Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

Дифракция излучения на сферической частице.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения частоты  система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для напряженностей электрического  и магнитного  полей:

                                               (1)

где  - волновое число для пустоты; с₀ – скорость света в вакууме. Обозначим через k = k₀ m – волновое число в среде с комплексным показателем преломления m = n – ix. Показатели преломления и поглощения (n и x) называются оптическими постоянными, их зависимость от w обычно известна из эксперимента.

Задача о разыскании шести неизвестных функций () может быть сведена к задаче о разыскании двух функций – электрического и магнитного потенциалов (U₁ и U₂), которые являются решениями колебательного уравнения. Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко вычисляются дифференцированием.

Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и магнитное поля в падающей волне описываются формулами:

                                (2)

где k_a = m_ak₀ – величина волнового вектора падающего излучения во внешней среде с вещественным показателем преломления m_a.

Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения

дифракции света на шаре.

В дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е₀, который будет внесен в окончательные выражения для полей.

В сферической системе координат, в которой естественно решать данную задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:

                                         (5)

                                     (6)

                                    (7)

                                             (8)

Падающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем пространстве – дифрагированное поле, причем все эти поля должны иметь оду и ту же временную зависимость, т.е. частоту. Произвольное электромагнитное поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний. Первый тип назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю:

                                                                  (9)

Второй тип – магнитные колебания:

                                                                  (10)

В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим

Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что  есть производные от некоторой третьей функции : первая – по , а вторая – по :

Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить  где  - некоторая новая функция. Тогда найдем . Если теперь вместо функции  ввести , то формула (3) получит вид

                        (11)

тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для функции

(12)     

Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для  производные по  через производные по r из уравнения (12), получим следующие соотношения:

        (13)

которые выражают все составляющие полей для случая  через одну функцию  - потенциал электрических колебаний. Подставив эти выражения в уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют решение уравнений Максвелла, если U₁ является решением волнового уравнения. Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть выражены через некоторую функцию  - потенциал магнитных колебаний.

В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для составляющих полей получим при этом следующие выражения:

                                          (14)

Функции U₁ и U₂ являются решением волнового уравнения.

                                                                   (15)

которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он появится при рассмотрении граничных условий, которые для U₁ и U₂ различны). В качестве частного решения положим

                                                                 (16)

Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие уравнения:

                                                        (17)

                                   (18)

Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере только для , где n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются сферические функции:

          (19)

где  а  - полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку , тогда для R_n (x) получим следующее уравнение (x = kr):

                            (20)

Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с полуцелым индексом . Таким образом, n-е частное решение уравнения (15) будет

                                    (21)

Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода  конечны в нуле. Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в виде , то только ханкелевская функция второго рода  дает волну, расходящуюся из источника дифракции . Обозначим

                                     (22)

тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисляются из граничных условий. Граничные условия для потенциалов U₁ и U₂ на шаре получаются из требования непрерывности тангенциальных () составляющих полей. Из (14) видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара были непрерывны следующие величины: , т.е.

                                        (23)

                                          (24)

где U^a – потенциал дифрагированного поля, а Uⁱ – внутреннего.

Представим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде рядов по , используя известное разложение плоской волны по полиномам Лежандра:

                                           (25)

Тогда после преобразований получим:

                        (26)

Потенциалы  и  должны иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего поля. Поэтому можно записать:

                                         (27)

                                          (28)

Коэффициенты  должны быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар коэффициентов  и  с данным значком  две независимые системы по два линейных уравнения. Запишем их, введя следующие обозначения: ;  - относительный (комплексный) показатель преломления,  - длина волны излучения. Для  и  имеем:

                              (29)

Аналогичная система получается для  и :

                               (30)

Решая эти системы относительно  и , получим:

                        (31)

Аналогичные выражения получаются и для  и . Подставляя эти выражения в (27) и (28), получаем однозначное решение уравнений для потенциалов, удовлетворяющее всем граничным условиям. Из потенциалов, в соответствии с (14), можно получить выражения для составляющих внутреннего и дифрагированного полей. Так как в дальнейшем нас будет интересовать дифрагированное поле, то выпишем только его составляющие, восстановив опущенный ранее множитель Е₀:

    (32)

Штрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком функции ( и ). На достаточно большом расстоянии от рассматриваемой частицы, в так называемой волновой зоне, можно пренебречь составляющими E_r и H_r по сравнению с составляющими по  и . Дифрагированное поле будет являться поперечной волной, распространяющейся из источника дифракции. Введя обозначения

                                                                (33)

                                 (34)

и применяя асимптоматические выражения для функций  при , получим:

                                            (35)

Согласно этим формулам, дифрагированное поле представляется в виде сумм отдельных парциальных волн. Интенсивность возбуждения -й парциальной волны определяется числами , которые существенно зависят от .

Поле вне частицы  есть суперпозиция падающего  и дифрагированного  полей:

                                                     (36)

Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется

                                                            (37)

где  - вектор, комплексно сопряженный к . В силу (36) поток может быть представлен в виде , где  - поток падающего поля,  - дифрагированного поля и  - поток, обязанный интерференции падающего и рассеянного излучений. Определим величины сечений поглощения с_п и рассеяния с_р излучения частицей

                                               (38)

где J₀ – интенсивность падающего излучения,  - радиальные составляющие потоков,  - элемент телесного угла, а  - элемент площади на сфере. Все интегралы распространены по сфере. Полное ослабление потока в результате прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и поглощения, т.е. для сечения ослабления излучения частицей имеем с = с_п + с_р. Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то  и для искомых сечений получим

                                               (39)

                                 (40)

Рассмотрим интеграл в (39). Имеем  Подставляя сюда выражение (32) для полей, выполняя интегрирование по  и группируя соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений:

Сумма будет иметь общий множитель . Оба интеграла легко вычисляются. Интеграл а) равен нулю, так как его подынтегральное выражение есть , а функция  равна нулю при . В интеграле б) преобразуем вначале первое слагаемое, проинтегрировав его по частям