из 27 по 4 ( порядок не важен).
С274 = 27! /( 23! ∙ 4!) =(23! ∙24 ∙25 ∙26 ∙27)/(23! ∙1 ∙2 ∙3 ∙4)=17550.
Сколько комбинаций мальчиков по 2 :
С152 =15! /( 13! ∙2!)= (13! ∙14 ∙15) / ( 13! ∙1 ∙2)= 7 ∙15 = 105.
Сколько комбинаций девочек по 2 :
С122 =12! /( 10! ∙2!)= (10! ∙11 ∙12) / ( 10! ∙1 ∙2)=( 11 ∙12)/2 =66.
Найдем вероятность по формуле:
(С152 ∙ С122 ) / С274 = (105 ∙ 66) / 17550 = 0,3948…≈ 0,39.
Ответ: 0,39.

Задача 7.

В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3. Какова вероятность, что попадется хотя бы одна красная? (Округлить до десятых).
Решение.
Всего комбинаций из 11 по 3:
С113 = 11!/(8!∙3!)=(8! ∙9 ∙10 ∙11) / (8! ∙1 ∙2 ∙3) =165.
Не красных гвоздик в вазе 11-4 =7,
комбинаций из не красных гвоздик С73 = 7!/(4!∙3!)=(4! ∙5 ∙6 ∙7) / (4! ∙1 ∙2 ∙3) =35.
Найдем вероятность, что попалась не красная гвоздика:
Р = С73 / С113 =35/165 =7 / 33.
Найдем противоположное событие, то есть попалась красная гвоздика:
Р=1- С73 / С113 = 1 - 7 / 33 = 26 / 33 =0,787878…≈0,8.
Ответ: 0,8

Задача 8.

Решить самостоятельно.

1. 3 человека Андрей, Борис и Владимир встают в очередь. Какова вероятность, что Борис в этой очереди окажется впереди Андрея?
2. В классе 21 человек. Среди них Миша и Коля. Класс случайным образом делят на 3 группы по 7 человек. Найти вероятность, что «М» и «К» окажутся в одной группе?
3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал наугад. Какова вероятность, что номер набран правильно? (Округлить до тысячных).
4. В автосервис приехали одновременно 5 машин для ремонта. Среди них машина Орлова. Какова вероятность, что Орлов в очереди окажется первым? ( Округлить до сотых).
5. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Надо вложить в свободные места 2 фотографии, среди которых есть фотография Маши. Виктор берет наугад фотографию для первого свободного места. Какова вероятность, что это окажется фотография Маши? ( Округлить до тысячных).
6. Партия из 10 деталей имеет одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайном выборе 5 деталей из этой партии все они будут стандартными.?

Решение задачи 1.

Решение задачи 2.

2. В классе 21 человек. Среди них Миша и Коля. Класс случайным образом делят на 3 группы по 7 человек. Найти вероятность, что «М» и «К» окажутся в одной группе?
Решение.
С73 = 7! / (3!∙ 4!) = (4! ∙5 ∙6 ∙7) / (4! ∙1 ∙2 ∙3)= 35.
Так как ребят двое, то вероятность
Р = 21 / (35 ∙ 2) = 0,3
Ответ: 0,3.

Решение задачи 3.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал наугад. Какова вероятность, что номер набран правильно? (Округлить до тысячных).
Решение.
Две последние цифры можно набрать А102 способами:

А102 = 10! /8! = (8! ∙9 ∙10) / 8! = 9 ∙10 =90.
Благоприятствовать событию ( цифры набраны правильно) будет только 1 способ, поэтому вероятность
Р = 1 / 90 = 0,01111…≈0,011.
Ответ: 0,011.

Решение задачи 4.

4. В автосервис приехали одновременно 5 машин для ремонта. Среди них машина Орлова. Какова вероятность, что Орлов в очереди окажется первым? ( Округлить до сотых).
Решение.
Р5 = 5! =1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.
Вероятность будет равна
Р = 1 / 120 = 0,008333…≈ 0,01.
Ответ: 0,01.

Решение задачи 5.

5. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Надо вложить в свободные места 2 фотографии, среди которых есть фотография Маши. Виктор берет наугад фотографию для первого свободного места. Какова вероятность, что это окажется фотография Маши?
( Округлить до тысячных).
Решение.
Всего способов размещения 2 фотографий на 6 мест равно А62 = 6! / 4! = (4! ∙ 5 ∙ 6) / 4! = 5 ∙ 6 =30.
Вероятность Р = 1 / 30 = 0,03333…≈ 0,033.
Ответ: 0,033.

Решение задачи 6.

6. Партия из 10 деталей имеет одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайном выборе 5 деталей из этой партии все они будут стандартными.?
Решение.
Всего случаев
n = С105 = 10! /(5! ∙ 5!) = (5! ∙ 6 ∙7 ∙8 ∙9 ∙ 10) /( 5! ∙1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5) =

(6 ∙7 ∙8 ∙9 ∙ 10) /( 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5) = 252.
Число случаев, благоприятствующих второму событию равно m = С95 = 9! /( 5! ∙ 4!) =( 5! ∙ 6 ∙7 ∙8 ∙9) (5! ∙ 1 ∙2 ∙3 ∙4)=

(6 ∙7 ∙8 ∙9) (1 ∙2 ∙3 ∙4) = 126.
Вероятность Р = m / n = С95 / C105 = 126 / 252 = 0,5
Ответ: 0,5.