Карточки по теме Предел, производная, интеграл

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента.   С   помощью   предела   можно   выяснить,   имеет   ли   функция   в заданной   точке   разрыв.   Через   пределы   определяются   такие   понятия математики   как   производная,   неопределенный   и   определенный   интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в    практике. 1. Самостоятельная работа студента по теме «Предел» на «3» 1.  x 2 3  73 lim  x 3 x 2. 2 x lim 2  x 2 x   5 3 3.  lim  1 x 4 x   596  x 4. lim  x 0 3 x  1  x 3  x 4 Вычислить предел функции в точке: 5. 2 x lim  x x 1   1 1 3. 2 x lim 2 x  1 x 2   x  x 6 1 7 на «4» 1. lim  x 4 2 x x   16 4 ; 2. lim  x 3 2 x x   9 3 ; 4. lim  x 1 ( x   x 2)1 2 1 x  на «5» 1. lim  x 1 x  23  1 x 12. lim  x 2  12 x  x 4 ; 3. lim  x 5  x x  21  5 4. lim  x 0 2 x  4 2 2 x Контрольные вопросы: 1. Дать определение функции. 2. Что такое область определения функции? 3. Что такое область значений функции? 4. Что называется пределом функции в точке? 5. Каковы основные свойства пределов. 6. Назовите методы вычисления предела функции в точке. 7. Назовите методы вычисления предела функции на бесконечности. Домашнее задание по теме Предел функции: 1 вариант 1) Найти пределы функций: 1. 2. 3. 4. 5. ; . 2 x lim 2 x 2  1 x  x  5 x 2  3 ; lim  x 6  x 6  x 33 ;  35 x lim 5  6 x  x 5 7 ; lim  x x 3 3 x 5   3 x x 6 4   lim   x 5 2  x 3 2 x    1)  Найти пределы функций 1.  x   4 2 x  6 lim  x 3 2. 3. 4. 5. ; ; 7 x lim 2 3 x  1 x   4 1 lim  x 0 5 x  9 lim  x 5 2 x x   25 5  lim 2   x x 3 2 вариант 1) Найти пределы функций: 3 вариант 1. 6 x lim 2 x  0 x ; 2   x  x 7 2 3 22. 3. 4. 5. lim  x 2 2 x x   4 2 ; 4 x lim  x 1 x ; ; lim  x x x 4  3 x .    3 lim   x 3 x    4 вариант 1) Найти пределы функций 1. 2. 3. 4. 5. ; x  1  21 ;  lim 3 x  x 3 1   x lim 2  x 2 x 4 1  ; lim  x 3 2 x x   9 3  lim 2   x x ;3 6 lim  x 2 x 3 x  2 4 ; 3Время выполнения – 20 минут Проверочная работа. Тема : Теория пределов 1 вариант. 1) Найти пределы следующих функций: 2 вариант. 1) Найти пределы следующих ; ; 3 x lim 2 x 3 5  1 x   x 7 lim  x 5 2 x x   25 5 a) b) c) ; 2 4 lim  x x 31 2 x 3 вариант. 1) Найти пределы следующих функций: a)   7 x   42 lim  x 1 ; x   53 x 1   b) c) ; lim  0 x x  11 x ; lim  x x 3 2   3 4 x 2 x 3  x 1 1) Дополнительное задание: 2) b) a) функций: a) lim  x 2 10 2 x 4  x  1 ; 3 x  5 ; lim  x 8 2 x x   64 8 . lim  x  54  x 2 x 3 4 вариант. d) c) 2 x lim 2 x  5 x   7 9 x x   10 20 lim  x 3 2 x 2  x 5  x x  2 4 1) Найти пределы следующих функций: b)   lim 2 x  x 2  1  x   3 x  ; 5  ; . 41. 2. 3) ; lim  0 x x  5  x 5  x    x lim 2 x  3 6   9 1    .  3 x 4) 5) 6) 7) 8) 9) Понятие   производной   –   одно   из   основных   понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.  10) Изучение функции с помощью производной составляет предмет   Быстрота   протекания   физических, дифференциального   исчисления. химических,   биологических   и   других   процессов,   например   скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.  11) 2. Самостоятельная работа по теме «Производная функции» 5) 6) 7) 8) 9)      ; a ln ;  x a '  a x ln x  '  1 x ; a ; log xa  '  1 ln x sin  x '  cos x cos x '   sin x 5 12) 1) 2) 3)   ; '  m x  m mx  1  x '  1 2 x ; ; 1 2 x ;    1 x '    4)   x e ' x e27)на «5»  y  2 2  x  x 3 28)1.  29)2. 5 x  y   2 3 x x 2 x  5 ; 30)3.  y   73 x 31)4.  y 2 x 32)5.  y sin 1 x 10) 12) 11) 21)на «4»  22)1.  y  2x 2 23)2.  y 2 x 24)3.  y  x 3 x 25)4.  y x 2 x 4 26)5. y 5  x 2 3 x  1 x 2 ; 35) 13) на «3» 14)1.  y  23x 15)2.  y  44x 16)3.  y 1 x x 17)4.  y  sin x  cos ; x 18)5.  y 3 x 19) 20) 33) 34) 36) 37) 38) 39) Проверочная работа по теме «Производная функции» 40) 41) Найти  производную функций: 1.   x 2 y 2 x  3  ;2 62. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. y  3 x 2 ln x  3 x ;  2ln y  3 x  2 3 x ; y  31 2x ; y  x x   e e x ;x y  x  ln  x ;1  xf   3 x  13 x  xf    1 x 32  xf   x  22 x  1 10. y   2 x 3  1  35 x   2  ;7 11. 12. 13. y  4 x 4 y  x 3 x y  2 2 x  3 x  5 14. y 7  x  7 x 15. y  5 2 x 2 x   3 1 ; 16. 17.На «5» ­ выполнено 14­15 примеров 18.На «4» ­ выполнено 13­11 примеров 719.На «3» ­ выполнены примеры №2, №5, №6, №7, №9, №11, №12, №13,  №14. 20. 21. 22.Контрольные вопросы: 1. Дать определение функции. 2. Что такое область определения функции? 3. Что такое область значений функции? 4. Что такое приращение функции и аргумента? 5. Что называется производной функции? 6. В чем состоит физический смысл производной? 7. В чем состоит геометрический смысл производной? 8. В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции? 23. 24. 25. Неопределенный   интеграл   –   одно   из   важнейших   понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).  26. Определенный   интеграл   применяется   для   решения   таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения,   длин   дуг,   работу   сил   за   определённый   промежуток   времени, среднее значение функций и т. п.  27. 28. Самостоятельная работа по теме «Неопределённый и  определённый интеграл» 29. 30.                ИНФОРМАЦИЯ: 31. 32. 1. 2. 33.  dx  ;Cx Таблица основных интегралов 3. 5. dx  x  ln Cx  ; x  dxa  a ln x a  C ;  x m dx  m  1 x m  1  C ; 4.  e x dx x  e ;C 6.  sin xdx  cos Cx  ; 8 cos xdx  sin Cx  ; 8. dx  cos 2 x  tgx C ; 9. dx  sin 2 x  ctgx  C . 7. 10. 11. 12.Непосредственное интегрирование: 20.на «4» 26.на «5» 13.на «3» 14. 1.  x 8 6dx . 15. 2.    sin x   5 ; dx 16. 3.   x 4 3  2 6 x  4 x  3  dx ; 17.   4.   e x   ; 2 dxx 18. 5.     4 x 3  5 8 x  ; dx 19. 32. 33. 1.  ;dxx 27. 1.   x 4 3 2  3 4 7 x  ; dx 2 2.   x x x dx ; 28. 2.   x 23 2  2  1 dx ; 21. 22. 23. 29. 3. dx 2 x 3 ; 30. 31.5.  4.  5 dxxx ; 3 x   x 2 5 3 x ; dx 3.  4 x  3  3  3 4 2 x  5   dx ;  24. 25. dx 4.  ;2x 5.     513 x  dxx ; 34. 35. Время выполнения – 20 минут. 36. Проверочная работа. 37. Тема. Интегральное исчисление 38. 1 вариант 39. 1. Найти неопределенный  интеграл. 1)  23 x  7  ; dx  x 92) 3) 5 dx   32 x ;   1  5 x e  x 2  dx ; 40. 2. Вычислить определенный интеграл: 41. 22 dx  x 5 1 . 1. Вычислить площадь фигуры,  ограниченной линиями: 42. y  x ,2 y  .2 x 43. 2 вариант 1. Найти неопределенный  интеграл. 2. Вычислить определенный интеграл: 3)  x 2  3 e x  2  ; dx 2. Вычислить определенный  интеграл. 45. 5 dx   62 4 . dx  x 3. Вычислить площадь фигуры,  ограниченной линиями: 46. y  ,12 x y  3 x 47. 4 вариант 1. Найти неопределенный  интеграл. a) b) c) 3 2 x 2 dx ;   52  x  12 x  5 dx ; . 3 dx   3 x 2. Вычислить определенный интеграл. a) b) 2 dxx 4 ; 2 1 3 e x 1 0 dx 1) 2) 3) 1) 2) 4 x 4 dx ;  3( 2 x  4 5 x  )1 ; dx dx 2  x 2 . 1 3 x  dx .; 5 0 3 dxx 2 . 2 1 44.  3 вариант 48. 5 вариант 49. 1.   Найти неопределенный  интеграл. 1. Найти неопределенный интеграл. 1) 2 x 3 x  5 3 x 3 2 dx ; 2) 2 dx   92 x ; dx 1) 2) 3)  2 xx   ; dx 1   3 2 x x 2 x dx ;   e x  x  1 . dx 102. Вычислить определенный интеграл: 1) 2)    dx 2 .  1 x 2 1 1 2 x  dx . 2 0 50. 6 вариант 51. 1.   Найти неопределенный  интеграл. 1)  xx 2 2  ; dx  3 Время выполнения – 10 минут 2) 3) 2 x 3 x  3 6 3 x ; dx .  e x  3 2 dx 52. 2.  Вычислить определенный интеграл. x 3 2 1 2dx ; 1 x 0 3 dx 1) 2) 53. 54. 55. Тест 56. Тема. Интегральное исчисление 57.  1 вариант 1. Выражение   ­ это есть:   CxF  a) определенный интеграл; b) неопределенный интеграл; c) множество производных; d) подынтегральная функция. 2. Интеграл   равен:   dxxf5 4. a) b) c) d) 5   ; dxxf   ;dxxf    ;5xdxf    xf . 5 3. В интеграле   ­ это:    xf  dxxf  a) переменная интегрирования; b) подынтегральное выражение; c) первообразная функции; d) подынтегральная функция.  Если  , то производная   ' xF   xf функции   равна:   CxF  a)  ;xF b) С; c)  ;xf d)  .Cxf   5. Найти неопределенный интеграл dx 3 x : a) ln Cx  ; 11b) c) d) ; xln3 ln3 Cx  ; ln3 Cx  . 6. Вычислить  определенный интеграл 2 dx x . 2 1 a) b) c) d) ;2 3 2 ;2 3 1 ;3 1 .3 8 7. Производная   ' 5 xdx  равна: ;5x ; 5xdx  ; 5xdx  . 5 xdx a) b) c) d) 11. 12. 13. 8. Вычислить определенный интеграл 3 x  1 1 3 x 2 . dx a) 2; b) 0; c) 1; d) .2 1 9. Найти неопределенный интеграл e x  4 a) . dx xe 4 ; b) c) d) e x  ;C 1 4 e x  C ; e x  4 C . 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:  ;3 1 ;3 2 ;3 4 .2 1 a) b) c) d) 14. 15. 16. 17. y  x ,2 x  ,1 y .0 1218. Тест 19. Тема. Интегральное исчисление 20. 2 вариант. 21. 1. Выражение - это есть:   CxF  a) подынтегральная функция; b) множество производных; c) множество первообразных; d) определенный интеграл. 2. Интеграл равен:   xf  2 dx a) b) c) d) 2   ; dxxf  ;2  xdxf     xf 2 ; 1 2   . dxxf 3. В интеграле  dxxf -  dxxf  это: a) подынтегральное выражение; b) переменная интегрирования; c) первообразная функции; d) подынтегральная функция. 4. Если , то ее  xf   33x первообразная равна:  xF a) 3x 3 ; b) c) d) 4x 4 ; 3 4x 4 ; 4 4x 3 . 5. Найти неопределенный интеграл dx  . 4x a) b) c) d) ln Cx  ; ln Cx  ; 1 4 1 4 ln4 Cx  ; ln4 Cx  . 6. Вычислить определенный интеграл 1  . xdx  1 a) 1; b) –1; c) ;2 1 d) 0. 7. Дифференциал равен:   d 4  dxxf   13a) b) c) d)  ; dxxf  4  xf ; 4  ;dxxf   .4xdxf   8. Найти неопределенный интеграл 5 dx . e x a) b) c) d) e x 5  x  1 1  C ; e x  ;C e x  C ; 1 5 e x  5 C . 9. Вычислить определенный интеграл 3  2 3 x  2  5 dx . 2  x 2 a) 2; b) ;3 4 10. Найти площадь фигуры, ;2 1 c) 0; d) 5. ограниченной линиями:  y a)   .0 ,1 y x ,2 x ;3 1 ;3 2 .2 1 b) c) d) 22. 1423.