Элементы векторной алгебры.

Лекция 2. Элементы векторной алгебры.

·         Формулы деления отрезка в заданном отношении.

·         Векторы.

·          Операции над векторами.

Литература: Под ред. проф. Н.Ш.Кремера /Высшая математика для экономистов (с.68-91)

3.1 Формулы деления отрезка в заданном отношении.

Координаты точки , делящей отрезок между точками  и  получаем по формулам деления отрезка пополам: .

3.2 Векторы.

Вектор — это величина характеризующая своим числовым значением и направлением.

Вектор с началом в точке А {\displaystyle A}Аи концом в точке В {\displaystyle B}принято обозначать как АВ.

Если в данном векторе известны только точки А и В с координатами А(х₁; у₁; z₁), В(х₂; у₂; z₂) то можно определить координаты самого вектора АВ таким образом: АВ(х₂-х₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Если вектор задан таким образом  то модуль вектора определяется по следующей формуле

3.3 Операции над векторами.

Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения:

1)      × = ïï²;

2)      × = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

3)      × = ×;

4)      ×(+) = ×+ ×;

5)      (m)× = ×(m) = m(×);

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b +  y_a y_b + z_a z_b;

            Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Решение.   = (1, 2, 3),     = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор, обозначаемый  или , удовлетворяющий трем условиям:

1) - площади параллелограмма, построенного на векторах  и  с общим началом;

2) ,

3) векторы , ,  после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты  (в правой системе координат образуют правую тройку векторов).

Если векторы заданы таким образом, то векторное произведение имеет следующую формулу .

Определение. Смешанным произведением векторов  называют скалярное произведение векторов  и . Обозначают .

Приложение к геометрии:  параллелепипеда, построенного на векторах  с общим началом.

Свойства: 1) ; 2)  ненулевые векторы  компланарны, т.е. параллельны одной и той же плоскости.

Если векторы заданы таким образом

, , то смешанное произведение имеет следующую формулу .

Пример. Даны точки  найти объем пирамиды .

Решение.

. .

Скачано с www.znanio.ru