Исследовательский проект по математике "Применение подобия треугольников при измерительных работах на местности" (8 класс)

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 24»  Находкинского городского округа Конкурс научно­исследовательских работ школьников «Шаги в науку» Секция «Математика, физика, информатика» Учебно­исследовательская работа по математике ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ  ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ НА МЕСТНОСТИ Авторы работы: Баглай Владислав,  Воронцова Лолита,  Шэнь Анастасия,  учащиеся 8 б класса МБОУ «СОШ  № 24» НГО  Научный руководитель: Хлопушина Татьяна Викторовна учитель математики МБОУ «СОШ  № 24» НГО 2017 год ОГЛАВЛЕНИЕ 0 Введение ………………………………………………………………………………………..2 1. Обзор и анализ учебных источников…………………………….……………………….3  Подобные треугольники…………………………………………………………..…..3 1.1. 1.2. Измерительные работы в истории и литературе…………………………………..…3 2. Измерительные работы………………………………………………………………….....4 Измерение высоты дерева……………………………………………………………..4 2.1. Измерение ширины дороги………………………………………………..…………..4 2.2. 2.3. Измерение расстояния до горы Сестра………………………………………………..5 2.4. Измерение расстояния между противоположными берегами бухты Находки…..…6 3. Анализ результатов измерительных работ………………………………………………..6 Заключение ……………………………………………………………………………………..7 Литература………………………………………….…………………………………………...8 Приложения На уроках периодически звучит вопрос к учителю «Зачем нам это нужно?» ВВЕДЕНИЕ 1 При   изучении   темы   «Подобные   треугольники»   перед   нами   возник   тот   же   вопрос.   Мы попытались   разобраться,   пригодится   ли   нам   в   жизни   полученные   знания   о   подобных треугольниках. В учебнике геометрии в конце главы рассматривается тема «Практические приложения подобных   треугольников»   и,   в   частности,   «Измерительные   работы   на   местности»,   где приводится   решение   задач   определения   высоты   предмета   и   определения   расстояния   до недоступной точки. Возникает главный вопрос: Возможно   ли   на   практике   выполнить   измерительные   работы,   используя   обычные измерительные инструменты? Гипотеза:   Мы   сможем,   применяя   обычные   инструменты,   измерить   высоту   предмета   и расстояние до недоступной точки. Цель  исследования – выяснить, возможно ли применяя подобие треугольников измерить размеры   предметов   и  расстояний   на  местности  с  помощью  простых   инструментов   (рулетки, веревки, шестов). Были поставлены следующие задачи:  1. Изучить различные способы измерительных работ на местности с использованием подобных треугольников. 2. 3. 4. Найти высоту предмета. Найти расстояние до недоступной точки различными способами. Сравнить полученные результаты с реальными значениями. Экспериментальное   исследование   сопряжено   с   трудностями,   связанными   с   рельефом местности   и   отсутствием   некоторых   измерительных   приборов,   используемых   в   описанных задачах, поэтому большое значение имеет теоретический анализ предполагаемых измерительных работ. В результате обсуждения изученных методов было принято решение найти высоту дерева, ширину дороги, расстояние до горы Сестра и расстояние между противоположными берегами бухты Находки. При измерительных работах будут использоваться линейка, рулетка, веревка и шесты. Выбор количества участников проекта обусловлен тем, что для предполагаемых работ необходимо не меньше трех человек. Роли распределены следующим образом: Баглай Владислав – ответственный за создание презентации; Воронцова Лолита – ответственная за описание работы; Шэнь Анастасия – ответственная за поиск информации и фотографии.  1. ОБЗОР И АНАЛИЗ УЧЕБНЫХ ИСТОЧНИКОВ 2 1.1.  Подобные треугольники. Введем   основные   понятия,   которые   потребуются   для   обоснования   полученных результатов. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Существуют три признака подобия треугольников:  По равенству двух углов;  По пропорциональности двух сторон и равенству углов, заключенных этими сторонами;  По пропорциональности трех сторон. 1.2. Измерительные работы в истории и литературе. Самый легкий и самый древний способ, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Фалес выбрал день, и час когда его тень ровнялась его росту, в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени . Таким образом, можно измерить и высоту дерева. Чтобы не дожидаться когда ваша тень станет равна вашему росту, можно поступить проще. Измерить тень дерева и вашу собственную. Во   сколько   раз   тень   дерева   больше   вашей,   во   столько   же   раз   дерево   выше   вашего   роста. (Приложение 1.) Следующий   способ   описан   в   книге   у   Жюля   Верна   в   четырнадцатой   главе   известного романа «Таинственный остров». Там инженер Сайрес Смит и Герберт измеряют высоту плато Кругозора над уровнем моря. Рассмотрим этот способ на примере измерения дерева. Здесь нужен шест, который придется воткнуть в землю отвесно. Место для шеста надо выбирать  так,  чтобы  лежа,  было  видно   верхушку  дерева   на  одной  прямой  линии   с  верхней точкой шеста. (Приложение 2). Получим два прямоугольных треугольника. Катетами первого будет являться шест и расстояние от шеста до головы человека лежащего на земле. Катетами второго треугольника будут являться: расстояние от головы человека до дерева и высота дерева, которую нам нужно определить. Мы можем определить расстояние от головы до шеста и от головы   до   дерева,   так   же   нам   известна   высота   шеста,   следовательно,   мы   можем   составить пропорцию и найти искомую высоту. Этот способ соответствует задаче о нахождении высоты предмета, приведенной в учебнике  . В   учебнике,   его   электронной   форме   и   других   изученных   источниках   информации рассмотрены   разнообразные   способы   нахождения   расстояния   до   недоступной   точки.   В большинстве   из   них   используется   измерение   углов   с   помощью   астролябии,   или   сложных построений   на   местности,   поэтому   данные   методы   неудобно   или   невозможно   применить   на практике. 3 Рис. 12 2. 2.1. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Измерение высоты дерева. В качестве исследуемого предмета выберем дерево в школьном сквере, так, чтобы его обзор не перекрывался другими деревьями, и доступ к нему не был ограничен препятствиями. Описанные выше методы измерения неудобны из­за неровного рельефа и невозможности выполнять измерения лежа. Поступим следующим образом. Установим вертикально шест (рис. 1). Наблюдатель располагается так, чтобы было видно верхушку дерева А на одной прямой линии с верхней точкой шеста С. Натягиваем веревку от подножия дерева В до глаз наблюдателя Е. На пересечении веревки с шестом ставим метку D на шесте и веревке. Поскольку дерево АВ и шест  CD  перпендикулярны   к   земле,   то   отрезки   АВ   и  CD  параллельны.   В   получившихся треугольниках   АВЕ   и  CDE  равны   накрест   лежащие   углы   АВЕ   и  CDE,   а   угол   Е   –   общий. Следовательно, треугольники подобны по равенству двух углов. Измеряем расстояния ED (0,84 м) от глаз до шеста и EB (18 м ) от глаз до основания дерева B, а так же расстояние от верхней точки шеста  C  до полученной метки  D  (0,65 м). Для подобных треугольников  ABE  и  CDE составляем пропорцию:   . Находим высоту дерева АВ:     (м). (Приложение 3). 2.2. Измерение ширины дороги. Рисунок 1. В Некоторые расстояния невозможно измерить обычным способом, несмотря на то, что они сравнительно небольшие, например, ширина реки или дороги. Применим способ, основанный на построении двух подобных треугольников с помощью провешивания прямой на местности. При анализе данного метода, выяснилось, что необходимо уметь строить равные углы без использования астролябии. Проще всего построить прямой угол. Из многообразных известных методов, выбрали наиболее удобный для применения в условиях работы на улице. Из веревки сделали треугольник, подобный Египетскому треугольнику, со сторонами кратными числам 3, 4 и 5 (0,6 м, 0,8 м и 1м). Угол, противолежащий наибольшей стороне – прямой. 4 Исследование   проводилось   напротив   памятника   Победы.   Выбор   места   измерительных работ был обусловлен прежде всего безопасностью. Необходимо, чтобы с обеих сторон дороги был   тротуар,   кроме   того,   желательно,   чтобы   в   данном   месте   было   минимальное   движение пешеходов.  На одной стороне дороги разместили построенный из веревки прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С так, чтобы один катет был перпендикулярен дороге, а другой катет – параллелен   ей   (рис.   2).   Установили   вехи   в   концах   катета   АС,   перпендикулярному   дороге. Провесили прямую АС на другую сторону дороги и зафиксировали точку Е на тротуаре шестом. С помощью второго прямоугольного треугольника построили прямой угол с вершиной в точке К, принадлежащей АС. Смежный с ним угол тоже прямой. Протянули веревку перпендикулярно прямой АС, проходящей через дорогу. Используя шесты, провесили прямую, проходящую через гипотенузу АВ первого треугольника, до пересечения с веревкой, протянутой на другой стороне дороги, и зафиксировали точку Р. Получили два подобных прямоугольных треугольника АВС и АКР (т.к. ∠РКА = ∠АСВ = 90°, ∠РАК = ∠ВАС как вертикальные). Измерив длину веревки КР (11,19 м), заключенной между двумя вехами, и зная катеты АС = 0,8 м и ВС = 0,6 м первого треугольника,   составили   пропорцию   ,   и   вычислили   искомую   ширину   дороги    (м). (Приложение 4). 2.3. Измерение расстояния до горы Сестра. Рисунок 2. В   качестве   точки,   от   которой   будем   находить   расстояние   до   рассматриваемой   горы, выбрали одну из видовых площадок на набережной города Находки (Приложение 5). Отличие данной   работы   от   предыдущей   заключается   в   том,   что   Сестра   находится   на   сравнительно большом расстоянии от города. Воспользуемся тем, что нам известна высота горы (317 м). На расстоянии вытянутой руки (рис. 3) разместим отвесно линейку и измерим отрезок CD. Получившееся   изображение  CD  Сестры  AB  равно  16 мм  (формой  горы  можно  пренебречь). Расстояние от глаза до линейки ED = 495 мм. Треугольники ECD и ЕАВ подобны, значит  5 . Выполнив перевод единиц измерения в метры, получаем, что   (м). В результате, расстояние от выбранной точки до Сестры равно 9, 8 км. Измерение   расстояния   между   противоположными   берегами   бухты Рисунок 3. 2.4. Находки. С видовой площадки на набережной хорошо просматривается противоположный берег в районе   мыса   Астафьева.   Необходимо   было   выбрать   объект,   высоту   которого   можно   найти. Поскольку дома в Находке типовые, выбрали просматриваемый пятиэтажный панельный дом. Высоту подобного дома измерили на улице Нахимовской с помощью зеркала . На   некотором   расстоянии   ВО   от   измеряемого   дома   на   ровной   земле   положили горизонтально зеркальце О и отошли от него назад в такую точку Р, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале край плоской крыши А (рис. 4). Треугольники АВО и КРО подобны по равенству двух углов, т.к. ∠АВО = ∠КРО = 90°, ∠АОВ = ∠КОР (углы падения и отражения света). Тогда высота дома АВ во столько раз выше роста наблюдателя РК, во сколько раз расстояние от зеркала до дома ВО больше расстояния ОР от зеркала до наблюдателя. Произвели необходимые измерения:   КР   =   1,68   м,   ОР   =   0,875   м,   ОВ   =   7,66   м   и   вычислили   искомое   расстояние     (м).   Фотографии   с   места   измерительных   работ   размещены   в Приложении 6. Нахождение   искомого   расстояния   от   набережной   до   мыса   Астафьева,   производили способом, изложенном в пункте 2.3. Оно равняется 1,8 км. (Приложение 7). Рисунок 4. 6 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТ Чтобы   оценить   достоверность   полученных   результатов,   необходимо   их   сравнить   с реальными   размерами   объектов   и   действительными   расстояниями   между   рассматриваемыми точками.  Истинные размеры дерева узнать невозможно. Поэтому исходим из того, что дерево выше крыши двухэтажной части школы, высота которой приблизительно равна 10 м. Можно сделать вывод о достоверности полученных результатов. Вспомогательные   измерения   высоты   дома   получены   с   высоким   уровнем   приближения: результаты измерения – 14,7 м; высота пятиэтажного дома в среднем равна 15 м. Для оценки достоверности измерений расстояний воспользуемся картами (Приложение 8). По карте южного Приморья определяем длину отрезка между видовой площадкой и горой Сестра. Она равна 0,103 м. Масштаб 1:86000. 0,103 . 86000 = 8858 м или около 8, 9 км – реальное расстояние между указанными объектами. Таким образом, погрешность измерений составила 900 м, что допустимо для столь больших расстояний. На карте города Находки длина отрезка между видовой площадкой и рассматриваемым домом в районе мыса Астафьева составляет 0,053 м. Используя указанный масштаб, 1:36300, находим расстояние на местности. 0,053 . 36300 = 1908 м или 1,9 км. Сравнительный анализ с результатами измерения показывает погрешность в 100 м. Ширину дороги измерили с помощью шагов по близлежащему пешеходному переходу. Она составила 14,57 м. Таким образом, полученные экспериментальным путем результаты измерений достаточно точно соответствуют действительным размерам предметов и расстояниям между ними. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе работы над исследовательским проектом была  изучена учебная литература, проведен   предварительный   анализ   предлагаемых   методов   проведения   измерительных   работ. Отобраны   оптимальные   способы   для   реализации   составленного   плана   действий,   с   учетом сложности рельефа местности и ограниченности в выборе инструментов. Намеченный   план   работ   был   полностью   реализован.   Возникла   необходимость   в дополнительном   измерении   высоты   дома.   Решили   вспомогательную   проблему   построения прямого угла на местности, используя треугольник, подобный Египетскому. Результаты исследования приведены в таблице: Объект измерения Результаты измерения Реальные размеры Погрешность Высота дерева Высота дома 13,77 м 14,7 м 7 ­­­ 15 м ­­­ 0,3 м Ширина дороги Расстояние до Сестры Ширина бухты 14,92 м 9,8 км 1,8 км 14,57 м 8,9 км 1,9 км 0,35 м 0,9 км 0,1 км Таким образом, можно сделать вывод, что полученные данные соответствуют реальным размерам. Рассмотренными методами можно измерять предметы и расстояния между ними, если допустимы приближенные значения. Гипотеза   подтвердилась:   мы   смогли   выполнить   необходимые   измерения.   Возможно,   в дальнейшей жизни нам пригодятся приобретенные умения. ЛИТЕРАТУРА 1. Атанасян   Л.С.,   Бутузов   В.Ф.,   Кадомцев   С.Б.,   Позняков   Э.Г.,   Юдина   И.И. Геометрия. М. Просвещение, 2014. 383с. 2. Жюль   Верн.   Таинственный   остров.   Владивосток.   Дальневосточное   книжное издательство, 1981. 480 с. 3. 4. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. Домодедово, 1994. 11­27с. Порохов   Д.А.   Как   написать   исследовательскую   работу:   метод.   Пособие   для школьников, учителей и студентов. СПб.: Изд­во МБИ, 2006. 40 с. 5. http   ://   festival  .1   september      .  ru   /  articles  /620156/ Презентация к уроку «Практическое    применение подобия треугольников» Белоусова А.Г. МОУ Гимназия имени академика Н.В.  Басова при ВГУ, 6. http://www.kakras.ru/mobile/txt/izmerenie­rasstoyanij­na­mestnosti.html Простые  способы измерения расстояний и высот на местности.  Минисправочники ­ Мобильная версия  ­  Туризм, 2017 г.   8