Применение производной. Физический смысл производной.
Краткая теория.
Так как это физический смысл производной, то все обозначения будут как в физике, то есть S(t) - координата точки от времени (Это теперь так будет обозначаться заданная функция, которую раньше чаще всего мы обозначали f(x) ); V(t) - скорость точки или тела ; a(t) - ускорение тела.
Правила нахождения производных будем использовать все те, которые мы записали в большой таблице в тетради.
Скорость V(t) равна производной от координаты S(t) по времени t.
Формула : V(t) = S´(t)
Ускорение a(t) равно производной от скорости V(t) по времени t.
Формула : a(t) = V´(t)
Примечание: Чтобы найти ускорение, если задана координата, надо сначала найти скорость, как производную от координаты и взять еще раз производную уже от найденной скорости.
Рассмотрим решенные примеры.
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t3 - 3t2 + 10 (м). Найти : а) скорость через 2 секунды; б) ускорение через 2 секунды; в) в какой момент времени ускорение станет равно нулю. Решение.
а) V(t) = S´(t) V(t) = (4t3 - 3t2 + 10)´ = 12t2 - 6t +0 =12t2 – 6t, при t=2 V(2) =12·22 - 6·2 = 48 – 12= 36 (м/с). Ответ: 36.
б) ищем ускорение a(t) = V´(t) a(t)= (12t2 – 6t)´ =24t – 6, при t=2 a(t) = 24·2 – 6=42(м/c2).
Ответ: 42.
в) Так как ускорение имеет вид: a(t) = 24t – 6, то 24t – 6 = 0 ; 24t = 6; t = 6 : 24 = 0,25 сек. Ответ:0,25.
Пример 2. Точка движется прямолинейно по закону S(t) =0,5t2 +3t +2 (м). Через какой промежуток времени скорость станет равна 15 м/с. Решение.
V(t) = S´(t) V(t) = (0,5t2 +3t +2)´ =0,5·2t + 3= t + 3, по условию V(t) =15, t + 3 =15, t =15-3=12 (сек) Ответ: 12.
Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону S(t) =4 + 8t – (2t3 / 3). Через сколько секунд тело остановится (то есть скорость станет равна нулю). Решение.
V(t) = S´(t) V(t) = (4 + 8t – (2t3 / 3))´ = 0+8 - 2·3t2/3= 8- 2t2, 8- 2t2 = 0 2t2 =8 t2 =4 t = √4 t = 2(cек). Ответ: 2.
Решить самостоятельно:
Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 5t3 + 3t2 – 28(м). Найти ускорение через 2,5 секунды.
Задача 2. Точка движется по закону S(t) =5t2 +3t -12 (м). В какой момент времени скорость будет равна 33 м/c.
Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 20t3 - 90t2 +32(м).
В какой момент времени ускорение будет равно нулю.
Ответы на задачи.
Задача 1. 81
Задача 2. 3
Задача 3. 1.5
Применение производной. Физический смысл производной
Решить самостоятельно: Задача 1
Ответы на задачи. Задача 1
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
