«Изучение основных понятий теории вероятностей в курсе алгебры основной школы»

  Карабет А.Ф., учитель математики

                                                                      ГБОУ «Школа № 52 г. Донецка»,

                                         ДНР, г. Донецк

 

 

АННОТАЦИЯ

В работах, посвященных проблеме формирования математических понятий в школе, она рассматривается преимущественно односторонне, поэтому необходимы дополнительные методические разработки, которые учитывали бы специфику математических упражнений, формирующих соответствующие понятия в школьном курсе алгебры, и при этом сохраняли достаточно высокий общий уровень математического образования.

Целью работы является выявление методических особенностей обучения учащихся теме «Теория вероятностей» в курсе алгебры основной школы.

Задачи:

–                   Описать теоретические основы обучения элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.

–                   Представить методические аспекты обучения учащихся элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.

Первый раздел посвящен целям введения элементов теории вероятностей в школьный курс. Анализируются программы и учебники по теме исследования. Выявляются различные формы, методы и средства обучения элементам теории вероятностей в школьном курсе математики.

Во втором разделе составлены методические рекомендации по обучению элементам теории вероятностей, статистики и комбинаторики в 5-9 классах основной школы.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение. 4

Раздел 1. Теоретические основы обучения элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.. 6

1.1. Цели обучения элементам теории вероятностей в курсе математики основной школы.. 6

1.2. Построение вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики. 7

Раздел 2. Методические аспекты обучения учащихся элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.. 9

2.1. Методика изучения элементов математической статистики. 9

2.2. Методика изучения элементов теории вероятностей. 12

2.3. Методика изучения элементов комбинаторики. 17

Выводы.. 20

Список использованной литературы.. 22

Приложение. 24

 

 

 

Введение

 

Актуальность исследования. Теория вероятностей играет огромную роль как в науке и прикладной деятельности, так и в повседневной жизни. Как следствие, возникает необходимость включения стохастической линии в школьный курс математики. В 60-е годы появилось множество методических работ по введению теории вероятности и математической статистики в школьный курс обучения. Однако уже в 70- годы эти темы пришлось полностью исключить из обязательной программы, в виду неподготовленности школы к их восприятию. В 80-х годах отдельные элементы теории вероятности были включены в программы математического образования профильных классов. А в следующее десятилетие элементы теории вероятностей и математической статистики вошли в обязательную программу школьного курса математики.

В последние годы произошли положительные сдвиги в сфере внедрения стохастической линии в рамках школьного образования. Соответствующая содержательная линия вошла в утвержденный стандарт базового и полного среднего образования.

Государственные Образовательные Стандарты (далее – ГОС) основного общего образования [16] ориентированы, прежде всего, на становление личностных характеристик выпускника, владеющего математическими рассуждениями, умениями решать задачи; применяющего математические 6 знания в повседневной жизни.

Согласно ГОС, изучение учащимися алгебры должно отражать:

1) формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях;

2) развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах и графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений.

Задачи по теме «Теория вероятностей и статистика» входят в итоговую аттестацию учащихся основной школы.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной школе.

Предмет исследования: методические особенности обучения учащихся теме «Теория вероятностей» в курсе алгебры основной школы.

Цель работы: выявление методических особенностей обучения учащихся теме «Теория вероятностей» в курсе алгебры основной школы.

Задачи работы:

–                   Описать теоретические основы обучения элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.

–                   Представить методические аспекты обучения учащихся элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы.

Для решения задач были использованы следующие методы исследования: анализ учебно-методической литературы, работ по истории математики, школьных программ, методических пособий, учебников и учебных пособий, изучение педагогического опыта работы.

 

Раздел 1. Теоретические основы обучения элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы

 

1.1. Цели обучения элементам теории вероятностей в курсе математики основной школы

 

Одним из мотивирующих факторов введения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курс средней школы является их связь с реальными жизненными ситуациями.

Вероятностный характер каких-либо событий и явлений во многом определяет поведение человека, следовательно, возникает необходимость формирования соответствующих практических ориентиров, а также развития у учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных. Учащимся необходимо уметь извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, а иногда противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать шансы на успех и степень риска. Необходимость формирования вероятностного мышления у учащихся обусловлена и тем, что весь комплекс социально-экономических наук развивается на вероятностно-статистической основе. Изучение вероятностно-статистической линии благоприятно влияет на развитие интеллектуальных способностей учащихся, способствует развитию интереса к предмету, а также усиливает прикладной аспект курса математики [14].

Основной целью обучения стохастической линии в 5-9 классах средней школы является развитие стохастического мышления и повышении уровня математической культуры у учащихся, а также формирование представлений об элементах комбинаторики, статистики и теории вероятностей как средства описания процессов и явлений реального мира.

Значимость обучения стохастической линии определяется обширным внедрением прикладной математики в различные сферы деятельности человека. Методы и результаты стохастики используются не только в естественных и технических науках, но и в таких науках, как экономика, демография, социология, археология, лингвистика, и многих других. В настоящее время, без верных представлений о случайных событиях и их вероятностях невозможна продуктивная деятельность человека в какой-либо сфере жизни [11].

Установление учащимися, под компетентным руководством учителя, разносторонних связей стохастики с различными науками, такими как естествознание, а также с техническими и гуманитарными дисциплинами, является одним из средств достижения поставленной цели [1].

Введение элементов стохастической линии в курс математики является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль вероятностно-статистических знаний и навыков в современном мире повышается [15].

Без применения теории вероятности – основы стохастической линии – сегодня не мыслится принятие любого сколь-либо значимого решения по самым разнообразным проблемам в социокультурной и научно-производственной сферах.

 

1.2. Построение вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики

 

В настоящее время существуют проблемы с реализацией вероятностно-статистического материала в школьных учебниках, так как эта линия была введена в школьный курс математики относительно недавно. Проанализировав реализации стохастической линии, предлагаемой авторами различных учебников и учебных пособий, можно сделать вывод, что концепции этой линии значительно отличаются. Каждый автор имеет различный подход к изучению элементов стохастической линии. В одних учебных комплектах приоритетное внимание уделяется вероятностным понятиям, в других – статистическим, в третьих – понятия рассматриваются отдельно.

Подробный анализ учебной и методической литературы приводится в статье И. Баландиной, «Стохастическая линия в средней школе: начнем с анализа». И. Баландина отмечает, к реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. Некоторые из авторов элементы стохастики включили в учебники, заключив материал в отдельные параграфы. Другие авторы поместили новое содержание в дополнительные главы к учебникам, оформив материал в виде вкладышей [1].

Рассмотрим построение вероятностно-статистической линии на примере учебного комплекта для базовой школы, используемого в наших образовательных учреждениях.

Учебное пособие «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей» авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк под редакцией С.А. Теляковского [8] предназначено для учащихся 7–9-х классов.

Изложение стохастического материала в учебном пособии начинается в 7-м классе с элементов статистики: среднее арифметическое, мода, размах. Далее рассматривается построение, анализ таблиц, диаграмм. В 8-м классе рассматриваются полигоны и гистограммы. Вводятся новые понятия: генеральная совокупность, выборка, объем выборки, репрезентативность.  В 9-м классе рассматриваются элементы комбинаторики и начальные сведения из теории вероятностей. Комбинаторные задачи в данном пособии решаются методом перебора; вводятся следующие понятия: перестановки, размещения, сочетания. Классическое определение вероятности вводится на основе примеров, в которых рассматривается понятие относительная частота и введено понятие статистическая вероятность. Данное учебное пособие имеет дифференцированный подход в обучении, в пособие присутствуют задания различного уровня сложности.

По мнению И. Баландиной, для того чтобы у учащихся сформировать начальные стохастические представления, элементы теории вероятностей и комбинаторику необходимо изучать на много раньше, чем предлагают авторы учебного пособия [1]. Методические рекомендации к учебнику даны в статьях Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк [9]. В статье В.Н. Студенецкой и О.М. Фадеевой [12] анализируется содержание рассматриваемого учебника, предлагаются некоторые рекомендации, цель которых помочь учителю разобраться в материале и изложить, не допустив ошибок.

 

Раздел 2. Методические аспекты обучения учащихся элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы

 

2.1. Методика изучения элементов математической статистики

 

Методика изучения статистики в 5- 6 классах

Согласно Примерной основной образовательной программе основного общего образования учащиеся в 5-6 классах по теме «Математическая статистика» научатся на базовом уровне [10]:

-                   представлять данные в виде таблиц, диаграмм;

-                   читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы;

-                   на базовом и углубленном уровне;

-                   оперировать понятиями: таблицы данных, столбчатые и круговые диаграммы, среднее арифметическое;

-                   извлекать, информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;

-                   строить диаграммы на основе данных, составлять таблицы;

-                   извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений.

В базовом курсе математики основной школы вероятностно-статистическая линия в существующих учебниках раскрывается по-разному. Хороший анализ учебной литературы по теме статистика представлен в статье Т.А. Долматовой, О.С. Истифиной «Методический анализ изучения элементов статистики в курсе математики основной школы» [4].

Методика изучения темы «Таблицы и диаграммы»

В 5 классе желательно начать изучение стохастической линии с рассмотрения таблиц. Внимание учащихся необходимо обратить на то, что когда сведений очень много, их нужно упорядочивать. Таблица – самый простой способ упорядочить данные. Таблицами являются: страницы школьного дневника, расписание уроков, оглавление учебника. Таблицы позволяют облегчить поиск необходимой информации.

Решение заданий с помощью таблиц позволит учащимся анализировать условие задачи, строить таблицы и выполнять несложные арифметические действия, а также заметить, насколько удобнее работать с таблицей, чем с громоздким текстом.

В дальнейшем следует увеличивать трудность заданий. Можно предложить для анализа и построения более сложные таблицы (Приложение). В таблицу включен столбик или строка «Всего» или «Итого», которые содержат сумму, так как в таблице для анализа информации необходимо просуммировать содержащиеся в ней данные. Можно рассмотреть турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.

Методика изучения темы «Диаграммы»

Когда сведений очень много, их нужно упорядочивать. Таблица - самый простой способ упорядочить данные. Таблицы облегчают поиск необходимых сведений, не заставляя изучать всю имеющуюся информацию. Однако таблицы не дают наглядного представления о соотношении величин. Для этого служат различные диаграммы: столбиковые, круговые, рассеивания и др. Диаграммы используются для наглядного, запоминающегося изображения и сопоставления данных.

Методика изучения статистики в 7-9 классах

Согласно Примерной основной образовательной программе основного общего образования учащиеся в 7-9 классах по теме «Математическая статистика» научатся на базовом уровне [10]:

-                   иметь представление о статистических характеристиках;

-                   представлять данные в виде таблиц, графиков, диаграмм;

-                   читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика; определять основные статистические характеристики;

-                   иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях;

-                   сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

на базовом и углубленном уровне [10]:

-                   оперировать понятиями: круговые и столбчатые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, размах выборки, наибольшее и наименьшее значения выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

-                   извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;

-                   представлять информацию с помощью кругов Эйлера;

-                   извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отображающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;

-                   определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи.

В учебнике 7 класса под редакцией Ю.Н. Макарычева [5] статистические характеристики рассматриваются как отдельный параграф. Здесь автор вводит понятия статистических характеристик, таких как среднее арифметическое, размах и мода, и лишь потом дает определение статистике как науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Понятие «медиана» разъясняется на доступных учащимся примерах из жизни.

В учебнике 8 класса под редакцией Ю.Н. Макарычева [6] рассматривается отдельный параграф под названием «Элементы статистики». Здесь дается определение частоты, таблицы частот, а также понятия относительной частоты (отношение частоты к общему числу данных в ряду, выраженное в процентах), таблицы относительных частот. Данные понятия закрепляются выполнением заданий из учебника.

В учебнике для 9 класса под редакцией Ю.Н. Макарычева [7] элементы статистики не рассматриваются.

В 8-9 классах у учащихся необходимо сформировать умения оперировать методами подсчета статистических характеристик, понимание значимости статистики, как науки в современной жизни человека.

 

2.2. Методика изучения элементов теории вероятностей

 

Авторы статьи «О теории вероятностей и статистике в школьном курсе» Е.А. Бунимович, Ю.Н. Тюрин, П.В. Семенов, В.А. Булычев, А.А. Макаров, А.Г. Мордкович, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко [3] проанализировали опыт преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики и дали ряд рекомендаций по введению понятий, обозначений и методике преподавания. Приведем выдержки из статьи [3].

Базовым понятием теории вероятности является «случайный эксперимент», или случайный опыт. Данные понятия являются равносильными.

В результате случайного эксперимента может произойти или не произойти то или иное элементарное событие. Опыт оканчивается одним и только одним из элементарных событий. Наряду с термином «элементарное событие» можно в качестве синонима употреблять и термин «элементарный исход».

Для общего обозначения различных элементарных событий авторы статьи рекомендуют использовать начальные строчные буквы латинского алфавита: а, b, с, d. Заглавные начальные буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д. принято оставлять для обозначения произвольных событий. Эти же буквы с чертой над ними, что говорит о том, что эти события являются противоположными событиями А, В, С и т.д.

Названия элементарных событий, как и событий вообще, удобны для записи выражения их вероятности. Так вероятности указанных выше элементарных событий записываются как: Р(а), Р(b), Р(с), Р(d). Р(а) – число, приписываемое элементарному событию а.

Перечисляя все возможные элементы окончания случайного эксперимента (опыта), приходим к совокупности всех элементарных событий. Эту совокупность часто называют пространством элементарных событий. Слово пространство здесь следует рассматривать как образное выражение, призванное вызвать геометрические ассоциации. Эту совокупность называют множеством всех элементарных исходов.

Каждое случайное событие за исключением невозможного события состоит из элементарных событий, или исходов. Про исходы, при которых происходит событие А, обычно говорят, что они благоприятствуют событию А. Сами такие исходы называют благоприятствующими событию А, или благоприятными для А.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что случайные события состоят из элементарных случайных событий. Так запись А = {а, b, с} говорит, что событие А состоит из трех элементарных событий а, b, с. Чтобы подчеркнуть, что речь идет именно о совокупности (множестве) элементарных исходов в записи А = {а, b, с} используются фигурные, а не круглые скобки. Элементарные исходы а, b, с при этом называются благоприятствующими наступлению события А. Вероятность случайного события обозначают Р(А). Вероятность любого случайного события – это конкретное число. Вероятность события может быть любым числом между нулем и единицей. То есть для любого случайного события верно соотношение: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 [3].

Авторы статьи предлагают избегать использования в школьном курсе измерения вероятностей событий в процентном соотношении. Четкое представление о том, что вероятность не может быть больше единицы позволяет учащимся избегать ошибок при вычислении вероятностей. Среди всех случайных событий выделяют два особых вида событий.

Достоверные события, те, которые в результате эксперимента происходят непременно, и невозможные события, те, которые в результате эксперимента точно не происходят. Как события, относящиеся к случайному эксперименту, они тоже называются случайными. При этом вероятность невозможного события всегда равна нулю, а вероятность достоверного события всегда равна единице.

На практике часто интересуют различные комбинации событий и их вероятности. В школьном курсе рассматриваются такие понятия, как «противоположное событие», «объединение событий» и «пересечение событий». Рассматриваются и простейшие комбинации этих операций над событиями.

Авторы статьи рекомендуют не употреблять в школьных учебниках обозначения « + » и « ⋅ », «\», « - » для операций с событиями. Например, вместо выражения «А – В», подразумевающего события, включающее все элементарные исходы события А, которых одновременно нет в событии В, вместо громоздкой формулы, следует писать: «Произошло событие А, при том, что события В не произошло» (кратко А, но не В).

В статье «Преподавание теории вероятностей и статистики в школе» [14] авторы Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. рекомендуют начинать знакомство с элементами теории вероятностей с простых примеров, в которых число возможных событий невелико, тем самым, не привлекать к решению комбинаторику. Учащиеся должны знать и понимать, что основным способом определения вероятности события в содержательных примерах на практике является частотный подход.

Далее, переходя к математическому описанию случайных явлений, необходимо обратить внимание на понятие случайного опыта и на его важность для всей последующей математической формализации случайности. Описание случайного опыта подводит к выбору подходящего пространства элементарных событий и возможному способу задания на нем вероятностей элементарных событий.

Авторы статьи [14] обращают внимание на то, что одному и тому же физическому опыту, превращая его в математический случайный эксперимент, можно приписать различные исходы и их вероятности. Для пояснения сказанного, рассмотрим простой пример: опыт с последовательным подбрасыванием игрального кубика. Множество элементарных событий в данном случайном эксперименте здесь состоит из шести событий: выпадение 1; 2; 3; 4; 5 и 6. Логично считать все эти шесть элементарных исхода равновозможными и приписать им одинаковые вероятности равные 1/6. Но если в этом опыте нас интересует лишь выпадение четного числа очков, то можно ввести и иное множество исходов: 2; 4 и 6. Правильные (согласованные с частотами в реальном эксперименте) вероятности этих элементарных исходов равны 1/3.

Однако отмечают авторы статьи [13], было бы совершенно неверно с методической точки зрения ограничиваться в школьном курсе обсуждением только тех случайных опытов, элементарные события в которых только равновозможны. Это часто приводит к формированию устойчивого ложного представления, что интересующее учащегося событие всегда имеет вероятность, равную одной второй, так как это событие «либо произойдет, либо не произойдет».

Необходимо обратить внимание учащихся и на то, что на практике многие элементарные события не являются равновозможными. Кроме того, на этапе первого знакомства с основными вероятностными понятиями следует всячески избегать нечетких формулировок в вероятностных задачах. Необходимо, чтобы условия случайного опыта формулировались ясно и недвусмысленно.

В учебной литературе, как это отмечалось выше, методика введения элементов теории вероятностей различная. В учебнике авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра 9» [7] элементы теории вероятностей рассматриваются в §12 «начальные сведения из теории вероятностей». Рассматриваются такие вопросы, как относительная частота случайного события, вероятность равновозможных событий и в пункте «для тех, кто хочет знать больше» – сложение и умножение вероятностей. В 12 параграфе приводится историческая справка о зарождении и развитии теории вероятностей, об основоположниках и ученых, которые внесли большой вклад в развитие теории вероятностей. На примере игрального кубика вводится понятие относительной частоты события.

Для введения понятия «вероятность события» в данном учебнике используется статистический подход. В пункте «для тех, кто хочет знать больше» рассматривается сложение несовместных событий произведение независимых событий.

Анализируя учебную и методическую литературу, следует отметить, что одна из важнейших задач, стоящих перед учителем – это формирование понимания упорядоченности случайных фактов, устойчивости в мире случайностей. Для формирования вероятностно-статистического стиля мышления, необходимо представить вероятность, как «теоретически ожидаемое» значение частоты при большом числе наблюдений. При этом построение связи между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к пониманию статистической устойчивости частоты. Необходимо также сформировать понимание того, что количественную  оценку возможности наступления того или иного события можно произвести предварительно, до проведения эксперимента, используя правила и законы теории вероятностей.

В 5-6 классах учащихся следует подвести к пониманию таких понятий, как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно» [2]. Предварительно можно научить детей различать понятия: «возможно да» или «обязательно да» (наверняка), «необязательно да» или «обязательно нет». Проделывая это в игровой форме, можно обучить учащихся составлению качественной оценки шансов наступления случайного события, при этом формируя само понятие случайного события. Шансы наступления событий необходимо оценивать, привлекая предыдущий опыт и интуицию. Учащиеся должны осознать, что вероятность события можно измерить так же, как и другие величины: длину, массу, время и т. д. Кроме того, с помощью эксперимента рекомендуется продемонстрировать, что относительная частота события обладает свойством устойчивости. С ростом числа опытов частота события имеет тенденцию стабилизироваться вблизи некоторого числа. После проведения экспериментов с монетами, шарами, игральными костями и т.п., можно вводить формулы классической вероятности. Через определенный период времени учащиеся смогут решать задачи по теории вероятностей, не прибегая к эксперименту.

Методика изучения теории вероятностей в 7-9 классах

Согласно Примерной основной образовательной программе основного общего образования учащиеся в 7-9 классах по теме «Теория вероятностей» научатся на базовом уровне [10]:

-                   иметь представление о вероятности случайного события;

-                   оценивать вероятность события в простейших случаях; иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;

-                   оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях;

на базовом и углубленном уровне [10]:

-                   решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решении;

-                   оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;

-                   решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики;

-                   оценивать вероятность реальных событий и явлений.

В 7-9 классах необходимо усилить уровень строгости в изложении материала. Можно начать с классической схемы, то есть с опыта с конечным числом равновозможных исходов.

 

2.3. Методика изучения элементов комбинаторики

 

Согласно Примерной основной образовательной программе основного общего образования учащиеся в 7-9 классах по теме «Комбинаторика» научатся на базовом уровне [10]:

-                   иметь представление о комбинаторных задачах;

-                   решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;

-                   оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

-                   решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

на базовом и углубленном уровне [10]:

-                   оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;

-                   применять правило произведения при решении комбинаторных задач;

-                   решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики;

-                   решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение.

Комбинаторикой называют раздел математики, изучающий задачи следующего типа: сколько комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Еще раз обратимся к статье [3] «О теории вероятностей и статистике в школьном курсе». Авторы статьи, анализируя накопленный опыт по введению стохастической линии в школьный курс математики, отмечают, что главная задача элементов комбинаторики в школьной программе заключается в том, что учащиеся получают представление о вариативности. Приобретают навыки подсчета числа возможных вариантов, которые могут возникнуть на практике, в различных жизненных ситуациях. Решать комбинаторные задачи авторы статьи в школьном курсе советуют начинать с перечисления возможных вариантов, получаемых естественным путем, а не с заучивания формальных обозначений. Например, предложить учащимся перечислить все возможные варианты бутербродов из двух различных сортов хлеба и трех сортов колбасы. В ряде случаев удобно и наглядно использование дерева вариантов. Комбинаторное правило умножения может быть получено из практических задач интуитивно, путем естественным и понятным. Аналогично можно подойти и к задачам на перестановки. Учащихся на простых примерах нужно подвести к выводу о том, что при перестановке трех элементов на первое место может быть поставлен один из трех элементов, на второе – один из двух оставшихся, а на последнее – только один, не выбранный ранее. Учащиеся должны научиться выписывать все возможные перестановки и лишь затем переходить к формульному описанию числа перестановок с помощью факториала числа n, т.е. n!. Вычисление факториала встречается во многих комбинаторных задачах, поэтому формальное вычисление факториала необходимо закрепить.

Методика введения элементов комбинаторики в школьный курс математики у разных авторов значительно отличается.

В комплекте учебников по алгебре для общеобразовательных учреждений авторов Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой под редакцией С.А. Теляковского элементы комбинаторики вводятся в учебнике «Алгебра, 9» [7]. Комбинаторике отводится §11 «Элементы комбинаторики» пятой главы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». В §11 приводятся примеры решения комбинаторных задач, в том числе с помощью «дерева решения», определяются понятия «перестановки», «размещения», «сочетания», обосновываются формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний.

 

Выводы

 

Анализ цели введения стохастической линии показал, что в связи с изменением социально-экономической ситуации в стране, возникла необходимость в специалистах, умеющих работать с современными технологиями в динамично изменяющихся внешних условиях при воздействии случайных факторов, умеющих оценивать ситуацию и оперативно принимать обоснованные решения в ситуациях неопределенности. В результате изменился социальный заказ учебным заведениям. Следствием этих изменений стало принятие новых государственных образовательных стандартов, определяющих направления подготовки школьников к жизни в современных социально-экономических условиях. Существенные изменения произошли в математическом образовании, возросла потребность в обучении теории вероятностей, математической статистике, к теории случайных процессов и к применению вероятностно-статистических методов.

Анализ педагогической и методической литературы, посвященной введению и апробации стохастической линии в школьном курсе математики показал, что поскольку вероятностно-статистическая линия была введена в школьный курс математики сравнительно недавно, то в настоящее время еще существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. В одних учебниках на первый план выдвигаются вероятностные понятия, в других – статистические, в третьих – все понятия рассматриваются отдельно.

Представлены методические рекомендации по обучению теме «Математическая статистика». Определено, что при обучении учащихся теме «Математическая статистика» необходимо уделять внимание формированию у учащихся практических навыков извлечения информации, представленной в таблицах, на диаграммах; составлять таблицы, строить диаграммы на основе данных; определять основные статистические характеристики числовых наборов.

Рассмотрены методические рекомендации по обучению теме «Теория вероятностей». Определено, что при обучении учащихся теме «Теория вероятностей» необходимо уделять внимание формированию у учащихся практических навыков оценивания вероятности события на простейших примерах, встречающихся в повседневной жизни.

Описаны методические рекомендации по обучению теме «Комбинаторика». Определено, что при обучении учащихся теме «Комбинаторика» необходимо уделять внимание формированию у учащихся практических навыков оценивания количества возможных вариантов методом перебора или создания дерева возможных вариантов. И только после этого переходить к формализованному решению.

 

Список использованной литературы

 

1.                 Баландина, И. Стохастическая линия в средней школе: Начнем с анализа / И. Баландина // Математика. –2009. – №14. – С. 12-19.

2.                 Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика. 5-9 классы [Текст]: учебное пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. — М.: Дрофа, 2002. — 160 с.

3.                 Бунимович, Е.А. О теории вероятностей и статистики в школьном курсе / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев, Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко // Математика в школе. - 2009. - №7. – С. 3 – 14.

4.                 Долматова, Т.А. Методический анализ изучения элементов статистики в курсе математики основной школы / Т. А. Долматова, О. С. Истифина.- 2016. - №2(40). - С. 38-44.

5.                 Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 7 класс [Текст]: учеб. для общеоразоват. Учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 240 с.: ил.

6.                 Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для общеоразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 271 с. : ил. 70

7.                 Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс [Текст]: учеб. для общеоразоват. Учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 272 с. : ил.

8.                 Макарычев, Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей [Текст]: учебное пособие для учащихся 7-9 классов / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. –3-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - 78 с.

9.                 Макарычев, Ю.Н. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк //Математика в школе. - 2004. - №7. - С. 24.

10.                        Примерная основная образовательная программа основного общего образования. Утверждена Министерством образования и науки Донецкой Народной Республики (приказ от 13.08.2021 г. No 682) / М-во образования и науки ДНР. – Донецк, 2021. – 390 с.

11.            Седова, Н.С. О сформированности стохастической компетентности учителя математики / Н.С. Седова // Вестник Псковского Государственного Университета. Серия: Естественные и физико - математические науки. –2010. – №10. – С.111-126.

12.            Студенецкая, В.Н. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева //Математика в школе. - 2004. - №6. - С. 64.

13.            Тарасевич, А. К. Особенности изучения основ теории вероятностей в школьном курсе математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – Т. 11. – С. 1946–1950. – URL: http://ekoncept.ru/2016/86416.htm.

14.            Тюрин, Ю.Н. Преподавание теории вероятностей и статистики в школе/ Ю.Н Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко// Математика в школе.- 2009. – №7. – С. 2 – 6.

15.            Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст]: методическое пособие для учителя / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. – М: МЦНМО МИОО. – 2008. –52 с.

16.            Государственный образовательный стандарт общего основного образования ( в ред. приказа министерства образования и науки ДНР от 23.06.2021 № 79-НП).

 

Приложение

 

Задача № 1. Результаты наблюдения за погодой в течение пяти месяцев представлены в Таблице 1

Таблица 1

Погода	Месяцы					Всего
	ноябрь	декабрь	январь	февраль	март
Пасмурно	8	6	12	9	8
Переменная облачность	12	17	8	14	12
Ясно	10	8	11	5	11

 

Необходимо заполнить последний столбец.

По данным, занесенным в таблицу 2, требуется ответить на вопросы:

1. Определить месяцы, в которых одинаковое количество ясных дней?

2. Определить месяц, содержащий больше всего пасмурных дней?

3. Определить количество ясных дней за пять месяцев?

4. Определить количество ясных дней за всю зиму?

5. Каких дней ясных или пасмурных было больше в ноябре?

 

Задача №2. Итоги шахматного турнира с четырьмя участниками представлены в турнирной Таблице 2:

Таблица 2

№	Фамилия	1	2	3	4	Очки	Место
1	Серегин В.		0	0	2
2	Орлов А.	2		1	2
3	Иванов Е.	2	1		0
4	Ежов Т.	0	0	2

 

Победитель партии получает 2 очка, проигравший – 0, ничья оценивается в один бал.

По таблице 3 могут быть заданы следующие вопросы:

1. Какое количество партий сыграл каждый участник?

2. С каким счетом сыграл Иванов с каждым из участников?

3. Посчитав, сколько очков набрал каждый участник, заполнить столбец «Очки».

4. Определить, как распределились места между участниками, заполнить столбец «Место».

 

Скачано с www.znanio.ru