Карточка-расчет по теме "Производная".

ОСР­1.  «Вычисление   производных    элементарных функций».   Задание: 1)Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex – x7 ,б) у=3ех+cos2x, в) у = ех – sinx, г) у=  – ln2x  ,д)  , ж)   , е)  у  х ln3 x  5ln ху (3x sin2)(  ху )( 3  е х log 2 х 3  ) 4 4х 2 Решение: а)  х  е у ... 6х ;  б)   ... хе у  ;2x sin2 в)  у = ех – cosx;  г)    у 4 2 3 х  2 х 2  ... х 3   , 1 х ) д ж)  3 х у 2  ln x  3 х 1  х ... е) 2 х  ln x  2 х ; у 32 cos(3х у  ... 3 е х  1 3ln2 х ;  ...cos(3х  ) 4   ;) 4 Ответ: а) х  е у 7 6х ; б)   хе 3 у  ;2x sin2 в) у  = ех –cosx; г) у  2 3  х  , 1 х д) у  ln 3 х 2 е) x  2 х ; у 6cos(3х  ж)  ;) 4 у  3 3 е х  1 3ln2 х ; Пример 2. Вычислите значение производной функции: а)   у=   в точке   ,  б) у=ех sinx + x2  в точке  5 х 8  3 х 4  2 х  ln x 2 0 х 2 , 0 х 0 в)  у = cos2x + 4x  в точке   ,г)  х 0  2 у  1 2  tg 4 x     23 e    в точке   .      х 0  4 Решение: а)   3 у 4  5 8 х  4 2 х  2 х  12  2 х 5 8 4 х  3 4 2 х  2 х       1 х ; у )2( 2 4 5 8 3 4 2  2 5,04325 22 1 2  14 5,3  ...,  е х x sin  х е  cosх  ;2х у  )0( е 0 0 sin  0 е  cos0  01002110102 ...,     б)      у в)   у 2x sin2  ;4 у   ) ( 2 2 sin2   2 4  sin2   40 ­2 4 ..., г)   у  2 cos 1 (4х 2 ; у   )   2) ( 4 cos 1   4 2 (4  )  2 1 2 cos  12 ..., 0    Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2. Пример 3. Найдите производные функций: а)  )( ху 2 х ;x sin б)  )( ху 3  х cos х   ; в)  )( ху  ( х 2  7 х  )7  хе ;  г)  ху  )( x sin х ; д)    ху  )( 2 х хе ; Решение:  а) у  (x) = (x 2 + sin x)  = (x 2)  + (sin x)  = …x + cos x; б) у  (x) = (x 3 ∙ cos x)  = (x 3)  ∙ cos x + x 3 ∙ (cos x)  = …x 2 ∙ cos x + x 3∙ (− sin x) = = x 2 ∙ (3cos x − x ∙ sin x), в) у  (x) = ((x 2 + 7x − 7) ∙ e x )  = (x 2 + 7x − 7)  ∙ e x + (x 2 + 7x − 7) ∙ (e x )  = (2x + 7) ∙ e x +  +(x 2 + 7x − 7) ∙ e x = e x ∙ (2x + 7 + x 2 + 7x−7) = (x 2 + …x) ∙ e x = x(x + …) ∙ e x . г)   )( ( ху x sin )x sin(  )  хx sin  х х 2 х   cos х х  2 x sin д)   ( )( ху х 2 х х е 2 )x (  ) х  е х (е x  2 ) 2 х  ( е  ) ...x  х  е х (е x  2 ) 2 х  е ; ; По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:  )( ху 2 х  е 2x х  е х (е x  2 ) x  х  е (е 2( х )  2 х )   2(x х е х ) ; Ответ: а) у  (x) = 2x + cos x;  б) у  (x) = x 2 ∙ (3cos x − x ∙ sin x), в) у  (x) =  x(x + 9) ∙ e x , г)  д)   )( ху х  cos х х  2 x sin ;  ху )(  2(x х е х ) ; Пример 4. Найти производные функций:  f(x) = e 2x + 3; g(x) = sin (x 2 + ln x). Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то  получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t)  = e t . Ищем производную сложной функции по формуле: f  (x) = f  (t) ∙ t  = (e t )  ∙ t  = e t ∙ t . Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим: f  (x) = e t ∙ t  = e 2x + 3 ∙ (2x + 3)  = e 2x + 3 ∙ 2 = … ∙ e 2x + 3 Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем: g  (x) = g  (t) ∙ t  = (sin t)  ∙ t  = cos t ∙ t . Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда: g  (x) = cos (x 2 + ln x) ∙ (x 2 + ln x)  = cos (x 2 + ln x) ∙ (…x + 1/x). Ответ:  f   (x) = 2 ∙ e 2x + 3;  g  (x) = (2x + 1/x) ∙ cos (x 2 + ln x). Пример 5. Найти производную функции : а) б)  )( ху  х 3 2  tgх  15 у   1 cos х ; Решение: а)   ( )( ху 3 2 х  tgх  )15  (( х 2  tgх  1 ))15 3  ( 1 3 2 х  tgх  )15  2 3 2  ( х  tgх  )15                            ( 1 3 2 х  tgх  )15  2 3  (( х 2  ) ) tgх(  ))15( 1  ( 3 2 х  tgх  )15  2 3  (... х  1 2 cos х ), б)   ( )( ху  1 cos х  ) ( cos 1­ х )  )1(  cos 2­ х  ( cos х )  1 2 cos х  ( )x sin  x sin­ cos х 2 ; Ответ: а)  1  )( ху ( 3 2 х  tgх  )15  2 3  2( х  1 cos 2 х ), б)   )( ху x sin­ 2 х cos ; 2)Решить задание  ( по примерам): 1. Найдите производные функций: а) y = 2ex –3x7 ,б) у=5ех+cos3x, в) у = ех – cosx, г) у=  6х 2 – ln4х, д)  у  х ln3 x  7ln , е)  ху (5x sin2)(  , ж)   ху )(  ) 4 5  е х log 3 4 х 2. Вычислите значение производной функции: а)   у= 8 х 8  4 х 4  2 3 х  ln2 x 2   в точке   0 х 1 ,  б) у=2ех sinx +3 x2  в точке  , 0 х 0 в)  у = cos2x + 8x  в точке   ,г)  х 0  2 у  1 2  tg 6 x     23 e    в точке   .      х 0  4 3. Найдите производные функций: а)  )( ху  х 4 2  ;x sin б)  )( ху 2  х cos   х ; в)  4. 5.  г)  д)  2    (  хе ; )( ху х х 5 )9 3 х хе Найти производные функций:  f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x). Найти производные функций : а) ху  )( ху  )( б)  ; 2sin х x  2 )( ху 3  х 3 2  tgх  8 у   2 cos х   ; ; 3)Решить задание: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Найдите производную функции  y = e ­x –2x7 , у= 4х3+ е ­х.                                                   Найдите производную функции  у = x2 + sinx  в точке  х0 =. Найдите производную функции   у =  sinх ex – 9x3 в точке xo=0.   Найдите значение производной функции   у = 5cos x – 7x   в точке  хо = 0 .                       Вычислите значение производной функции  y = ln(2x+11)+ 5x  в точке  хо= –5.              Найдите производную функции: а)     б)  ху )( 3cos(  х 3  ;) 2 у   5 3 х  ).52ln( х  ОСР­2. «Составление  уравнения касательной  к графику  функции». Задание: 1)Перепишите и заполните пропуски: Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с  абсциссой х₀:  а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 1, в) y(x) = 3x²  −¿  4x, x₀ = 2,  г) y(x) = х3 + 7x²  −¿ 5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = ех, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е3х, x₀ = ln  4. Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y    (x0) , найдем производные и вычислим их в точке x0 a)     б)  у  2 ,3 х   ( ху 0 )  2 13 13 ...,  у  ,  ( ху ) 0  ..., 1 х 1 1 в)   у  х 6 ,4   ( ху 0  426) 12 4 ..., г)  д)  у  3 х 2  14 х  ,5   ( ху 0  33) 2 14  53 27 42  5 ..., у  е х  ,  ( 0ху ) е ln 7= …,е)    7cos x,  у  ( 0ху )  7 ∙  cos 0 = 7 ∙  1 = …,    ж)  у  3 е 3 х  ,  ( ху 0  е3 ln 4  = 3 ∙ 43 = 3 ∙ 64 =  …  3) Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192. Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если    = α arctg 6,  α  = ­  arctg 8.   4  , 2 3 , б) Найти α,если y(x) =  1 3 Решение: а) k  = tg  = α tg  х3, x₀ = 2.   k  = tg  = α tg   4  ...,  2  3 ...,  k  = tg  = α tg  (arctg  6)  ...,   k  = tg  = α tg   (­ arctg 8)   ..., б)  у  3 х 2 1 3 2 х  ,  ( ху 0  2) 2 ...,   arctg 4.  Ответ: а)1,   3 ,6,­ 8,   б) arctg 4. Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в  точке x0 = 2. Решение: Уравнение касательной: y = f   (x0) ∙ (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот  значения f (x0) и f   (x0) придется вычислять. Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = …; Теперь найдем производную: f   (x) = (x3)   = 3x2; Подставляем в производную x0 = 2: f   (x0) = f   (2) = 3 ∙ 22 = 3 ∙ 4 = …; Итого получаем: y = 12 ∙ (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.  Это и есть уравнение касательной. Ответ: y = 12x − 16.  Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2. Решение:  f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f   (x) = (2sin x + 5)   = 2cos x; f  (x0) = f  (π/2) = 2cos (π/2) = 0; Уравнение касательной:   y = 0 ∙ (x − π/2) + 7 ⇒ y = ... Ответ: y = 7.  Пример 5.  Составьте уравнение касательной к графику функции   в точке M(3; – 2).  у  х 3 4 х  1 1 3 Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как    f(3)  9134 3 3 1 3 12  12 10 1 ..., 1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 −¿  4 = … y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной. Ответ: y = 5x – 17. Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2,  проходящих через точку M(– 3; 6).  Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ≠    6 (рис. 2). 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = – a2 – 4a + 2. 3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4. 4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной. Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), a2 + 6a + 8 = 0 , D = 62  −¿  4 ∙ 1 ∙  8 = 36  −¿  32  = …,   а1= ( −¿ 6  −¿  2) : 2 = −¿  8 : 2  =  …,  а2 = ( −¿ 6  +¿  2) : 2 =  −¿ 4 : 2 = …, Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Ответ: y = 4x + 18 или y = 6. Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3,  параллельных прямой y = 9x + 1. Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a. Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. 3a2 – 6a  –  9 = 0,  D = ( −¿ 6)2  −¿  4 ∙ 3 ∙  ( −9 ) = 36  +¿  108  = …,  а1= (6  +¿ 12) : 6 = 18 : 6  =  …,   а2 = (6  −¿  12) : 6 =  −¿  6 :  6 = …, Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1сл.) a = – 1;   f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …;   f '(– 1) = 3 + 6 = …;  y = – 1 + 9(x + 1);  y = 9x + 8 – уравнение касательной; 2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …;  f '(3) = 27 – 18 = …; y = 3 + 9(x – 3);  y = 9x – 24 – уравнение касательной. Ответ: y = 9x + 8  и y = 9x – 24. Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей  под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение:  Из условия f '(a) = tg 45°,   у 25,,0  х 3 х  ау а )( ,3 ,3 найдем a:  a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = ... 1. a = 4 – абсцисса точки касания. 2. f(4) = 8 – 12 + 1 = ... 3. f '(4) = 4 – 3 = ... 4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной. Ответ: y =  x – 7. Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена  прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой? Решение: у = х2 , (1;1), (3;9).  Найдем уравнение прямой  . 1 х 13    1 у 19   4х – 4 = у – 1.  у = 4х – 3. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. ( 0ху ­ угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0. )    ху ( 0 ) 2х0 = 4.  х0 = ...  ,    ,2 х у )2( 2  ... 2 Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой. Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику  функции y = x2 + bx + c? Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;  p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.  Тогда уравнение касательной y = x примет вид  y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение  касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.  Составим и решим систему уравнений: { 2t+b=1 c−t2=0 2p+b=−2 c−p2=0 =¿{2t−2p=3 t2−p2=0 =¿{ t−p=1,5 (t−p)∙(t+p)=0 =¿{t−p=1,5 t+p=0   ;  =  0,752 2t = 1,5;  t  = 0,75;  p = – t = …,  c  =  t2 b = 1 – 2t = 1 – 2  ∙  0,75 = 1– 1,5 = … Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5. 2)Решить задание  ( по примерам):  = …,  Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с  1. абсциссой х₀:  а) y(x) = x4, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² ­ 4x, x₀ = 4,  г) y(x) = х3 + 7x² ­ 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = ех, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е3х, x₀ = ln 6. 2. а) Найти угловой коэффициент k, если    = α arctg 9,  arctg 11. α  = ­    ,  6 3 4 , б) Найти α,если y(x) =  х3, x₀ = 4.  1 3 3. 4. 5. 6. 7. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в  точке x0 = 1. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 = π/2. Составьте   уравнение   касательной   к   графику   функции   в   точке   M(3; у  х 3 4 х  2 1 3 – 1).  Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих  через точку M(– 3; 9). Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 24x + 1. 8. 9. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей  под углом 45° к прямой y = 0 . На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.  В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой? 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику  функции y = x2 + 2bx + c? 3)Решить задание: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке  графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна   прямой y – 3x + 1 = 0. Найдите   угол q между   касательными   к   графику   функции   y   =   x3 –   4x2 +   3x   +   1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K  пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? Найти угол между касательными к графику функции )( ху проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.  ,  2 7 х  14 х  7 3  х Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1? 9. 10. Найдите уравнение касательной к графику функции  )( ху  2 х  4 х  2  в точке с абсциссой . х 0 1 11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых  проходит через точку графика с абсциссой х0  =  – 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая  касательная касается графика данной функции. 12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная  проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна. 13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная  проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна. 14. Найдите   уравнение   параболы   f(x)   =   ax2 +   bx   +   1   касающейся   прямой   у   =   7х   +   2  в точке М (1; 5). 15. К графику функции  )( ху  х 1 3 3 прямой у = 4х – 5.  провести касательную так, чтобы она была параллельна  16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции . ху )( х 17. Составить уравнение касательной к графику функции )( ху 2 х 1   в точке с абсциссой .  0 х 1 18. Составить уравнение касательной к графику функции   в точке с абсциссой   0 х 0 1  2 хе ху )( 19. Составить уравнение касательной к графику функции )( ху  ( 1 2) х  х   в точке с абсциссой   . 0 х 1 2 20. Составить уравнение касательной к графику функции   > 0, отсекающей от осей  ху )( 3 х , х координат треугольник, площадь которого равна  . 2 3