"Измерение площадей плоских фигур"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение  Муниципального образования г.Саяногорск  Черёмушкинская  средняя  общеобразовательная  школа № 1   655619, Республика  Хакасия, г.Саяногорск, пгт  Черёмушки, д.. 32   Тел­факс (8­39042)3­16­23 e ­mail: School  ­19­038@    ya   .  ru   КОД_____________________________ Наименование секции: математика Измерение площадей плоских фигур.                                                  Автор: Терехова Валерия,                                       ученица 7 А класса.                              Руководитель:                            Жукова Г.А.,                                          учитель математики 1 г. Саяногорск 2014 КОД____________________________ Наименование секции: математика «Измерение площадей плоских фигур.» 2 Содержание Введение..........................................................................................................................................................4 I.Исторические сведения................................................................................................................................5 II.Понятие площади........................................................................................................................................7 III. Методы вычисления площадей.................................................................................................................8 1. Измерение при помощи мерки................................................................................................................8 2. Измерение с помощью свойств площади...............................................................................................9 3. Измерение с помощью формул площадей...........................................................................................10  4. Площадь сложных фигур.....................................................................................................................10 5.Вычисление площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге....................................12 6. Измерение с помощью формулы Пика.................................................................................................12 IV. Решение задач несколькими способами.................................................................................................14 Заключение....................................................................................................................................................18  Литература...................................................................................................................................................19 3 Введение Тема моей работы «Измерение площадей плоских фигур». Данную тему я выбрала потому, что на уроке математики при изучении темы площадь квадрата и прямоугольника мне стало интересно: «А как можно найти площадь других фигур? Можно ли это сделать разными способами?»   Цель исследования  1. Рассмотреть исторические сведения о возникновении понятия площади 2. Расширение знаний о приёмах и методах решения задач на вычисление площадей плоских фигур. Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: Отобрать   материал   для   исследования,   выбрать   главную,   интересную, понятную информацию Проанализировать и систематизировать полученную информацию Найти различные методы и приёмы решения задач Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам Сделать выводы по результатам работы. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры. Гипотеза: Если в задаче требуется найти площадь, то это можно сделать различными   способами,   для   этого   необходимо   иметь   геометрическое воображение и знать достаточно простые   геометрические сведения, которые известны всем. Объект исследования: задачи на вычисление площадей Я выделила следующие способы нахождения площади фигуры  : 1. Измерение при  помощи мерки. 2. Используя формулы . 3. Используя свойства площадей 4.Формула Пика. 4 I.Исторические сведения       В древности  человеку   приходилось  постепенно  постигать  не  только искусство   счета,   но   и   измерений.   Когда   древний   человек,   уже   мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает   необходимость   измерять   расстояния,   а   затем   площади,   емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.        Измерением   площадей,  объемов,   знакомит   нас   замечательная   наука­ геометрия.    Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия... . Для   первобытных   людей   важную   роль   играла   форма   окружавших   их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные   для   построек   породы   деревьев   от   тех,   которые   годятся   лишь   на дрова, вкусные орехи от горьких и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой   пальмы,   которые   имеют   форму   шара.   А   добывая   каменную   соль, люди   наталкивались   на   кристаллы,   имевшие   форму   куба.   Так,   овладевая окружающим   их   миром,   люди   знакомились   с   простейшими   геометрическими формами.      Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной   геометрической   формы,   а   потом   люди   научились   шлифовать   их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д.       А   когда   люди   стали   строить   дома   из   дерева,   пришлось   глубже разобраться   в   том,   какую   форму   следует   придавать   стенам   и   крыше,   какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией:   женщины,   изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась    изготавливая   одежду,   охотники, 5 Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные   глыбы.   Для   этого   применялись   катки.   И   заметили,   что   перекатка проще,  если  взять  кусок   дерева  с почти  одинаковой   толщиной  в  начале и  в конце.   Так   люди   познакомились   с   одним   из   важнейших   тел   –   цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.       Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные  стволы  весили  много.  Чтобы  облегчить работу,  стали вырезать   из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.       Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами.          Издавна   они   любили   украшать   себя,   свою   одежду,   свое   жилище (бусинки,   браслеты,   кольца,   украшения   из   драгоценных   камней   и   металлов, роспись дворцов) .        Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь.   Гончару   необходимо   было   знать,   какую   форму   следует   придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.      Так   практическая   деятельность   людей   привела   к   дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т. д. 6 II.Понятие площади         В   обычной   жизни   на   каждом шагу   мы   встречаемся   с   понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь   комнаты,   площадь   садового   участка.   Подумайте   и   самостоятельно ответьте  на  вопрос?  что такое “площадь”?  И вы  увидите,  что не так­то это просто.   Даже   математики   смогли   создать   соответствующую   математическую теорию   сравнительно   недавно.   Правда,   это   никому   не   мешало   успешно использовать понятие площади и в науке, и на практике с незапамятных времен. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности   название   “геометрия”   (т.е.   “землемерие”)   связывают   именно   с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где   после   каждого   разлива   Нила   приходилось   заново   производить   разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которой (a+c) 2 ∗(b+d) 2 имеют   длины   a,b,c,d,   можно   вычислять   по   формуле   (т.е. полусумму длин противоположных сторон умножить на полусумму двух других сторон).   Эта   формула   найдена   опытным   путем, неверная.   По­видимому,   в древности   приходилось   рассматривать   лишь   участки,   мало   отличающиеся   от прямоугольника   по   форме,   а   для   таких   участков   погрешность,   вносимая указанном формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение   о   площадях   и   получены   точные   формулы   для   вычисления   площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников.       Итак,  площадь   —   это   некая   величина,   характеризующая геометрическую   фигуру,   расположенную   на   плоскости   или   на   иной поверхности. Мы пока будем рассматривать лишь плоские фигуры, поэтому площадь   —   это   положительное   число,   которое   ставится   в   соответствие ограниченной плоской фигуре. Обычно площадь обозначается буквой S. 7 III. Методы вычисления площадей 1. Измерение при помощи мерки       Как   измерить   площадь   фигуры?   Сначала   нужно   выбрать   единицу площади, т.е. указать единичный квадрат, т.е. квадрат, сторона которого служит единицей длины. При   выбранной   единице   измерения   площадей   площадь   каждого многоугольника   показывает   сколько   раз   единица   измерения   и   ее   части укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим фигуру ниже: Вся фигура состоит из 8 квадратов со стороной 1 см каждый. 8 Площадь   одного   такого   квадрата   называют   квадратным   сантиметром   и записывают: 1 см2. Площадь всей фигуры 8 см2. Площадь измеряется только в квадратных единицах длины. Единицей площади служит площадь единичного квадрата. Например, если длина стороны квадрата, равна 1 м, то его площадь равна 1 квадратному метру (1 м2); если длина его стороны равна 1 см, то его площадь равна 1 квадратному сантиметру (1 см2). Для нахождения площади какой­либо фигуры её сравнивают с единичным квадратом. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины. 2. Измерение с помощью свойств площади Площадь многоугольника — положительная величина, численное значение которой обладает такими свойствами (аксиомами площади): Площадь   квадрата   со   стороной,   равной   единице   измерения,   равна квадратной единице  Равные многоугольники имеют равные площади.  Если   многоугольник   составлен   из   нескольких   многоугольников,   то   его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 9 3. Измерение с помощью формул площадей В   математике   для   нахождения площади   геометрических   фигур используют специальные формулы, в которых площадь обозначается заглавной латинской буквой S. Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя. S = a • a Пример: SEKFM = EK • EKSEKFM = 3 • 3 = 9 см2 Для вычисления площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину. Пример: S ABCD  = AB • BCS  = 3 • 7 = 21 см2 ABCD Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. 4. Площадь сложных фигур Задача: найти площадь огородного участка. 10 Так   как   фигура   на   рисунке   не   является   ни   квадратом,   ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше. Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле. SABCE = AB • BC SEFKL = 10 • 3 = 30 м2 SCDEF = FC • CD SCDEF = 7 • 5 = 35 м2 Чтобы   найти   площадь   всей фигуры,   сложим   площади   найденных прямоугольников. S = SABCE + SEFKL S = 30 + 35 = 65 м2Ответ: S = 65 м2 ­ площадь огородного участка. Диагональ   прямоугольника   делит   прямоугольник   на   два   равных треугольника.Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.Рассмотрим прямоугольник: АС ­ диагональ прямоугольника ABCD. Найдём площадь треугольников    ABC и  ACD. Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле. 11 SABCD = AB • BC SABCD = 5 • 4 = 20 см2 S  ABC = SABCD : 2  S  ABC = 20 : 2 = 10 см2 S  ABC = S  ACD = 10 см2. 5.Вычисление площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге Как найти площадь произвольного четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге? Ведь формулы для нее нет. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1  см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Не   существует   формулы   для   вычисления   площади произвольного четырехугольника. Да и длины его сторон нельзя посчитать   по   клеточкам.  Поэтому  используем   прием,  который мы   уже   применяли   при   вычислении   площади   произвольного треугольника. Данный   четырехугольник   заключен   в   квадрат   со стороной   5   см.   Его   площадь   можно   найти   как   разность площади   квадрата   и   суммарной   площади   четырех прямоугольных   треугольников,   которые   остаются,   если   из квадрата вырезать данный четырехугольник.   Можно   применить   и   другой   способ:   разбить четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника таким образом,  чтобы   длины   их   катетов   можно   было   посчитать   по клеточкам.   Затем   вычислить   площади   этих   треугольников   и сложить. 6. Измерение с помощью формулы Пика аа     Георг Алекс ндр Пик августа 1859 — 13   который   был   одарённым июля 1942) — австрийский математик  Георга, ребёнком,   обучал   отец,   возглавлявший   частный   институт.   В   16   лет   Георг закончил школу и поступил  в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать   физику   и   математику.   Шестнадцатого   апреля   1880 года   Пик   (10   12 защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов»  В Немецком университете   в   Праге   в   1888   году   Пик   получил   место   экстраординарного профессора математики, затем в 1892­м стал ординарным профессором. В 1900 —1901 годах занимал пост декана философского факультета. В   1910 году   Георг   Пик   был   в   комитете,   созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии  Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик   и   физик Антон   Лампа были   главными   инициаторами этого   назначения,   и   благодаря   их   усилиям   Эйнштейн,   с которым   Пик   впоследствии   сдружился,   в   1911 году возглавил   кафедру   теоретической   физики   в   Немецком университете в Праге. Пик   и   Эйнштейн   не   только   имели   общие   научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в   научное   и   музыкальное   общества   Праги.   Широкую   известность   получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.  Пример: На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.              Решение. Воспользуемся формулой Пика:      В =  12,  Г = 17          S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)      Ответ: 19,5 13 Пример IV. Решение задач несколькими способами Я   решила   изобразить   несколько   фигур,   произвести   необходимые измерения и найти их площади с помощью разных способов. 1.С помощью свойств площади и формул геометрии: Задача 1. S1=(1*7):2=3,5 (см²) S2=(2*7):2=7(см²) S3=(1*4):2=2(см²) S4=(1*5):2=2,5(см²) S5=1²=1(cм²) S кв.=7*7=49(см²) S=Sкв.­(S1+S2+S3+S4+S5)= =49­(3,5+7+2+2,5+1)=33(cм²) 2.По формуле Пика: Г=4, В=32 S=32+4:2­1=33(см²) 14 Ответ: 33 см² Задача 2. 1. По свойствам и формулам. S1=(6*3):2=9(см²)                           S2=(6*6):2=18(см²) S3=(6*3):2=9(см²) S=9+18+9=36(см²) 2. По формуле Пика. Г=18,В=28 S=28+18:2­1=36(см²) Ответ: 36 см² 1. Свойства и формулы. Задача 3. Разобьем   наш   кораблик   на   треугольники   и   прямоугольники.   Сложим площади данных фигур. S1=2*1=2(cм²) S2=(4*4):2=8(см²) S3=(4*6):2=12(см²) S4=(2*2):2=2(см²) S5=(5*2)=10(см²) S6=(3*2):2=3(см²) S=2+8+12+2+10+3=37(см²) 2.Свойства и формулы. S1 S2 S3 S4 S5 S6 Достроим фигуру до прямоугольника со сторонами 10 и 8. Оставшуюся часть   разобьем   на   треугольники   и   прямоугольники.   Найдем   площадь прямоугольника и отнимем от нее площади данных фигур. S1=(5*4):2=10(см²) S2 15 S4 S2=(4*1)=4(см²) S3=(5*6):2=15(см²) S4=(4*1)=4(см²) S5=(2*2):2=2(см²) S6=(3*2):2=3(см²) S7=(4*1):2=2(см²) S8=(6*1):2=3(см²) Sпр=(10*8)=80(см²) S1 S5 S5 S7 S8 S3 S6 S=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8=10+4+15+4+2+3+2+3=43 (см²) Sкорабля=80­43=37(см²) 3.По формуле Пика.  Флаг: Г=6, В=0     0+6:2­1=2(см²)     Паруса: Г=6, В=4   6+6:2­1=8(см²) Г=6, В=10  10+6:2­1=12(см²) Лодка:   Ответ: 3 7см²   Г=18,   В=7       7+18:2­1=15(см²)      S=2+8+12+15=37(см²) Задача 4. 1. Свойства и формулы. Разобьем фигуру на 4 равных треугольника и квадрат. Найдем сумму полученных фигур.  S   =(3*2):2=3(см²)                   4*S  =4*3=12(см²),  S  =2*2=4(см²) S=12+4=16(cм²) 2. Свойства и формулы. 16 Достроим фигуру до квадрата со стороной 8и 8. Отнимем от площади квадрата площади четырех равных квадратиков и восьми равных треугольников. S   =8*8=64 (см²) S   =(3*1):2=1,5 (см²) 8*S  =8*1,5=12(см²) S  =3*3=9(см²) 4*S  =4*9=36 (см²) S=64­(12+36)=16 (см²) 3.Формула Пика.  Г=8, В=13, S=13+8:2­1=16(см²) Ответ:  16 см². 17 Заключение                   В процессе исследования я изучила   научно­популярную   литературу. справочную, Познакомилась с новой формулой (Пика)               В   результате   нашей     работы   я расширила свои  знания о решении задач, убедились в многообразии различных способов решения задач на нахождение площади.                     Я   научилась   вычислять   площади   многоугольников, нарисованных на клетчатом листке и пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, методы и приёмы их решения задач разнообразны.  Практическая   значимость:   результаты   можно   использовать   на   уроках геометрии, для подготовке к ГИА и ЕГЭ, нахождение площадей применяется в строительстве, архитектуре. Также нахождение площади необходимо в быту, например при наклеивании обой в квартире или екаком­то другом ремонте. Вывод : В результате проделанной работы гипотеза подтвердилась: «если требуется   найти   площадь   фигуры,   то   ее   можно   найти   разными   способами, причем результаты будут одинаковыми». 18 1.  Л.С.Атанасян,   В.Ф.   Бутузов,   С.Б.Кадомцев   и   др.Геометрия   .7­9  Литература классы.М. Просвещение ,2010 2.В.В.Вавилов,   А.В.Устинов   .Многоугольники   на решетках.М.МЦНМО,2006. 3..Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24­25. 4.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011 Интернет­ресурсы: 6. http://math­prosto.ru/?page=pages/area/area.php 7.http://www.stihi.ru/2012/12/05/7966 8. Математические этюды. etudes.ru 19