Использование областей существования функции. Использование не отрицательности функции

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Пример 1. Решить уравнение.

Обе части этого уравнения определены только для х=2 и х=-2. Поэтому, если исходное уравнение имеет решение, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверкой убеждаемся, что х=2 удовлетворяет уравнению, х=-2 не удовлетворяет. Следовательно, уравнение имеет единственный корень х=2.
Ответ: 2.

Пример 2. Решить неравенство.

х2 - 6х + 5<=0,
12 - 2х2 – 100<=0,
х<0.

Обе части этого уравнения определены только для тех х, которые удовлетворяют системе:

Все решения системы состоят из двух чисел х=2 и х=-2. Поэтому, если исходное уравнение имеет решение, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверкой убеждаемся, что х=2 удовлетворяет уравнению, х=-2 не удовлетворяет. Следовательно, уравнение имеет единственный корень х=2.
Ответ: 2.

Пример 3. Решить неравенство.

Обе части неравенства определены для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств:

1-х2

х-2

0,

Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество, на котором определены обе части неравенства – пустое множество.
Ответ: решений нет.

Пример 4. Решить неравенство

Учитывая, что cos x

для любого х, получаем, что cos x=1,

Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству. Т.к.

1

Обе части неравенства определены только для тех х, для которых cos x

1.

т.е. х= 2

1,

то остается выяснить, для каких n справедливо неравенство

Очевидно, что для n=0 неравенство не выполняется, а для n

выполняется.

Ответ: 2

, n

Использование областей существования функций

Пусть левая часть уравнения

F(x ) = 0 (1) есть сумма нескольких функций

F(x) = f1(x) + f2(x) +…+ fn(x) (2), каждая из которых,

неотрицательна для любого x из области ее существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений

Использование неотрицательности функций.

Пример 1. Решим уравнение
x4 + 5 4x + 4 x2 2x – 2 2x + 1=0. (4)
Перепишем уравнение (4) в виде
(x2+2 2x) 2+ (2x-1)2 = 0. (5)
Уравнение (5) равносильно системе уравнений
(6) Первое уравнение системы (6) имеет единственное решение x1=0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (6). Следовательно, система (6), а значит, и равносильное ей уравнение (4) не имеют решений.
Ответ. Нет решений.

Пример 2.Решим уравнение
. (7)
Это уравнение равносильно системе уравнений
(8)
Первое уравнение системы (8) имеет единственное решение x1=3, которое является также решением второго уравнения системы (8). Следовательно, система (8), а значит, и равносильное ей уравнение (7) имеют единственное решение x1.
Ответ. 3.