В данной карточке дано подробное решение "ключевых" задач по теме "Первообразная" : доказать, что функция является первообразной для заданной функции; найти первообразную, график которой проходит через заданную точку; находить первообразные для заданных функций, используя таблицу первообразных. В карточке дана таблица с формулами производных и первообразных. Карточку можно использовать для самостоятельного разбора материала обучающимися, если они его пропустили.
Таблица производных и первообразных.
Производная
ꞌ
f (x)
p∙xp – 1
Функция
f(x)
xp
Первообразная
F(x)
xᵖ⁺¹
p+1 +C(еслиp≠−1)
F(x) первообразная f(x), если Fꞌ(x)= f(x). Найдем производную
F(x) (используя формулы из таблицы левого столбца).
формула 10 форм.1
1
1
х⁶
6 ¿ꞌ+(2)ꞌ =
Fꞌ(x)= (
6
6
х⁶
6 +2¿ꞌ = (
∙ (х6) + 0=
∙ 6∙х61=
ꞌ
1
x
,еслих˃0
ln x + C
х5= f(x).
Fꞌ(x)= f(x), значит, F(x)=
х⁶
6 +2 является первообразной
ех + С
cos x + C
sin x + C
(kx+b)ᵖ+1
k(p+1)
+C
1
k ∙ ekx +b + C
−1
k ∙ cos (kx+b) + C
1
k ∙ sin (kx+b) + C
kx + C
f(x)= х5.
.
Задача 2. Найти одну из первообразных: а) 2х5 – 3; б)
2
х+ 3
х²
Решение. выделили числовой множитель 2
х⁵⁺¹
5+1 −3х=2∙х⁶
6 3х=
а) f(x)= 2х5 – 3= 2∙х5 – 3, F(x)=2∙
х⁶
6 −3х.
из среднего столбца формула 1 формула 10
применяем формулы 1 и 10 из правого столбца
2
х+ 3
х²=2∙1
х+3∙1
б) f(x)=
х2=2∙1
х+3∙х‾² .
форм.2
форм.1
F(x)=2∙Lnx + 3∙
х‾²⁺¹
−2+1 =¿ 2Lnx +3∙
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
x²
ех
cos x
sin x
k∙p∙(kx + b)p – 1
ех
sin x
cos x
(kx + b)p ,
k≠0, b≠1
k∙ekx +b
ekx +b, k≠0
k∙cos (kx+b)
sin
(kx+b),
k≠0
k∙sin (kx+b)
cos (kx+b)
k≠0
10
0
k
постоянное
число
(слагаемое)
Решение задач по теме «Первообразная»
Задача 1. Показать, что функция F(x)=
х⁶
6 +2 является
первообразной функции f(x)= х5 на всей числовой прямой.
Дано. F(x)=
х⁶
6 +2,
f(x)= х5, х
ϵ R.
х‾¹
−1
.
Доказать. F(x) первообразная f(x).
Решение.
Замечание. Если нужно найти по заданию все первообразные, то в выражении F(x)
дописывают «+С»Задача 3. Для функции f(x)=х найти такую первообразную,
график которой проходит через точку М(2;5).
Дано. f(x)=х, М(2;5)ϵ F(x).
Найти. у= F(x).
Решение.
1. Найдём все первообразные для функции f(x)=х, F(x)=
х¹⁺¹
1+1 +С=х²
2 +С = у=˃
х²
2 +С .
2. Найдём число С такое, чтобы график функции у=
х²
2 +С проходил через точку М(2;5).
Т.к. М(2;5), то х=2, у=5, которые подставим в , тогда
получим
2²
2 +С, 5=
4
2 +С, 5=2+С или 2+С=5, С=52,
5=
С=3.
3. Следовательно,
первообразная,
проходит через точку М(2;5) имеет вид у=F(x)=
график которой
х²
2 +3
.
Ответ. F(x)=
х²
2 +3
образец задач первообразная.docx
