Геометрический смысл производной.

Найдите значение производной функции в точке х0 по рисунку с изображенным графиком функции y = f(x) и касательной к нему в точке с абсциссой х0.

На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат. Найдите f'(х0).

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна (положительна).

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с.

На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f (x) .

На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек максимума (минимума) функции y = f (x) на отрезке [a; b].

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки возрастания (убывания) функции f(x).

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = kx + b или совпадает с ней.

Найдите значение производной функции в точке х0 по рисунку с изображенным графиком функции y = f(x) и касательной к нему в точке с абсциссой х0.

2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с.

3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = kx + b или совпадает с ней.

4. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат. Найдите f'(х0).

Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga или угловому коэффициенту k касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Знак производной (tga или углового коэффициента k) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» (острый угол) то производная положительна, если касательная «смотрит вниз» (тупой угол) - отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна нулю).

Задача 2.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f'(4).

Решение.
Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно:

Задача 2.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат. Найдите f'(х0).

х0= 2

х0= - 4

х0= - 4

х0= 4

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.

y = 2

Задача 2.4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой
y = -2x + 7 или совпадает с ней.

Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

y = -2

y = -2

Задача 2.5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x + 7 или совпадает с ней.

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -3x+8 или совпадает с ней.

Найдем количество точек, в которых f´(x)= -3.

Поступим аналогично, найдем точку, в которой f´(x) = - 4, проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной.

Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, К=0. Это прямая, совпадающая с осью ОХ. Проведем эту прямую У=0 и сосчитаем количество точек с горизонтальной касательной.