Карточка-образец решения задач по теме "Первообразная" (алгебра, 11класс)

Таблица производных и первообразных. Производная ꞌ f (x) p∙xp – 1  Функция f(x) xp Первообразная F(x) xᵖ⁺¹ p+1 +C(еслиp≠−1) F(x) первообразная f(x), если Fꞌ(x)= f(x). Найдем производную F(x) (используя формулы из таблицы левого столбца).                                        формула 10          форм.1 1 1 х⁶ 6 ¿ꞌ+(2)ꞌ =  Fꞌ(x)= ( 6 6 х⁶ 6 +2¿ꞌ = (  ∙  (х6)  + 0=  ∙ 6∙х6­1= ꞌ 1 x ,еслих˃0 ln x + C х5= f(x). Fꞌ(x)= f(x), значит, F(x)=  х⁶ 6 +2 является первообразной  ех + С    ­cos x + C      sin x + C (kx+b)ᵖ+1 k(p+1) +C 1 k ∙ ekx +b + C −1 k ∙ cos (kx+b) + C 1 k ∙ sin (kx+b) + C           kx + C f(x)= х5. . Задача   2.  Найти  одну  из   первообразных:   а)   2х5  –   3;   б) 2 х+ 3 х² Решение.               выделили числовой множитель 2      х⁵⁺¹ 5+1 −3х=2∙х⁶ 6 ­ 3х= а)  f(x)=  2х5  – 3= 2∙х5  – 3,     F(x)=2∙ х⁶ 6 −3х.                                                     из среднего столбца формула 1     формула 10          применяем формулы 1 и 10 из правого столбца 2 х+ 3 х²=2∙1 х+3∙1 б) f(x)=                                                     х2=2∙1 х+3∙х‾² . форм.2        форм.1                                               F(x)=2∙Lnx + 3∙ х‾²⁺¹ −2+1 =¿  2Lnx +3∙ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x² ­ ех cos x ­sin x k∙p∙(kx + b)p – 1 ех sin x cos x (kx + b)p , k≠0, b≠­1 k∙ekx +b ekx +b, k≠0 k∙cos (kx+b) sin (kx+b), k≠0 ­k∙sin (kx+b) cos (kx+b) k≠0 10 0 k ­ постоянное число (слагаемое) Решение задач по теме «Первообразная» Задача   1.  Показать,   что   функция  F(x)=   х⁶ 6 +2   является первообразной функции f(x)= х5 на всей числовой прямой.  Дано. F(x)=  х⁶ 6 +2,  f(x)= х5, х   ϵ R.  х‾¹ −1 . Доказать. F(x) первообразная f(x). Решение.  Замечание.  Если нужно найти по заданию  все  первообразные,  то в выражении  F(x) дописывают «+С» Задача 3.  Для функции  f(x)=х найти такую первообразную, график которой проходит через точку М(2;5). Дано. f(x)=х, М(2;5)ϵ F(x). Найти. у= F(x). Решение.  1. Найдём   все   первообразные   для   функции  f(x)=х,  F(x)= х¹⁺¹ 1+1 +С=х² 2 +С  =  у=˃ х² 2 +С . 2. Найдём   число   С   такое,   чтобы   график   функции   у= х² 2 +С  проходил через точку М(2;5). Т.к. М(2;5), то х=2, у=5, которые подставим в     , тогда получим  2² 2 +С, 5=  4 2 +С, 5=2+С или 2+С=5, С=5­2, 5=  С=3. 3. Следовательно,   первообразная, проходит через точку М(2;5) имеет вид у=F(x)=    график   которой х² 2 +3 . Ответ. F(x)=  х² 2 +3