Функция. Производная функции

«Функция. Производная функции»  (базовый уровень, 10 класс) В данном модуле планируется к применению два объекта оценивания: 1. теоретический коллоквиум – 20 баллов;  2. тест,   состоящий   из   двадцати   заданий   с   кратким   ответом   (типа   В); максимальное количество баллов – 20. Вопросы к теоретическому коллоквиуму Определения: 1. числовая функция; 2. область определения функции; 3. область значений функции; 4. график функции; 5. функция, возрастающая на множестве  6. функция, убывающая на множестве  ; ) ( fDX  ; ( fDX  ) 7. монотонная функция; 8. функция, ограниченная снизу; 9. функция, ограниченная сверху; 10.ограниченная функция; 11.наименьшее значение функции на множестве  12.наибольшее значение функции на множестве  ; ; ( fDX  ) ( fDX  ) 13.функция, выпуклая вниз на множестве  ; ( fDX  ) 14.функция, выпуклая вверх на множестве  ; ( fDX  ) 15.непрерывная функция; 16.четная функция; 17.нечетная функция; 18.обратимая функция; 19.обратная функция;  20.периодическая функция; 21.период функции; 22.функция натурального аргумента; 23.приращение аргумента; 24.приращение функции; 25.производная функции  y  26.точка максимума функции; 27.точка минимума функции; )(xf  в точке х0; 1 28.точки экстремума функции; 29.стационарные точки функции; 30.критические точки функции; 31.касательная к графику функции (понятие) Формулы: 1. равенство, выполняемое для четной функции; 2. равенство, выполняемое для нечетной функции; 3. алгоритм исследования функции на четность (нечетность); 4. предел суммы, разности, частного; 5. первый замечательный предел; 6. сумма бесконечной геометрической прогрессии, при условии  ; 1q 7. формулы дифференцирования (10 формул) 8. правила дифференцирования (5 формул); 9. уравнение касательной к графику функции; 10.алгоритм составления уравнения касательной к графику функции; 11.алгоритм   исследования   непрерывной   функции   на   монотонность   и экстремумы; 12.алгоритм   нахождения   наименьшего   и   наибольшего   значений   непрерывной функции на определенном отрезке. Вывод формул: 1. ( xf )( 2. ( kf ))( x  xfk )(  ))( xg  )( xf ; ;  xg )( 3.  )( . ( xgxf ))()(  f Рисунки, графики: 1. графики   различных   функций   (линейной   функции,   параболы,   гиперболы, xfxg )( )()( xgx кусочной функции) 2. графики функций с заданными свойствами (четная, нечетная, периодическая, возрастающая,   убывающая,   ограниченная   снизу,   ограниченная   сверху, ограниченная, выпуклая вверх, выпуклая вниз, непрерывная); 3. графики функций, обратных данным; 4. график   функции,   построенный   на   исследовании   свойств   функции   с использованием производной; 5. касательная к графику функции в данной точке. В   каждой   карточке   теоретического   коллоквиума   должны   быть следующие задания:  6 определений (по 1 баллу за каждое правильное);  6 формул (по 1 баллу за каждую правильную);  вывод двух формул (по 2 балла за каждый исчерпывающий вывод);  2 графика (по 2 балла за каждый правильно построенный график). 2 Критерии оценивания заданий теоретического коллоквиума № задания 1 2 3 4 Количество баллов 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 Степень выполнения задания теоретического коллоквиума Определение приведено полностью и не содержит ошибок Определение содержит ошибки или приведено не полностью Формула приведена полностью и не содержит ошибок Формула содержит ошибки или приведена не полностью Вывод   формулы   верный,   содержит   все   существенные логические звенья В выводе формулы приведено только основание Все прочие случаи Приведены все существенные элементы графика Один существенный элемент графика отсутствует Все прочие случаи Пример   карточки   теоретического   коллоквиума   по   модулю  «Функция. Производная функции». 1. Приведите определение: ограниченной функции; а) б) области определения функции; в) функции, возрастающей на множестве  ; ( fDX  ) г) функции, ограниченной сверху; д) монотонной функции; е) критической точки функции. 2. Запишите формулы а) (  ) mkx   ;  б) производной частного двух функций; в) уравнения касательной к графику функции в точке х0; г) производной степенной функции; д) суммы бесконечной геометрической прогрессии, при условии  ; 1q 3. 4. е) предела разности. Приведите вывод: а) ( ))()( xgxf  f )()( xgx  xfxg )( )( ; Постройте график функции  y  2 2 x  6 x  3 . Теоретический коллоквиум проводится письменно; продолжительность ­ 45 минут. 3 Тест в формате ЕГЭ, составленный из заданий первой части КИМов ЕГЭ, соответствующих тематике модуля «Функция. Производная функции».  По плану работы ЕГЭ 2014 года по математике требования к выпускникам ОУ и элементы   содержания,   соответствующие   тематике   модуля   «Функция.   Производная функции», проверяются в заданиях В3 (анализ и чтение графиков функций), В9 и В15 (производная и ее применение к исследованию функций).   Тест   состоит   из   заданий,   соответствующих   трем   вышеприведенным   пунктам плана   ЕГЭ   2014   года.   За   правильное   выполнение   каждого   задания   теста   можно получить 1 балл.  Пример теста по модулю «Функция. Производная функции» В1. Функция   определена   на   промежутке   (­3;4).   На   рисунке   изображен   ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х0=1. Вычислите значение производной в точке х0=1. В2. Функция задана аналитическим способом    функцию на четность. . Исследуйте данную ó  x x   4 9 В3. На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале у  )(xf (­1;13). Найдите количество точек, в которых производная функции   равна 0. у  )(xf . В4. Найдите наибольшее значение функции  y   на отрезке [­20; ­4]. 81 x 2  x у  )(xf В5. На рисунке изображен график функции  , определенный на интервале (­3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции   равна 0. у  )(xf 4 В6. Найдите наибольшее значение функции  В7. Найдите наибольшее значение функции  y  64 x 2  x  на отрезке [­18; ­4].  на отрезке [­28; ­2].  x y  2  400 x В8.   На   рисунке   изображены   график   дифференцируемой   функции     и у  )(xf касательная к нему в точке с абсциссой  0x . Найдите значение производной функции  в точке  . 0x )(xf . В9. Найдите наименьшее значение функции  y  x ( 2 ()10 x  3)1  на отрезке        [5; 14]. В10.   На   рисунке   жирными   точками   показана   цена   олова   на   момент   закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 12 по 28 ноября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны олова в долларах США. Для наглядности   жирные  точки  на рисунке  соединены  линией.  Определите  по   рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой олова на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну). 5 В11. Найдите наименьшее значение функции  y 5; ­1].  на отрезке        [­ 2 ()4 x  9)8   x ( В12.   На   диаграмме   показана   среднемесячная   температура   воздуха   в Екатеринбурге за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во втором полугодии. Ответ дайте в градусах Цельсия. В13.   На   рисунке   изображён   график   функции   .   Найдите   среди   точек у  )(xf   те точки, в которых производная функции   4 6 7 , , 2 , 3 xxxxxxx 1 ответ запишите количество найденных точек. , , , 5   отрицательна. В )(xf 6 В14.   На   рисунке   изображён   график   функции     и   касательная   к   этому у  )(xf графику,   проведенная   в   точке   0x .   Уравнение   касательной   показано   на   рисунке. Найдите значение производной функции   в точке  . 0x y  1 4 5)( xf  В15. На рисунке изображены график функции     и касательная к нему в точке с абсциссой 0x )(xf . Найдите значение производной функции  у   в точке  . 0x )(xf 7 В16.   На   диаграмме   показана   среднемесячная   температура   воздуха   в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  –  температура  в градусах  Цельсия. Определите  по  диаграмме, в  каком месяце   средняя   температура   впервые   превысила   12°   С.   В   ответ   напишите   номер месяца.  В17. На рисунке изображен график функции  у  (­3;11).   Найдите   промежутки   убывания   функции   , определенный на интервале .   В   ответе   укажите   длину )(xf )(xf наибольшего из них. В18. Найдите наибольшее значение функции  12   Найдите   точку   максимума   функции 15  y В19.  на отрезке [­2; 2]. x  3 x   y  2( x  )5 cos x  sin2 x  5 , принадлежащую промежутку  . В20. Прямая  )2;0(  является касательной к графику функции  y 15  14 x ax Найдите все значения коэффициента а, если известно, что абсцисса точки касания отрицательна. ax 6 y  2  .  Время выполнения теста – 2 академических часа.  Максимальное количество баллов за тест – 20. 8