ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ)

§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ  ИЗЛУЧЕНИЕ) 1. Закон  Кирхгофа: M aM , T где  М   —  интегральная   энергетическая   светимость1  с   поверхности  тела, имеющего температуру  Т а  — коэффициент поглощения  данного тела при температуре  Т  (коэффициент серости);  Мτ  —  интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела при температуре Т. 2. Закон Стефана — Больцмана:   , где     —   интегральная   энергетическая   светимость   абсолютно черного тела при температуре T; а — поглощательная способность данного тела (коэффициент серости), σ  — постоянная Стефана — Больцмана (  =σ 5,67*10­8 Вт*м­2*К­4). 3. Спектральная   энергетическая   светимость   абсолютно   чер ного тела, являющаяся функцией температуры и длины волны (час тоты), вычисляется по формуле Планка: h 2 2  4 c h  c 2   kT 1) r  T  5  ( e где с — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка; k —  постоянная Больцмана. При подстановке численных значений постоянных  ( , π с, h, к) формула  Планка принимает вид: где с1 = 3,74 *10­16 Вт*м2, с2 = 1,44*10­2 м*К. ______________________________________________________ 1 Интегральной энергетической светимостью называется поток  энергии всех длин волн, излучаемых с единицы излучающей  поверхности. 4. Первый закон Вина: 1b T= макс где λмакс — длина волны, на которую приходится максимум спектральной  светимости тела; b1 — первая постоянная Вина (b1 =   = 2,89 • 10­3   м*К). 5. Второй закон Вина: r Tì àêñ  — максимальная монохроматическая интенсивность излучения где  абсолютно черного тела (максимальная спектральная  светимость); b — r Tλ макс 2=b T 5 вторая постоянная Вина (b2 = 1,3 • 10­5 Вт*м­3 * К­5) 6. Закон   Бугера: xI  I e 0 kx где  1Х  — интенсивность света, прошедшего в поглощающей среде  путь х,  I0  —   начальная   интенсивность   света   в   поглощающей   среде;  k  — коэффициент поглощения. ВОПРОСЫ В   чем  основное  отличие  теплового   излучения   от  других видов излучений: фотолюминесценции, хемилюминесценции,  электролюминесценции,  катодолюминесценции? Можно ли Солнце считать абсолютно черным телом? Как величина светового потока данного спектрального интервала  связана с излучательной способностью тела? Какой   физический   смысл   имеет   универсальная   функция  Кирхгофа? Два одинаковых тела имеют одну и ту же температуру,   но одно из  них находится   в  окружении  более  холодных  тел,   чем другое.  Будут ли при этих условиях равны мощности излучения этих тел? Объясните   последовательность   изменения   цвета   твердого тела  при его нагревании. Как  изменится длина волны, соответствующая  максимуму  излучения абсолютно черного тела, если это тело окружить абсолютно поглощающей оболочкой с большей поверхностью,  чем у тела, но  излучающей такую же мощность, как и тело? Какое  предположение  ввел  Планк  в  рассмотрение задачи об  обмене энергией излучения между телами? 9. Какой физический смысл имеет постоянная Планка? 10. В каком случае квантовый характер обмена энергией между  телами переходит в классический? 11. Какой физический смысл имеет коэффициент поглощения k  в формуле Бугера? 12. Зависит ли коэффициент поглощения k в формуле Бугера  от длины волны? Приведите примеры. Примеры решения задач 1.   Найдите   отношение   энергетических   светимостей   электрических ламп   накаливания,   если   температуры   нитей   накала   соответственно равны: а) угольной — T1 = 2100 К; б) вольфрамовой вакуумной — Т2 = 2400   К;   в)   вольфрамовой   газонаполненной   —  Т3  =>  2900   К;   г) специальной фотографической — T4 = 3200 К. Считать,   что   мощности,   потребляемые   лампами   от   сети,   равны; энергетическую   светимость   газонаполненной   лампы   можно   принять  за единицу. Коэффициент серости угля а = 0,8, коэффициент серости вольфрама взять из таблицы IV. 1 Р е ш е н и е Воспользуемся законом Стефана — Больцмана: а) б) в) г)  . 11 BT ì 7,88 10    2 11 BT ì 96,2 10   11 218,3 10 BT ì   11 356.5 10 BT ì   0,8). M 1  0,29). M  M 0,33). 3  0,34). M  4 ( M a T a 1 1 1  4 M a T ( a 2 2 2  4 ( M a T a 3 3 3  4 ( M a T a 4 4 4      .   .  .  2   2 2 2 3 4 2 4 Отсюда M M M M  : : : 1 2 3 4 0,36 : 0, 44 :1:1, 43 . 2. Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии  излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину l = 15  см и диаметр d = 0,03 мм. Мощность, потребляемая ламой, Р = 10  Вт. Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом  поглощения a = 0,3;  20%   потребляемой энергии  передается другим  телам вследствие теплопроводности и конвекции. Р е ш е н и е По первому закону Вина 1b T= макс   (1) Температуру нити находим, используя закон Стефана — Больцмана: 0,8P a T   dl  4 . (2) Выразив Т из соотношения (2) и подставив в (1), получим: =b 4 макс 1 dlσπ a o,8P Вычисления дают:   макс  1, 2 10 м  6  . 3. Металлический шар диаметром D и теплоемкостью С с начальной температурой   То остывает  вследствие  лучеиспускания. Коэффициент поглощения а. Через сколько времени температура шара  станет равной T1? Р е ш е н и е Изменение внутренней энергии шара при остывании выражается формулой: dE = —CdT где dT — изменение температуры. То же изменение внутренней энергии можно выразить через  энергетическую светимость,  площадь поверхности шара и время: dE MSdt M D dt   2 1 4 Приравняем правые части:  CdT  1 4 Разделяем переменные: Интегрируя,   получаем: M D dt  2  1 4   a T D dt 4 2  dT 4 T  2   a D 4 c dt   a D 4 c где А — постоянная интегрирования.  t При  Тогда  T T A 1 3 T ;T 0;   1 3 0 3 ; 0 2  t A Находим отсюда t: 1 3 T 3 2   a D 4 c t  t  4 ( c  1 1 3 3 T T 0 3   3 a D 1 3 T 0 ) 4.   Определите   мощность   излучения   раскаленной   вольфрамовой  нити   с температурой Т = 2000 К в интервале длин волн, отличающихся от длины волны,   соответствующей   максимуму   излучения,   на   1%.   Площадь поверхности нити S = 1,5 • 10­5 м2. Р е ш е н и е Вольфрамовая нить не является абсолютно черным телом. При Т = 2000 К коэффициент поглощения вольфрама а = 0,26 (см. табл. IV). Мощность излучения в интервале длин волн ∆ ,λ P      S  r  Tr  — спектральная энергетическая светимость абсолютно черного  где  тела: r  T  2 2  4 c hl  2  kT ( e h  1) 5  Длина волны   λ по условию задачи есть длина волны, соответствующая   максимуму  излучения,  следовательно,  0      2   0 0,02     ; 1 b 1 T Используя полученные уравнения, имеем:   2 2  2 ? 1 b 4 P  aS 1 25   8 4 h 2 2 c T h  2 c l b k 1 (  1) 100 4 b 1 h  l ( 1 h  2 c b k 1  1) 4 T Произведя вычисления, получим: P   4,35 10 BT 2 . Задачи для самостоятельного решения 8.1.Энергия  излучения Солнца,  падающая за пределами  атмосферы  Земли на 1 м2 поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, за 1 с  (солнечная постоянная), равна 1,35 • 103 Дж. Принимая, что Солнце  излучает как абсолютно черное тело, определите: а) температуру поверхности Солнца;  б) длину волны, соответствующую  максимуму излучения Солнца. Расстояние от Земли до Солнца 15 • 1010 м. Радиус Солнца 6,96 • 108 м.  Ответ  ) а Т  5750 ; ) К б  макс  504 . нм 8.2.Мощность   потока   энергии,   излучаемой   из   смотрового окошка мартеновской печи,  Р = 2,17 кВт.  Площадь смотрового окошка S = 6 см2. Определите температуру печи.  Ответ  2828 . K   T 4 P S 8.3.Нагретая до 2500 К поверхность площадью 10 см2 излучает в 1 с 6,7*102 Дж энергии. Чему равен коэффициент поглощения поверхности?  Площадь поверхности вольфрамовой нити накала 25­ватт ной   вакуумной   лампы   S = 0,403   см2.    Температура    накала Т = 2177 К. Во сколько раз эта лампа излучает меньше энергии, чем абсолютно черное тело при тех же значениях поверхности и температуры?   Каков   коэффициент   поглощения   вольфрама   при этой  температуре?  Ответ 0,304 8.4.Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током I1= 1 А до температуры Т1 = 1000 К.  Какое значение должен иметь ток I2, чтобы температура нити была  Т2 = 3000 К?  Потерями  энергии вследствие теплопроводности и изменениями линейных параметров нити пренебречь.  Ответ   I У к а з а н и е .    Следует воспользоваться таблицей IV. 7,9 . A 0,3. n   2 8.6.Термостат   потребляет   от   сети   мощность  N  =   0,5   кВт.   Тем­ пература  его внутренней  поверхности, определенная  по излучению  из открытого  круглого  отверстия  диаметром   D = 5  см,   равна700 К. Какая   часть   потребляемой   мощности   рассеивается   внешней поверхностью  термостата?  Ответ    6 10  Sм ,  3 2  P макс  4 b 1 8.7.Вольфрамовая   нить   диаметром  d1  =   0,1   мм   соединена   по­ следовательно   с   другой   вольфрамовой   нитью.   Нити   накаливаются  в вакууме   электрическим   током,   причем   первая   нить   имеет   тем­ пературу  T1  =   2000   К,   а   вторая   —  Т2  =   3000   К.   Каков   диаметр второй нити?  Ответ D2 = 0,055  мм. У к а з а н и е .    Следует воспользоваться таблицей IV. 8.8.Мощность   излучения   абсолютно   черного   тела  Р  =   105  Вт. Чему разна  площадь  излучающей    поверхности      тела,     если    длина волны,    на    которую    приходится     максимум     излучения, λмакс = 7* 10­7   М?   P Ответ  макс  4 b 1   6 10  Sм ,  3 2 8.9.Вследствие     изменения       температуры       тела     максимум   его спектральной энергетической светимости переместился  λ1  = 2,5 мкм  до λ2 = 0,125 мкм. Тело абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а) температура тела; б) интегральная энергетическая светимость?  Ответ  20 , T M 1 16 10 T 2 M    . 4 2 1 8.10.  Максимальная   спектральная   светимость   абсолютно   черного тела  r tλ макс=  4,16 *1011  Вт*м­2. На какую длину волны она  приходится? Ответ  макс   .мкм 1,45 8.11. В   электрической  лампе  вольфрамовая  нить  диаметром D = 0,05 мм накаливается при работе лампы до температуры Т1 = 2700 К. Через сколько времени после выключения тока температура нити  упадет до Т2 = 600 К? При расчете принять, что нить излучает  как  серое тело с  коэффициентом  поглощения а = 0,3 и энергия  передается только излучением. t  Ответ  внутренней енергии нити: 0,02 . c   Р е ш е н и е .  Излучаемая нитью энергия равна изменению    T Dldt 4   p lCdT , 2  D 2  4 pDC  DC . dt ;   интегрируя, получаем:  1  3 3 1  1  3 3 2   4 pDC t , откуда      dT 4 T 1  3 T 2  12  1 3 T 1 t  8.12.В   черный   тонкостенный   металлический   сосуд,   имеющий форму   куба,   налита   вода   массой   1   кг   при   температуре  t1  =   50°   С, целиком заполняющая сосуд. Определите время остывания сосуда  до температуры  t2  =   10°   С,   если   сосуд   помещен   в   черную   полость, температура стенок которой близка к абсолютному нулю.  4 t   6,2 10 . c Ответ  8.13.Вычислите   спектральную   энергетическую   светимость   черного тела, нагретого до температуры Т = 3000 К для длины волны К = 500 нм.  2 .   r    Bт м 12 1,03 10 Ответ  8.14.Принимая       положительный       кратер       электрической       дуги за абсолютно черное тело, определите отношение мощности излучения в   диапазоне   длин   волн   от  λ1  =  695   нм   до  λ2  —  705   нм   к   полной мощности излучения. Температура кратера дуги Т = 4000 К.  Ответ n=0,009. 8.15.Мощность   излучения,   измеренная   в   интервале   ∆λ  =   0,5   нм вблизи длины волны, соответствующей максимуму излучения λмаКс, равна мощности излучения в интервале ∆λ2     вблизи длины волны  λ = 2λмакс. Определите ширину интервала ∆λ2.  2 .нм 1,225 Ответ  8.16.Определите   значения   спектральных   мощностей   излучения абсолютно черного тела для   следующих  длин   волн:  λ1  =  λмакс, λ2 = 0,75   λмакс,    Х3 = 0,5λмакс,    λ4 = 0,25    λмакс.    Температура тела  Т = 3000 К.  V 2   2    2   8.17.  10 315,9 10  12 63,9 10 По   найденным   данным   постройте   график   зависимости   спект­ ральной   мощности   излучения   от   длины   волны.  Ответ r  1 r  3 , Bт м r Bт м r , Сколько фотонов за 1 с будет испускать 1 см2  поверхности абсолютно   черного   тела,   нагретого   до  Т  =   2400   К,   если   среднюю энергию кванта излучения считать равной 2,75  kTy  где  k  — постоянная Больцмана?    10 257 10   10 3,15 10   Bт м   2 Bт м  4 , , 2      . k  1 k ; ) n  ; )  в d ln10 ln 2 k 21 2,1 10 . Ответ  8.18.  Коэффициент   поглощения   вещества для   монохроматиче­ ского   света   равен  к.  Слой   какой   толщины   этого   вещества   надо взять,   чтобы   ослабить   свет:   а)   в   2   раза;   б)   в  е  раз  (е  —   основание натуральных логарифмов);  в) в 10 раз?  Ответ   ) a dб d 8.19. Свет,   представляющий  собой   совокупность  двух   моно­ хроматических   излучений   с   длинами   волн  λ1  и  λ2,  проходит   в   по­ глощающую среду.  При  падении  на  поверхность  поглощающей среды интенсивности  I01  и  I02  равны,   а   на   глубине  е  интенсивность  света   с длиной   волны  λ1  в   2   раза   больше   интенсивности   света   с  длиной волны λ2. На какой глубине интенсивности будут отличаться в 10 раз?  Ответ    У к а з а н и е .      I  10 2 8.20. 1609.    I e I 1 0 1   e  x k k  . 1 Пластина   (пленка)   поляроида   имеет толщину   0,05 мм. При     падении     на     поляроид   монохроматического     света     с   длиной волны  λ  = 500 нм интенсивность вышедшего света составляет 40%  от интенсивности падающего света. Чему равен коэффициент поглощения поляроида?  Ответ  8.21. Многие прозрачные для видимого света вещества сильно   Аналогично для      получаем:   2 10 ln1,25.   1 0 2 I  1 ln 5  и ,2     k l 1  k l 2 k 1  k 2 e , I e x  l .   I l l 4 2 поглощают более коротковолновые электромагнитные колебания. Так, например, измерено, что поглощается 50% падающего излучения λ  = 350 нм слоем органического стекла толщиной 10 мм; λ = 338 нм  слоем толщиной 5 мм; λ = 332 нм слоем толщиной 2 мм. Чему   равны   коэффициенты   поглощения   органического   стекла   для этих трех длин волн?  , 0,0639  1 1 1   , ,  kмм 2  kмм 3 0,1386 0,3465 Ответ  8.22.  kмм 1 Точечный монохроматический источник испускает световой   На   расстоянии  l  от   источника   находится   плоско­ поток   Ф.   параллельная      пластина     толщиной   d,     коэффициент     поглощения которой   линейно   изменяется   по   толщине   от   значения  kx  до  k2. Пренебрегая   отражением   света   от   поверхностей   пластины,   найдите интенсивность света, выходящего из нее.  Ответ  I    k 1  k 2  d 2 . e Ф  2   l d 4 Источник монохроматического света силой I кд находится в среде,   коэффициент   поглощения   которой   изменяется   с   расстоянием 8.23. от   источника   света   по   закону  kt  =  k0  —  аl,   где  k0  —   коэффициент поглощения   света   непосредственно   около   источника,   а   — постоянный множитель, l — расстояние от источника света. Определите   интенсивность   света   на   расстоянии  R  от   источника. Ответ   R   2  e  R k 0 I I 0 2 R     