Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в практике.
Понятие производной – одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.
Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).
Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.
Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе,
позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении
аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в
заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия
математики как производная, неопределенный и определенный интегралы,
составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь
получили непосредственное применение в
практике.
1. Самостоятельная работа студента по теме «Предел»
на «3»
1.
x
2
3
73
lim
x
3
x
2.
2
x
lim 2
x
2
x
5
3
3.
lim
1
x
4
x
596
x
4.
lim
x
0
3
x
1
x
3
x
4
Вычислить предел функции в точке:
5.
2
x
lim
x
x
1
1
1
3.
2
x
lim 2
x
1
x
2
x
x
6
1
7
на «4»
1.
lim
x
4
2
x
x
16
4
;
2.
lim
x
3
2
x
x
9
3
;
4.
lim
x
1
(
x
x
2)1
2
1
x
на «5»
1.
lim
x
1
x
23
1
x
12.
lim
x
2
12
x
x
4
;
3.
lim
x
5
x
x
21
5
4.
lim
x
0
2
x
4
2
2
x
Контрольные вопросы:
1. Дать определение функции.
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое область значений функции?
4. Что называется пределом функции в точке?
5. Каковы основные свойства пределов.
6. Назовите методы вычисления предела функции в точке.
7. Назовите методы вычисления предела функции на бесконечности.
Домашнее задание по теме Предел функции:
1 вариант
1) Найти пределы функций:
1.
2.
3.
4.
5.
;
.
2
x
lim 2
x
2
1
x
x
5
x
2
3
;
lim
x
6
x
6
x
33
;
35
x
lim 5
6
x
x
5
7
;
lim
x
x
3
3
x
5
3
x
x
6
4
lim
x
5
2
x
3
2
x
1) Найти пределы функций
1.
x
4
2
x
6
lim
x
3
2.
3.
4.
5.
;
;
7
x
lim 2
3
x
1
x
4
1
lim
x
0
5
x
9
lim
x
5
2
x
x
25
5
lim 2
x
x
3
2 вариант
1) Найти пределы функций:
3 вариант
1.
6
x
lim 2
x
0
x
;
2
x
x
7
2
3
22.
3.
4.
5.
lim
x
2
2
x
x
4
2
;
4
x
lim
x
1
x
;
;
lim
x
x
x
4
3
x
.
3
lim
x
3
x
4 вариант
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
5.
;
x
1
21
;
lim 3
x
x
3
1
x
lim 2
x
2
x
4
1
;
lim
x
3
2
x
x
9
3
lim 2
x
x
;3
6
lim
x
2
x
3
x
2
4
;
3Время выполнения – 20
минут
Проверочная работа.
Тема : Теория пределов
1 вариант.
1) Найти пределы следующих
функций:
2 вариант.
1) Найти пределы следующих
;
;
3
x
lim 2
x
3
5
1
x
x
7
lim
x
5
2
x
x
25
5
a)
b)
c)
;
2
4
lim
x
x
31
2
x
3 вариант.
1) Найти пределы следующих
функций:
a)
7
x
42
lim
x
1
;
x
53
x
1
b)
c)
;
lim
0
x
x
11
x
;
lim
x
x
3
2
3
4
x
2
x
3
x
1
1) Дополнительное задание:
2)
b)
a)
функций:
a)
lim
x
2
10
2
x
4
x
1
;
3
x
5
;
lim
x
8
2
x
x
64
8
.
lim
x
54
x
2
x
3
4 вариант.
d)
c)
2
x
lim 2
x
5
x
7
9
x
x
10
20
lim
x
3
2
x
2
x
5
x
x
2
4
1) Найти пределы следующих
функций:
b)
lim 2
x
x
2
1
x
3
x
;
5
;
.
41.
2.
3)
;
lim
0
x
x
5
x
5
x
x
lim 2
x
3
6
9
1
.
3
x
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Понятие производной – одно из основных понятий
математического анализа. В настоящее время понятия производной находит
большое применение в различных областях науки и техники.
10)
Изучение функции с помощью производной составляет предмет
Быстрота протекания физических,
дифференциального исчисления.
химических, биологических и других процессов, например скорость
охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при
помощи производной.
11)
2. Самостоятельная работа по теме «Производная функции»
5)
6)
7)
8)
9)
;
a
ln
;
x
a
'
a
x
ln
x
'
1
x
;
a
;
log
xa
'
1
ln
x
sin
x
'
cos
x
cos
x
'
sin
x
5
12)
1)
2)
3)
;
'
m
x
m
mx
1
x
'
1
2
x
;
;
1
2
x
;
1
x
'
4)
x
e '
x
e27)на «5»
y
2 2
x
x
3
28)1.
29)2.
5
x
y
2 3
x
x
2
x
5
;
30)3.
y
73 x
31)4.
y
2
x
32)5.
y
sin
1
x
10)
12)
11)
21)на «4»
22)1.
y
2x
2
23)2.
y
2
x
24)3.
y
x
3
x
25)4.
y
x
2 x
4
26)5.
y
5
x
2 3
x
1
x
2
;
35)
13)
на «3»
14)1.
y
23x
15)2.
y
44x
16)3.
y
1
x
x
17)4.
y
sin
x
cos
;
x
18)5.
y
3
x
19)
20)
33)
34)
36)
37)
38)
39) Проверочная работа по теме «Производная
функции»
40)
41) Найти производную функций:
1.
x
2
y
2
x
3
;2
62.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
y
3
x
2
ln
x
3
x
;
2ln
y
3
x
2
3
x
;
y
31
2x
;
y
x
x
e
e
x
;x
y
x
ln
x
;1
xf
3
x
13
x
xf
1 x
32
xf
x
22
x
1
10.
y
2
x
3
1
35
x
2
;7
11.
12.
13.
y
4 x
4
y
x
3
x
y
2 2
x
3
x
5
14.
y
7
x
7
x
15.
y
5 2
x
2
x
3
1
;
16.
17.На «5» выполнено 1415 примеров
18.На «4» выполнено 1311 примеров
719.На «3» выполнены примеры №2, №5, №6, №7, №9, №11, №12, №13,
№14.
20.
21.
22.Контрольные вопросы:
1. Дать определение функции.
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое область значений функции?
4. Что такое приращение функции и аргумента?
5. Что называется производной функции?
6. В чем состоит физический смысл производной?
7. В чем состоит геометрический смысл производной?
8. В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции?
23.
24.
25.
Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий
математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их
производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный
движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).
26.
Определенный интеграл применяется для решения таких
прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел
вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени,
среднее значение функций и т. п.
27.
28.
Самостоятельная работа по теме «Неопределённый и
определённый интеграл»
29.
30.
ИНФОРМАЦИЯ:
31.
32.
1.
2.
33.
dx
;Cx
Таблица основных интегралов
3.
5.
dx
x
ln
Cx
;
x
dxa
a
ln
x
a
C
;
x
m
dx
m
1
x
m
1
C
;
4.
e
x
dx
x
e
;C
6.
sin
xdx
cos
Cx
;
8
cos
xdx
sin
Cx
;
8.
dx
cos 2
x
tgx
C
;
9.
dx
sin 2
x
ctgx
C
.
7.
10.
11.
12.Непосредственное интегрирование:
20.на «4»
26.на «5»
13.на «3»
14.
1.
x
8 6dx
.
15.
2.
sin
x
5
;
dx
16.
3.
x
4
3
2
6
x
4
x
3
dx
;
17.
4.
e x
;
2 dxx
18.
5.
4
x
3
5
8
x
;
dx
19.
32.
33.
1.
;dxx
27.
1.
x
4
3
2
3
4
7
x
;
dx
2
2.
x
x
x
dx
;
28.
2.
x
23
2
2
1
dx
;
21.
22.
23.
29. 3.
dx
2
x
3
;
30.
31.5.
4.
5
dxxx
;
3
x
x
2
5
3
x
;
dx
3.
4
x
3
3
3
4
2
x
5
dx
;
24.
25.
dx
4. ;2x
5.
513
x
dxx
;
34.
35.
Время выполнения – 20
минут.
36. Проверочная работа.
37. Тема. Интегральное исчисление
38. 1 вариант
39. 1. Найти неопределенный интеграл.
1)
23
x
7
;
dx
x
92)
3)
5
dx
32
x
;
1
5
x
e
x
2
dx
;
40. 2. Вычислить определенный интеграл:
41.
22
dx
x
5
1
.
1. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
42.
y
x
,2
y
.2
x
43. 2 вариант
1. Найти неопределенный интеграл.
2. Вычислить определенный интеграл:
3)
x
2
3
e x
2
;
dx
2. Вычислить определенный
интеграл.
45.
5
dx
62
4
.
dx
x
3. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
46.
y
,12
x
y
3
x
47. 4 вариант
1. Найти неопределенный интеграл.
a)
b)
c)
3 2
x
2
dx
;
52
x
12
x
5 dx
;
.
3
dx
3
x
2. Вычислить определенный интеграл.
a)
b)
2 dxx
4
;
2
1
3
e x
1
0
dx
1)
2)
3)
1)
2)
4
x
4
dx
;
3(
2
x
4
5
x
)1
;
dx
dx
2 x
2
.
1
3
x
dx
.;
5
0
3 dxx
2
.
2
1
44. 3 вариант
48. 5 вариант
49. 1. Найти неопределенный интеграл.
1. Найти неопределенный интеграл.
1)
2
x
3
x
5
3
x
3
2
dx
;
2)
2
dx
92
x
;
dx
1)
2)
3)
2
xx
;
dx
1
3 2
x
x
2
x
dx
;
e x
x
1
.
dx
102. Вычислить определенный интеграл:
1)
2)
dx
2
.
1
x
2
1
1
2
x
dx
.
2
0
50. 6 вариант
51. 1. Найти неопределенный интеграл.
1)
xx
2 2
;
dx
3
Время выполнения – 10 минут
2)
3)
2
x
3
x
3
6
3
x
;
dx
.
e x 3
2
dx
52. 2. Вычислить определенный интеграл.
x
3
2
1
2dx
;
1
x
0 3
dx
1)
2)
53.
54.
55. Тест
56. Тема. Интегральное исчисление
57. 1 вариант
1. Выражение
это есть:
CxF
a) определенный интеграл;
b) неопределенный интеграл;
c) множество производных;
d) подынтегральная функция.
2. Интеграл
равен:
dxxf5
4.
a)
b)
c)
d)
5
;
dxxf
;dxxf
;5xdxf
xf
.
5
3. В интеграле
это:
xf
dxxf
a) переменная интегрирования;
b) подынтегральное выражение;
c) первообразная функции;
d) подынтегральная функция.
Если
, то производная
'
xF
xf
функции
равна:
CxF
a)
;xF
b) С;
c)
;xf
d)
.Cxf
5. Найти неопределенный интеграл
dx
3 x
:
a)
ln
Cx
;
11b)
c)
d)
;
xln3
ln3
Cx
;
ln3
Cx
.
6. Вычислить определенный интеграл
2 dx
x
.
2
1
a)
b)
c)
d)
;2 3
2
;2 3
1
;3
1
.3
8
7. Производная
'
5 xdx
равна:
;5x
;
5xdx
;
5xdx
.
5 xdx
a)
b)
c)
d)
11.
12.
13.
8. Вычислить определенный интеграл
3
x
1
1
3
x
2
.
dx
a) 2;
b) 0;
c) 1;
d)
.2
1
9. Найти неопределенный интеграл
e x
4
a)
.
dx
xe
4
;
b)
c)
d)
e x
;C
1
4
e x
C
;
e x
4
C
.
10. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями:
;3
1
;3
2
;3
4
.2
1
a)
b)
c)
d)
14.
15.
16.
17.
y
x
,2
x
,1
y
.0
1218. Тест
19. Тема. Интегральное исчисление
20. 2 вариант.
21.
1. Выражение
- это есть:
CxF
a) подынтегральная функция;
b) множество производных;
c) множество первообразных;
d) определенный интеграл.
2. Интеграл
равен:
xf
2
dx
a)
b)
c)
d)
2
;
dxxf
;2
xdxf
xf
2
;
1
2
.
dxxf
3. В интеграле
dxxf
-
dxxf
это:
a) подынтегральное
выражение;
b) переменная
интегрирования;
c) первообразная функции;
d) подынтегральная функция.
4. Если
, то ее
xf
33x
первообразная
равна:
xF
a)
3x
3
;
b)
c)
d)
4x
4
;
3 4x
4
;
4 4x
3
.
5. Найти неопределенный
интеграл
dx
.
4x
a)
b)
c)
d)
ln
Cx
;
ln
Cx
;
1
4
1
4
ln4
Cx
;
ln4
Cx
.
6. Вычислить определенный
интеграл
1
.
xdx
1
a) 1;
b) –1;
c)
;2
1
d) 0.
7. Дифференциал
равен:
d 4
dxxf
13a)
b)
c)
d)
;
dxxf
4
xf
;
4
;dxxf
.4xdxf
8. Найти неопределенный
интеграл
5 dx
.
e x
a)
b)
c)
d)
e x
5
x
1
1
C
;
e x
;C
e x
C
;
1
5
e x
5
C
.
9. Вычислить определенный
интеграл
3
2
3
x
2
5
dx
.
2
x
2
a) 2;
b)
;3
4
10. Найти площадь фигуры,
;2
1
c) 0;
d) 5.
ограниченной линиями:
y
a)
.0
,1
y
x
,2
x
;3
1
;3
2
.2
1
b)
c)
d)
22.
1423.