Комбинаторика

Курс по выбору «Комбинаторика» Урок № 9. Тема:  Начальные сведения по теории вероятностей Цель урока: познакомить учащихся с понятием достоверного, невозможного,  случайного события. Ввести классическое определение  вероятности Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 6 Ход урока: 1. Повторение. Бином Ньютона (по слайдам) n  a n  1 aC 1 n a  n b ) ( aCb  2 n n  2 2 b  ... aC k n kn  k b  ... b n (a + b)2 = a2 + 2ab + b2                                   (1,2,1) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3                                    (1,3,3,1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b +  6a2 b2 + 4a b3 + b4        (1,4,6,4,1) Проверка домашнего задания (1 + с)4 = 1 + 4с + 6с2 + 4с3 + с4 (2 – х)5 = 25 ­ 5 24х + 10  23х2 – 10  22х3 + 5  2х4 – х5 =               =  32 – 80х + 80х2 – 40х3 + 10х4 – х5               (3у + 2)3 = (3у)3 + 3  (3у)2  2 + 3  (3у) 22 + 23 =                        = 27у3 + 54у2 + 36у + 8  Решите самостоятельно:    1 вариант (х – у) 6 (а + 1) 5 (2 – 3n) 4 2 вариант (а – с) 7 (х + 1) 4 (2m – 3) 5 2. Начальные сведения по теории вероятностей События   в   материальном   мире   можно   разбить   на   три   категории   – достоверные, невозможные и случайные.  Во многих играх используется игральный кубик. У кубика   6       граней,   на   каждой   грани   отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Бросание кубика   можно   считать   опытом,   экспериментом, испытанием,   а   полученный   результат   –   исходом испытания   или   элементарным   событием.   Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие: 1) событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6; 2) событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9; 3) событие С – выпадает цифра 1. Событие  – исход наблюдении или эксперимента. Событие   А   обязательно   наступит.   Событие,   которое   в   данном   опыте обязательно наступит, называют достоверным событием. Например, если стакан с водой перевернуть вверх дном, то вода выльется. Событие В никогда не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием. А как вы думаете, событие С наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной   уверенностью   ответить   не   в   состоянии,   поскольку   цифра   1   может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может, как наступать, так и не наступить, называют случайным событием. Упражнение. Определите достоверные, невозможные и случайные события A.  – два попадания в цель при трёх выстрелах; B.  – выплата рубля семью монетами; C.  – наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000; D.  – появление 17 очков при бросании трёх игральных кубиков; E.  – команда школы по волейболу будет чемпионом города Определение:  Раздел математики, в котором изучаются случайные события и   закономерности,   которым   они   подчиняются,   называется теорией вероятности. физик, Проделаем   простейший   опыт   –   подбросим   монету   и   посмотри,   что выпадет:   герб   или   цифра   (говорят   –   орёл   или   решка).   Ваши предположения? Оказывается,   этот   опыт   проделывали   многие   учёные.   Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон в XVIII веке провел опыт с монетой 4040 раз, герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в XIХ веке провёл 24000 испытаний,   герб   выпал   12012   раз.   Какой   напрашивается   вывод?   Число выпадения герба и цифры примерно одинаково. Впервые   основы   теории   вероятностей   были   изложены   последовательно французским учёным П. Лапласом.  ЛАПЛАС Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик, иностранный почетный член Петербургской АН. Автор классических трудов по теории вероятностей и небесной механике (динамика Солнечной системы в целом и ее устойчивость и др.) Также теорией вероятности занимались: Б. Паскаль, французский математик А. Муавр, русские математики В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, А.А. Марков и др. Большое число вероятностных задач возникает при проведении экспериментов, в статистике. Классическое определение вероятности случайного события (дано П. Лапласом): Вероятностью случайного события А называется отношение числа возможных благоприятных событий к числу при планировании, возможных событий всех Ap ( ) m n где n – общее число равновероятных событий, m – число благоприятных событий . Свойства вероятностей: Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1. 3. Решение задач. бросании монеты. 1 2 1) Определить вероятность выпадения герба при Р(А) = 2) Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две «шестёрки»? Р(А)= (Число возможных вариантов выпадения очков первого кубика 6, второго – тоже 6, всего возможных исходов 6  6 = 36) 1 36 3) В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих. Какова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного цвета? Р(А) = 2  10 2,0 4) В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. какого- Какова вероятность либо выигрыша на один билет? 5) Вероятность чего больше:  вероятность выигрыша в «Спортлото» 5 из 36 или 6 из 49? Пусть событие А ­  выигрыш в лотерею 5 из 36. Пусть событие В  ­  выигрыш в лотерею 6 из 49. 6  Р(А) = Р(В) = ,0 49 5  36 ,0 1388 1224 Т.е. Р(А)  Р(В) Во многих задачах на определение вероятности большее затруднение вызывает подсчёт числа вариантов возможных благоприятных исходов. Здесь на помощь приходят знания комбинаторики. Задача. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что они оба белые (событие А)? Какова вероятность того, что они оба чёрные (событие В)? Какова вероятность того, что они разного цвета (событие С)? Решение. Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по 2. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2.   !18!2!12 !20!10!2  11  20  12 19 33 95 35,0 ) АР (   С С 2 12 2 20  Подсчитайте самостоятельно, чему равно Р(В) и Р(С) Задачи по теории вероятностей 1.  Найти   вероятность   того,   что   при   одном   бросании   игрального   кубика выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков, не кратное 3.  2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:            а) оканчивается нулём;[0,1]            б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]            в) больше 27 и меньше 46;[0,2] 3. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что составленное число:     а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]   4.  Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:           а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]           б) вторая карта – пиковый туз;[1/4] 5.  Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова   вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?[0,3024] 6.  В ящике находятся 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, сто среди 10 наугад вынутых деталей все стандартные?