Геометрия в природе

В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!».
Параллельные и перпендикулярные окружают нас повсюду: в лесу, у реки, в поле, у озера…Природа — совершенное творение, убеждаются учёные, которые открываются во всем: в строении человеческого тела пропорции золотого сечения, а в головке цветной капусты — фрактальные фигуры.
Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.

Использование различных приборов, механизмов и приспособлений в наше время значительно упрощает жизнь современных людей. Но иногда возникают ситуации, когда нет возможности применить технические средства. Например: довольно часто туристам требуется определить расстояния на местности, оценить размеры предметов. Из-за отсутствия приборов это можно сделать с помощью подручных средств или на глаз. В процессе изучения темы я научился измерять: высоту дерева, не приближаясь к нему, ширину реки, скорость протекающей в реке, ширину озера и высоту солнца.

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе математике и физике тем: прямоугольные треугольники, подобие фигур, скорость движение, угол падения и угол отражения.
2. Приобретенный опыт позволит находить без каких-либо сложных технических устройств расстояние до недоступных точек наиболее удобным способом.
3. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам ЕГЭ и ОГЭ.

научиться измерять недоступные высоты и широты простейшими способами, формирование математических приемов решения различных задач реальной жизни
В связи, с чем были поставлены следующие задачи:
1. знакомство с историческим и теоретическим материалом по вопросу измерения ширины реки, измерения высоты недосягаемого объекта, в частности дерева; измерение скорости реки;
2. решение практических задач;
3. показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире;
4. показать умение проводить измерительные работы на местности.

Сравнительные, аналитические, теоретические и экспериментальные исследования:
1. работа с литературой;
2. поиск информации во всемирной сети Интернет;
3. практические методы: измерения и сравнение;
4. математические расчеты

высота дерева и способы её измерения
река и способы измерения ширины и течения реки.

Рассматривается, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами». Исследовав свою семью, я убедился в этом.
 

 

Проходя 10м, и посчитав количество шагов, мы сделаем вывод, что на самом деле длина шага человека равна половине его роста, считая до уровня глаз.

Оборудование: метровая линейка, отвес (груз на нити)
Ход работы:
1. Поставить линейку рядом с деревом вертикально, используя отвес;
2. Определить на глаз высоту дерева, сравнивая с метровой линейкой.
3. Рассчитать высоту.
Плюсы: занимает мало времени, минимум оборудования, не зависит от погодных условий.
Минусы: субъективный способ, точность зависит от количества измерений (желательно не менее 10), большое количество участников эксперимента, нужен подход к объекту.
 

Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался его тенью. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ее тени. Это, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.
Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать некоторые геометрические свойства треугольника, - именно следующие два:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою (открыл сам Фалес).
Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.
Вооруженный этими знаниями Фалес вправе был заключить, что, его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.
Этим простым способом очень удобно воспользоваться. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент. Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают, равны высоте отбрасывающих предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.
Можно возразить, неужели без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее? Конечно, нет. Здесь нужно применить признак подобия треугольников по двум углам.
Изменим способ Фалеса: в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины не была. Измерив свою тень или тень какого – либо шеста, вычисляем: АВ :ав = ВС : вс, т.е. высота дерева во столько же раз больше собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени.

Оборудование: шест, линейка (рулетка или сантиметровая лента), отвес Ход работы:
Установить шест на горизонтальной поверхности отвесно в тени дерева, недалеко от верхушки и измеряем длину части шеста, покрытой тенью.
Выполнить измерения ВЕ - длина шеста АЕ - длина тени шеста АД - длина тени дерева
Вычислить по формуле высоту дерева CD =
Плюсы: простота измерений, минимум оборудования.
Минусы: для солнечного дня, ровный рельеф, отсутствие ветра, тени нечеткие, установка и прицеливание шеста, знание геометрических законов, нужен подход к предмету.

Оборудование: шест, линейка (рулетка или сантиметровая лента), отвес, колышек.
Ход работы:
1. Поставить шест отвесно и прочно укрепить его.
2. Отойти на расстояние от шеста.
3. Лечь на землю (ногами к шесту) так, чтобы видеть верхушку дерева и верхнюю точку шеста на одной линии.
4. Пометить колышком точку, из которой видно.
5. Выполнить измерения длины шеста, расстояние от колышка до дерева и от колышка до основания шеста.
6. Использовать формулу подобия треугольников.
Высота дерева будет во столько раз больше, чем длина шеста, во сколько раз больше расстояние от колышка до дерева больше расстояния от колышка до основания шеста.
Плюсы: не зависит от погодных условий и наличия теней.
Минусы: необходимо ложиться на землю, зависит от зрения исследователя, много оборудования, лучше выполнять вдвоем, нужен подход к предмету.
 

Оборудование: карандаш, линейка (рулетка или сантиметровая лента).

Ход работы:
1. Встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком - от основания до верхушки.
2. Рядом со стволом встать второму исследователю.
3. Вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке.
4.Прищурить один глаз и подведи кончик грифеля к вершине дерева, а ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола.
5. Повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно земле. При этом ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола.
6. Второй наблюдатель переходит в точку, где расположено острие карандаша. Измерить расстояние от ствола до места, где остановился второй наблюдатель. Оно будет равняться высоте дерева.
Плюсы: минимум оборудования, очень простой, не требует расчетов и дополнительных математических знаний, не зависит от погодных условий.
Минусы: неточный способ, большие погрешности в измерении, зависит от глазомера наблюдателя, необходим помощник.

Оборудование: зеркало (лужа), линейка (рулетка или сантиметровая лента)
Ход работы:
1. Положить зеркало между деревом и исследователем.
2. Найти точку, из которой видна отраженная в воде верхушка дерева.
3. Выполнить измерения расстояния от точки отражения в зеркале до основания дерева и до исследователя.
4. Использовать формулу подобия треугольников.
Высота дерева будет во столько раз больше вашего роста, во сколько расстояние от него до зеркала больше, чем расстояние от зеркала до вас.
Плюсы: не зависит от погодных условий, не нужен отвес, не нужны дополнительные приспособления.
Минусы: сложно поймать отражение в зеркале, ровная поверхность, нужен подход к предмету .

Оборудование: линейка (рулетка или сантиметровая лента)
Ход работы:
Избрать день и час, когда длина собственного роста человека будет равна длине его тени. Высота дерева в этот момент будет также равна длине отбрасываемой им тени.
Измерить длину тени дерева рулеткой.
Плюсы: самый простой и древний способ, минимум оборудования.
Минусы: для ясного солнечного дня; одновременность измерений, для одиночного дерева (тень не должна сливаться с тенью соседних деревьев), зависит от широты места измерения, ограниченное время измерений, нужен подход к объекту.

Оборудование: равнобедренный прямоугольный треугольник (деревянный, пластмассовый, картонный). Линейка (рулетка или сантиметровая лента), отвес.
Ход работы:
Приближаясь к дереву (или удаляясь) от него, установить треугольник у глаза так, чтобы один из его катетов был направлен отвесно, а другой совпал с вершиной дерева.
Выполнить измерения расстояний от исследователя до дерева и высоту от поверхности земли до глаз наблюдателя.
Так как треугольник равнобедренный, значит, высота дерева будет равна расстоянию до дерева плюс высота до глаз наблюдателя.
Плюсы: не зависит от погодных условий, очень простой и доступный способ.
 Минусы: нужен подход к дереву, зависит от зрения наблюдателя.

Для получения результата используем метод сравнения размеров.
Оборудование: фотоаппарат.
Ход работы:
Поставить одного человека рядом с деревом.
Держа фотоаппарат вертикально сфотографировать.
По готовой фотографии измерить высоту человека, и дерева.
По формуле определить высоту дерева:
H = h*L/l,
где H - высота дерева,
h –рост человека
l - Рост человека на фотографии
L – Высота дерева на фотографии

изучив некоторые способы измерения высоты дерева, определил плюсы и минусы способов, я попытался вывести основные критерии рационального способа измерения высоты дерева.
Критерии рационального способа измерения:
1. практичность
2. научность
3. экономичность
4. простота
5. длительность
6. качество
7. независимость от внешних условий.
Из всех рассмотренных способов измерения высоты дерева, я решил, что наиболее соответствуют критериям рационального способа следующие:
1. С помощью равнобедренного треугольника;
2. С помощью фотоаппарата;
3. С помощью тени
Их я и решил использовать в своей экспериментальной работе.

 
H = h*L/l,
где H - высота дерева,
h –рост человека = 1,7 м
l - Рост человека
на фотографии = 3,5 см
L – Высота дерева на фотографии = 19 см
Итак, H=9,2 м

Для этого необходимо стать рядом с деревом в солнечную погоду, чтобы видеть тень дерева и свою тень, и таким образом, измерить размер теней. Зная свой рост, вы сможете легко вычислить высоту дерева.
Составим пропорцию
1,7 м-1,3 м
7 м - х м
Высота дерева равна =9,15м

Вывод: мы измерили высоту дерева тремя способами, в основе которых лежат определение длины отрезка или знание свойств подобных фигур. Мы убедились на опыте, что результат во всех трех случаях почти одинаков, поэтому примерная высота дерева равна 9 м. Более точное измерение можно получить с помощью специальных устройств - высотомеров.

Как минимум понадобится рулетка, незаменимая палка (возможно, не одна). Ситуацию поможет упростить элементарное приспособление для измерения углов.
Проверенные методы:
Необходимо стать к реке боком. Взять палку и на вытянутой руке повернуть ее так, чтобы визуально она напоминала мостик над речкой в том месте, где вы планируете переправляться. Ее верх должен пересечься с контуром противоположного берега. Теперь нужно взять палку (не меняя ее положение) в точке, где видна граница между водой и берегом на вашей стороне (ширина реки). Не сдвигая руку в сторону, поверните палку на 180 °. Запомните ориентир, на который покажет ее верхушка. Расстояние от него до речки будет равно ширине потока.
Находим на противоположном берегу ориентировочный объект. Став напротив него, втыкаем палку. Делаем несколько шагов от нее под углом 90 ° (вдоль реки), отмечаем точку еще одной палкой. Движение не останавливаем, повторяем пройденное количество шагов и ставим третий ориентир. Поворачиваемся на 90 ° (спиной к воде) и двигаемся, не изменяя направление, до тех пор, пока центральная (вторая) палка и ориентир на противоположном берегу не окажутся на одной линии (совпадут). Длина пройденного расстояния от третьей палки равна ширине реки.
Визуально фиксируем удобный предмет на другом берегу в месте будущей переправы. Становимся напротив него (потом это место станет точкой отсчета). Затем начинаем перемещаться вдоль реки, пока не станем на линии, находящейся под углом 45° к объекту на противоположном берегу. Путь, который мы прошли от точки отсчета, равен ширине потока.
Используя Булавочный прибор

Первое положение булавочного прибора



Второе положение булавочного прибора

Способ (для измерения ширины маленьких рек).
Необходимо заметить какой-нибудь предмет А (дерево, куст, пенек, столбик), находящийся на другом берегу, у самого русла;

Скорость течения реки. V=S/T
V=7м:10с = 0,7м/c





На одном берегу поставить колышек А и В.От точки А пустить кораблик в точку В.И посмотреть за какое время он проплывет этот путь. И вычислить по формуле.

«Правду дополняет ясность»
В процессе изучения темы « Геометрия в природе » я научился измерять: высоту дерева, не приближаясь к нему, ширину реки, скорость протекающей в реке.
Конечно, измерение высоты и ширины удаленных предметов удобнее делать, когда в наличии имеется специальное измерительное оборудование. Но не каждый раз удается предугадать ситуацию, которая может возникнуть на прогулке или в туристическом походе. Вот тогда такие простые знания пригодятся и даже помогут выйти из затруднительного положения. Приведенные в работе способы, подобраны так, чтобы можно было измерить высоту и ширину любого удаленного предмета, не имея при себе никакого сверх технологического оборудования. Данная работа может служить хорошим пособием для подготовки к выпускным экзаменам.
 

1. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. - М.: АСТ, 2005.
2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.
3. http://piterhunt.ru/pages/nk-os/5A5.htm сайт «Питерский охотник»
4. http://www.scouts.ru «Центральный сайт скаутов-разведчиков России