Карточки-билеты по геометрии для 11 класса "Задачи"

Билет № 1. Задача. 1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы векторы   .Найдите координаты вектора  с , если   са  с  , в 11  с    2 ,   а 1;1;2   и    и осью Ох тупой. , а угол между  с   1;2;1  b 2. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а,   треугольника ABC. Точка Р лежит на ребре BD, а точка L – на ребре AC, причем BP:PD=2:1,  AL:LC=1:2. Найдите    b , найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. .  Точка О – центр    2;2;1 a 4;0;3  LP, OD AD AC AB  и  3.   . ,  e 3   e 1 ,   e 2 Билет № 2. Задача. 1. Образующая конуса равна l и составляет с основанием угол в 60о. В конус вписана правильная  треугольная призма, боковое ребро которой в 2 раза больше стороны основания. Найти ребра призмы. 2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что 4 его вершины находятся на боковых  ребрах пирамиды, а остальные 4 – в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если в пирамиде  сторона основания равна a и высота равна h. 3. В правильный тетраэдр вписан конус и около него описан конус. Найти отношение площадей полных  поверхностей конусов. Билет № 3. Задача. 1. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а, а боковое ребро 3а,  проведено сечение параллельно боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если оно является  ромбом. 2. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1  проходящее через точку пересечения диагоналей грани  ABCD параллельно прямым  AB1 и BK (K­ середина CC1). Найдите площадь сечения, если ребро куба  равно а. 3. Основание прямой призмы – четырехугольник, площадь которого 4 3 . Плоскость, пересекающая  все боковые ребра призмы, образует с плоскостью основания угол 30о. Найти площадь сечения. Билет № 4. Задача. 1. Найти расстояние между плоскостью 2х­2y­z+3=0 и точкой А(0;2;2) и угол между этой плоскостью и прямой ОА, где О – начало координат. 2. На плоскости x+2y+3z=25 найти точку, удаленную на наименьшее расстояние от точки А(2;­3;5) 3. Составьте уравнение сферы единичного радиуса, если известно, что она проходит через точки  О(0;0;0), А(0;1;0), В(0;0;­1). Билет № 5. Задача. 1. О треугольной пирамиде ABCD известно, что AC=4,  BC=3, ABC=900. Ребро AD длинной 12  перпендикулярно плоскости ABC. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы. 2. Найдите боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований a  и b, если в пирамиду можно вписать шар. 3. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в конус, образующая которого равна l и составляет  с основанием угол  .α Билет № 6. Задача. 1. Найдите отношение объемов параллелепипеда ABCDA1B1C1D1  и треугольной пирамиды BDC1A1. 2. Центры тяжести граней треугольной пирамиды являются вершинами многогранника. Найдите  отношение объемов пирамиды и многогранника. 3.  В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что вершины его лежат на апофемах  пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой пирамиды  и ее боковой гранью равен . Билет № 7. Задача. 1.  В правильной призме ABCDA1B1C1D1  ребро AB равно а, угол между AB1  и DB равен а. найдите  площадь поверхности шара, проходящего через точки A, B1, C1  и A1. 2.  В полушар вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение объема этого цилиндра к  объему этого шара. 3. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна L и наклонена к плоскости  основания под углом . Билет № 8. Задача. 1. В куб ABCDA/B/C/D/ вписан шар радиуса R. Найти площадь сечения шара плоскостью AD/C. 2. Вершина А куба является центром сферы, а вершина D/ лежит на этой сфере. Найти длину линий  пересечения сферы и поверхности куба, если ребро куба а. Сделайте чертеж. 3. В шаре радиуса r проведены большой круг и сечение плоскостью, имеющее с большим кругом  только одну общую точку и составляющее с ним угол в 45о. Найти площадь сечения. Билет № 9. Задача. 1. Высоту конуса разделили на пять равных частей, и провели через каждую точку деления плоскость,  параллельную основанию Объем части, заключенной между вторым и третьим сечениями равен V.  Найти объем конуса. 2. Образующая усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом 60о, а центр большего  основания равноудален от меньшего основания и боковой поверхности конуса. Найти объем усеченного конуса, если площадь его поверхности 2. 3. В конусе образующая равна 4 и наклонена под углом 60о. Найти объем конуса. Билет № 10. Задача. 1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b, острый угол . Большая диагональ  основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда. 2. Все ребра треугольной призмы касаются шара радиуса R. Найти объем призмы. 3. В наклонной треугольной призме одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания и  представляет собой ромб, диагонали которого равны 3 и 4 см; основанием призмы служит  равносторонний треугольник. Найти объем призмы. Билет № 11. Задача. 1. Даны две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно x. Между ними расположен  конус с образующей 25 см и радиусом основания 7 см так, что на каждой плоскости есть хотя бы одна  точка конуса, а вне плоскостей таких точек нет. Найти все возможные значения х. 2. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Найти его площадь,  если радиус конуса r, угол между сечением и основанием 60о,  угол между образующей и основанием  45о. 3. В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200о. Найти угол между  образующей и основанием конуса. Билет № 12. Задача. 1. Диагонали АВ/ и DC/ граней четырехугольной призмы ABCDA/B/C/D/ параллельны. Докажите, что  прямые AD/ и BC/ также параллельны. 2. Дан куб с ребром  Определите объем общей части этих кубов. α  . Второй куб получен поворотом первого на угол   (0о<<90о) вокруг ребра.  3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит прямоугольник, вписанный в круг радиуса R,  причем, меньшая сторона этого прямоугольника стягивает дугу окружности равную (2)о. Найти  объем этого параллелепипеда, зная его боковую поверхность S. Билет № 13. Задача. 1. Высоту пирамиды разделили в отношении 3:7, считая от вершины, и провели сечение, параллельное  основанию. В каком отношении разделится объем пирамиды? 2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 15 и 20. Боковые ребра пирамиды имеют  равные длины, а центр описанного около пирамиды шара удален от плоскости основания на расстояние  2 13 16 . Найти объем пирамиды. 3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник. Катет ­  Плоскость, проведенная через данный катет и противолежащую вершину другого основания,  составляет с основанием угол  β . Найти объем призмы. α  , противолежащий угол ­  .  Билет № 14. Задача. 1. Найти двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если плоскость,  проведенная через сторону основания, делит угол и боковую поверхность пирамиды пополам. 2. В основании пирамиды объемом 4,8 лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если  ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание  высоты лежит внутри основания пирамиды. 3. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной  к основанию, а две другие наклонены к основанию под углом 60о. Найти полную поверхность  пирамиды. α . Две соседние боковые грани перпендикулярны  Билет № 15. Задача. 1. Для правильного тетраэдра ABCD с ребром  АС – до плоскости BCD и угол между прямой КВ и этой плоскостью. α  определите расстояние от точки К – середины ребра  2. Все ребра наклонной призмы ABCA/B/C/, в основании которой лежит правильный треугольник, равны α который составляет с этой плоскостью прямая А/С. / равноудалена от А, В и С. Найти расстояние от вершины А/ до плоскости ВСС/ и угол,  . Точка А 3. В треугольной пирамиде стороны основания равны 13, 14 и 15. Все боковые ребра составляют с  основанием углы, равные  φ . Найти высоту пирамиды. Билет № 16. Задача. . Найти площадь  1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна  поверхности тела, образованного вращением треугольника около прямой, проведенной через конец  основания перпендикулярно ему. α , угол при вершине  2. В треугольнике АВС сторона ВА=  вращения треугольника около данной стороны. 3. Ромб с большей диагональю d и острым углом  вращается вокруг оси, проходящей через вершину  ромба и перпендикулярной к большей его диагонали. Определить объем тела  вращения. α , и известны углы В и С. Определить объем тела, полученного от  Билет № 17. Задача. 1. В правильном тетраэдре ABCD точки К и L – середины ребер AD и ВС соответственно. Найти угол  между КL и высотой СС/ треугольника АВС. 2. Объем пирамиды ABCD равен V. Найти объем пирамиды KNBP, если В – середина АР, К лежит на  ребре AD и АК:КD=3, N – точка пересечения медиан ВСD. 3. Тетраэдр, ребро которого равно  делящей противоположное ребро в отношении 2:1. Определить площадь сечения. α , пересечен плоскостью, содержащей одно из ребер тетраэдра и  Билет № 18. Задача. 1. Два прямоугольных неравных друг другу треугольника ABD и CBD имеют по острому углу ,  общий катет BD=  CD, если плоскости ABD и CBD взаимно перпендикулярны. α  и общую вершину прямого угла  D. Найти угол и расстояние между прямыми АВ и  2. Найти расстояния и углы между диагональю АС/ куба ABCDA/B/C/D/ и скрещивающимися с ней  диагоналями граней этого куба, если ребро куба равно 1. 3. На ребрах АВ, АС и SC правильной пирамиды SABC, у которой все плоские углы при вершине  прямые, взяты соответственно точки D, E и F – середины этих ребер. Найти угол между прямыми. Билет № 19. Задача. α . Квадрат перегнули по прямой КС так, что  1. К – середина стороны AD квадрата ABCD со стороной  образовался двугранный угол 60о. Найти расстояние между точками В и С. 2. Внутри двугранного угла величины  (<90о) взята точка М, удаленная от граней двугранного  угла на расстояние А и В соответственно. Найти расстояние от точки М до ребра двугранного угла. 3. Прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ=с и углом ВАС= перегнули по биссектрисе  СС/ так, что образовался прямой двугранный угол. Найти расстояние между точками А и В. Билет № 20. Задача. 1. Квадрат ACMD и правильный треугольник АВС расположены так, что двугранный угол  М(АС)В=120о, АС= . Найти расстояние от точки В до плоскости квадрата и от точки М до плоскости  треугольника. α 2. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDME (S – вершина). Найти расстояние от плоскости SAB до каждой, не лежащей на ней, вершины пирамиды, если точка пересечения медиан грани SDM  удалена от плоскости SAB на 8 см. 3. На плоскости лежат 3 точки А, В и С так, что АВ=2, ВС=АС= 5 , точка D не принадлежит  плоскости АВС и отстоит от точек А, В, С на расстоянии  2 ,  2  и  5  соответственно. Найти  расстояние от точки D до плоскости АВС. Примечание: количество задач для решения определяет учитель соответственно дидактике билета, или  по выбору учащегося.