Поделиться
Возрастан.Убыван.(с С.Р.).docx
Исследование функции на возрастание и убывание по графикам с помощью производной.
Краткая теория
На рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а на рис.2 этот угол тупой. Если угол наклона касательной острый, это означает, что производная в этой точке положительна, и функция при увеличении значения переменной Х будет возрастать.( см. рис.1). Если угол наклона касательной тупой, как на рис.2, это означает, что производная в это точке отрицательна, и функция на этом участке убывает. (см.рис. 2.). Итак, условие возрастания и убывания функции:
еслиf ´(x) > 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, если f ´(x)< 0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке,
У
функции может быть несколько участков убывания и возрастания. Рис. 3.Разберем пример
На рис.3 изображен
график некоторой функции f (x). Функция возрастает
на промежутках [-3;3] и [13;19]. На этих промежутках угол наклона касательной
с положительным направлением оси ОХ острый, значит производная f ´(x) > 0, так как тангенс
острого угла положителен. Функция убывает на промежутках [ -8; -3] и
[3;13], так как на этих участках угол наклона касательной с положительным
направлением оси ОХ тупой, значит производная f ´(x) < 0, так как тангенс
тупого угла отрицательный. Если надо определить
участки возрастания и убывания не по графику, а путем вычислений, то действуют
по такому
плану:
1. Найти область определения заданной
функции.
2. Найти производную f ´(x) заданной функции.
3. Найти промежутки, где производная f ´(x) > 0 и f ´(x) < 0, ( решая полученные неравенства аналитически или методом интервалов).
Пример1. Исследовать функцию f(x) = 5x2 -3x +1на монотонность (на возрастание и убывание). Решение.
Отметим найденную точку на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на два промежутка (-∞; 0,3] и [0,3; + ∞).Проверим знак производной в каждом из полученных промежутков. Для этого выбираем любое произвольное число из левого промежутка и потом из правого. Выберем любое число х<0,3, например х=0 и подставим вместо х в производную, получим: 10·0 -3= -3< 0.Поставим слева от числа 0,3 знак минус на числовой прямой.
Выберем любое число х>0,3, например, х=2 и подставим вместо х в производную, получим: 10·2 -3= 17>0.Поставим справа от числа 0,3 знак плюс на числовой прямой. Там, где производная положительна (f ´(x) >0) функция возрастает, то есть возрастает на промежутке [ 0,3; +∞)
Там, где производная
отрицательна
(f ´(x)<0) функция убывает, то есть убывает на ( -∞; 0,3].
Пример2. Исследовать функцию f(x) = 3x2 –2x3+12х на возрстание и убывание. Найти длину участка возрастания.
1.Область определения функции D(f) = R.
2. f ´(x) = (3x2 -2x3 +12х)´= 6х – 6х2 +12
3. f ´(x) = 0 6х – 6х2 +12 =0 разделим на 6 и перепишем по порядку. - х2 +х +2 = 0 Решим это квадратное уравнение, найдем дискриминант и корни.
D= 12 - 4·(-1)·2 = 1 + 8 = 9>0 - два корня.
X1= ( - 1+√9)/ ( -2) =2/ (-2)= - 1; X2= ( - 1-√9)/ ( -2) =2
Отметим найденные точки на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на три промежутка:
(-∞; -1] , [-1; 2] и [2; +∞). Проверим знак производной в каждом промежутке. На (-∞; -1] выберем, например, х = -3 и подставим в производную. . f ´(-3)= - ( -3)2 +(-3) +2= -9 -3 +2 = -10<0
В случае, когда производная получилась в виде квадратичной функции, то знак в каждом промежутке проверять не надо, достаточно определить знак в одном промежутке, в остальных знаки будут обязательно чередоваться, или как на рисунке изобразить схематически график квадратичной функции ( красный график).
Изобразим числовую прямую и расставим знаки производной.
Производная положительна на [-1; 2] , значит на этом промежутке функция возрастает. Производная отрицательна на промежутках (-∞; - 1] и [2; +∞), значит функция убывает на этих промежутках. Найдем длину участка возрастания 2 – (-1) = 2 +1 =3.
Ответ: функция возрастает на промежутке[-1; 2] , убывает на промежутках
(-∞; - 1] и [2; +∞). Длина участка возрастания равна 3.
Рассмотрим примеры на исследование функции на возрастание и убывание по графикам.
1.
На рисунке изображен
график производной функции 
определенной на
интервале 
Найдите
промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.
Ответ: 14.
2.
На рисунке изображён график 
—
производной функции 
определенной на
интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2]
функция 
принимает наибольшее
значение?
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
На заданном отрезке производная функции 
не положительна, функция
на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается
на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
Ответ: −3.
, ,
, ,
3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Поэтому промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−11; −10], [−7; −1] и [2; 3). Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого равна 6.
Ответ: 6.
, ,
4. На рисунке изображён график 
—
производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1,
x2, x3, ..., x8. Сколько
из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках x4, x5, x6. Таких точек 3 Ответ: 3.
, ,
, ,
5.
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки
−2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной
наименьшее? В ответе укажите эту точку. 
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
Ответ:4.
, ,
6. 
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение. 
Две из отмеченных точек
являются точками экстремума функции f(x). Это точки x3
и x6 (выделены красным). В них производная функции f(x)
равна нулю.
В точках x1, x2, x7 и x8 функция f(x) возрастает (выделены синим). В этих четырёх точках производная функции f(x) положительна.
В точках x4, x5 и x9 функция f(x) убывает (выделены зеленым). В этих трёх точках производная функции f(x) отрицательна.
Ответ: 3.
,
, ,
7.
Функция 
определена и непрерывна
на интервале 
На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.
Ответ: 3.
Примечание.
Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов
промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому
промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке 
и монотонна на
интервале 
то функция монотонна
на всем отрезке 
Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции
не существует в точке 
и положительна
во всех остальных точках. Функция f в точке 
непрерывна,
следовательно, она возрастает на 
8.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
|
ТОЧКИ |
|
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ |
|
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) |
|
1) производная отрицательна на всём интервале 2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
|
А |
Б |
В |
Г |
Пояснение.
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот.
На интервале (a;b)производная положительна вначале интервала и отрицательна в конце, потому что функция вначале возрастает, а потом убывает.
На интервале (b;c) производная отрицательна, потому что функция убывает.
На интервале (c;d) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала.
На интервале (d;e) производная положительна, потому что функция возрастает.
Таким образом, получаем соответствие А — 2, Б — 1, В — 3 и Г — 4.
Ответ: 2134.
Решить самостоятельно.
1.
На рисунке изображен
график функции y = f(x), определенной на интервале
(−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.
2.
На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x)
принимает наименьшее значение?
3.
На рисунке изображен
график производной функции f(x), определенной на интервале
(−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
4.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 
5.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 
6.
На рисунке изображен
график функции 
и отмечены точки
−2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту точку.
7.
На рисунке изображён
график функции y = f(x) и отмечены семь
точек на оси абсцисс: x1, x2, x3,
x4, x5, x6, x7.
В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение. Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки x3, x4, x7 — всего 3 точки.
8.
На рисунке изображён график функции 
и восемь точек на оси
абсцисс: 
В скольких из этих точек
производная функции 
положительна?
, ,
9. На рисунке изображён график функции 
и двенадцать точек на
оси абсцисс: 
В скольких из этих точек
производная функции 
отрицательна?
10.
На рисунке изображён
график функции 
определенной на
интервале 
. Сколько из
отмеченных точек 
принадлежат промежуткам
убывания функции?
11
Функция 
определена и непрерывна
на отрезке 
На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
12.
Функция 
определена и непрерывна
на отрезке 
На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции 
В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
13 
Функция 
определена и непрерывна
на полуинтервале 
На рисунке
изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
14.
На рисунке изображён график функции 
определённой на
интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x).
В ответе укажите длину наибольшего из них.
15. На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки K, L, M и N на оси x. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
|
ТОЧКИ |
|
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ |
|
А) K Б) L В) M Г) N |
|
1) функция положительна, производная положительна 2) функция отрицательна, производная отрицательна 3) функция положительна, производная равна 0 4) функция отрицательна, производная положительна |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
|
А |
Б |
В |
Г |
16.
На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.
|
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ |
|
ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) |
|
1) Значения функции положительны в каждой точке интервала. 2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала. 3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала. 4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала. |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
|
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
17. Исследовать функцию f(x) = 5 +2x3- 24х на возрастание и убывание. Найти длину участка убывания.
18. Исследовать функцию f(x) = x2 – 
x4 + 1 на возрстание и
убывание. Найти длину наименьшего участка возрастания.
Ответы на задания.
1. 4
2. -7
3. 18
4. 6
5. 6
6. – 2
7. 3
8. 5
9. 7
10. 4
11. 8
12. 6
13. 9
14. 3
15. 4321
16. 1432
17. ↓ [-2; 2]; ↑ ( - ∞; -2] и [2; +∞). Длина участка ↓ равна 4.
18. ↓ [-1; 0] и [1; +∞); ↑ ( - ∞; -1] и [0; 1]. Длина наименьшего участка ↑ равна 1.
Скачано с www.znanio.ru
![Ответ: функция возрастает на промежутке[-1; 2] , убывает на промежутках (-∞; - 1] и [2; +∞)](https://fs.znanio.ru/d5af0e/5e/cd/5805d43b0a7a155c9d1213730db257f357.jpg)
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
