Исследование уравнения розельвенты для решения не полного уравнения 5 степени

Исследование уравнения  розельвенты  для решения  не полного  алгебраического уравнения 5 –й степени.

В предыдущей статье  автора, было показано, что алгебраическое уравнение вида 𝑥 +𝐶𝑥+𝐷 =0, может быть разложено  на два уравнения 

(𝑥 +𝛼𝑥 +𝛽𝑥+𝛾)(𝑥 −𝛼𝑥+𝜇)=0, где коэффициент 𝛼, является корнем уравнения:

                                      𝛼    − 3С𝛼   − 11𝐷𝛼   − 4𝐶 𝛼  + 4𝐶𝐷𝑥 − 𝐷   = 0.

Полученное уравнение, является результатом решения системы уравнений:

                                                                                   𝛽 + 𝜇 − 𝛼   = 0

𝛼𝜇 − 𝛼𝛽 + 𝛾 = 0

𝛽𝜇 − 𝛼𝛾 = С

𝛾𝜇 = 𝐷

Так как систему уравнений обычным путём решить не удалось, была применена замена переменных:

𝜇 + 𝛽 = 𝑡

                𝜇 − 𝛽 = 𝑢, отсюда

                                                                                𝑡 + 𝑢               𝑡 − 𝑢

                                                                      𝜇 =  ,         𝛽 =   

                                                                                       2                       2

Которая позволила свести данную систему уравнений к более простому виду, и решить её.

𝑡 = 𝛼

𝛼𝑢 = −𝛾

                                                                                           𝑡  − 𝑢

                − 𝛼𝛾 = 𝐶

4

𝑡 + 𝑢

       𝛾 = 𝐷

2

В результате решения системы  уравнений, было получено уравнение розельвенты  неполного уравнения 5 степени.

                                      𝛼    − 3С𝛼   − 11𝐷𝛼   − 4𝐶 𝛼  + 4𝐶𝐷𝑥 − 𝐷   = 0.

Коэффициенты    𝛽, 𝛾, 𝜇,     системы     уравнений, могут          быть вычислены, следующим образом:

5𝐷𝛼

𝛾 =  ;

                                                                                     (2𝛼   + 2𝐶𝛼 − 𝐷)

𝑡 = 𝛼 ;

𝛾

𝑢 = −  ;

𝛼

                                                                                𝑡 + 𝑢               𝑡 − 𝑢

                                                                      𝜇 =  ,         𝛽 =   

                                                                                       2                       2

Таким                                 образом,   доказано,    что    алгебраическое    уравнение         вида: 𝑥       + 𝐶𝑥 + 𝐷 = 0,

Невозможно решить в радикалах, что подтверждает правильность теоремы Н.Абеля.

В настоящее время, данный вывод уравнения розельвенты для решения уравнения 5 степени, представляет, только теоретический интерес.

  Любое уравнение легко решается на компьютере численным путём.  Для этого была написана программа на Питоне, что позволяет вычислять все корни уравнения 10 степени с высокой точностью.  Для вычисления корней уравнения, были взяты значения  С и 𝐷, из условия, когда коэффициент 𝛼 = 1, компьютер нашёл ещё один  действительный корень, при решении уравнения розельвенты.

С = 1.25 ,𝐷 = −3

Кроме корня 𝛼 = 1,  есть ещё корень 𝛼 = −2.10168626

После подстановки этого корня уравнения в кубическое и квадратное уравнение, мы получим , значение всех 5 корней уравнения 5 степени.

В случае, когда мы подставляли в кубическое и квадратное уравнение 𝛼 = 1, мы получили корни: 

                                                                     𝑥   = 1,10168626046256;

                                𝑥    =. −1,05084313023128 + 0,84328381497588 ∗ 𝑖;

                                   𝑥    − 1,05084313023128 − 0,84328381497588 ∗ 𝑖;

                                                         𝑥   = 0,5 + 1,11803398874989 ∗ 𝑖;

                                                         𝑥   = 0,5 − 1,11803398874989 ∗ 𝑖;

Получили другое разложение уравнения 5 степени, но значение корней, одинаково. Есть только небольшая разница в точности вычислений: в данном случае вычисления были сделаны по программе и численным методом, во втором, тоже по программе, написанной на  Lazarusе, по формулам для решения кубических и квадратных уравнений.  Таким образом, автору удалось простым путём найти доказательство невозможности решения в радикалах  алгебраического уравнения 5 степени, и поставить  в этом вопросе точку.