Исследовательская работа "Мир чисел"

Удивительный мир знакомых и незнакомых чисел

Гипотеза: Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». Объект исследования – натуральные числа.Предмет исследования – свойства натуральных чисел.Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.Задачи: 1.Описать способы поиска простых чисел. 2.Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел.3.Познакомиться с палиндромами и репьюнитами.Метод исследования – изучение теории, вычисление, обобщение.

Простые числаЧисла, которые имеют только два различных делителя, называются простыми, например: 7= 1∙ 7 (то есть только 1 и самого себя).Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала» и доказал, что простых чисел бесконечно много и самого большого простого числа не существует. Эратосфен, 3век до н.э.: метод отыскания и составление списков простых чисел.

Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо зачёркивания, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда название способа – «решето Эратосфена»: составные числа как бы «просеивались» в проколотые дырки, а простые числа оставались в «решете».

Свойства простых чисел.1. Числа - «близнецы» ( два числа, отличаются на 2, н-р 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д.).2. Числа- «тройняшки» (три числа, отличаются на 2, н-р 3, 5, 7).3. Палиндромические числа – каждое равно обращённому. Например: 11,101, 131, 151, 181 и т.д.4. Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941, 157 – 751 и др.5. Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.Например: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7 и т.д. 6. Любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.  Например: 7=2+3+2, 9=2+5+2, 11=5+3+3 и т.д.

Совершенные числа.Натуральное число n называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого n, в точности равна n. Все совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочислены. Никомах ГерасскийПервое совершенное число (Древняяя Греция) – 6,второе совершенное число – 28.Евклид по своей формуле еще 2 числа : 496 и 8128.Не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, но и не доказано, что его не существует.Исследователи нашли более 30 совершенных чисел25 число в развернутой записи содержит 26790 цифр!

Дружественные числа.Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.220 и 284 – возможно именно Пифагор был первооткрывателем этой пары дружественных чисел, первой, наименьшей из возможных и единственной на протяжении последующих 15 векПару 17296 т 18416 открыл ибн аль-Баннв в 1300г. Не зная об этом, в 1636 г эту же пару открыл Пьер Ферма. Третью пару – Ране Декарт в 1638 г. А через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов отыскания дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар! В 1851 г. П.Л. Чебышев – еще 1 пара. В 1866 г. Николо Паганини (в 16 лет) – еще одна пара. Побил рекорд Эйлера по количеству пар Поль Пуле : в 1948 г. он нашел 62 новые пары. И в 1968-1972 гг. с помощью ЭВМ американец Элвин Дж..Ли – еще 300 пар.

Коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на отрезке с 1 до 100 000.

Палиндромы.Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Например, 121,5995, 12321 и тд.Палиндром можно получить как результат операций. Существует «гипотеза о палиндромах». Суть гипотезы в том, что, взяв любое число, сложив его с обращенным числом, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.Но есть числа, для которых этот способ «не работает». Известно, что выполняя сложение примерно десять миллионов раз, не удается превратить числа 196 или 879 в палиндромное. И до сих пор не найдено ни на каком шагу из этих чисел получится палиндром, ни строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда.

С палиндромами связано немало закономерностей1.все однозначные числа являются палиндромами.2.существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр –11.3.26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром. Например: 262 = 6764.44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544. Это число является в настоящее время мировым рекордом. Оно было найдено Джейсоном Дусеттом с помощью компьютера 30 ноября 2005 года.5.первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5.6.пары чисел – «перевёртышей» 13–31 и 113–311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 – 961 и 12769 – 96721.

Репьюниты.Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче - Rn: R1=1, R2=11, R3=111, R4=1111…Название этого семейства чисел – Repunit - образована слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов. Например, в семействе репьюнитов выявлено пока только 5 простых чисел: R2, R19, R23, R317 и R1031. В результате умножения репьюнитов получается палиндромическое число: 11∙11 = 121;11∙111 = 1221;11∙1111 = 12221;Множество красивых чисел-палиндромов легко получить, возводя первые девять репьюнитов в квадрат:12 = 1; 112 = 121; 1112 = 12321 и т.д.

Анкетирование учащихся и анализ результатов по итогам исследовательской работы.Перед началом работы мы решили выяснить актуальность темы. Для этого в МОАУ «СОШ № 86» г. Оренбурга среди учащихся 6-х, 7-х классов и выпускных 9-х, 11-х классов провели анкетирование.

Заключение.Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла: если бы каждый из нас уделял миру чисел больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного. В результате изучения различных источников я познакомилась с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам. Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.Эта работа вызвала у меня интерес, и мы надеемся, что она заинтересует и других учащихся.

Список литературы1. Я. И. Сгибнев Делимость и простые числа. М.2023, серия Школьные математические кружки, стр.1202. А. Шень Простые и составные числа. М.2020, стр.1603. К.А. Кноп Азы теории чисел. М.2017, серия Школьные математические кружки, стр.804. Г. Радемахер, О.Тёплиц Числа и фигуры. М.2020, стр.2765. А.Я. Хинчин Избранные труды по теории числа. М.2006, стр.2526. Я.И. Перельман Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. Проспект.2023г. серия Дом занимательной науки, стр.2087. А. Тюняев Теорема Ферма с элементами Единой теории поля. Начала алгебры. Концепция числа. М.2022, стр.106