Комбинаторика
Оценка 4.9

Комбинаторика

Оценка 4.9
Домашнее обучение
doc
математика
9 кл
11.02.2017
Комбинаторика
Публикация является частью публикации:
комбинаторика урок 2.doc
Курс по выбору «Комбинаторика» Урок № 2. Тема   урока:        Магический   и   латинский   квадрат.   Правило произведения Цель урока: Познакомить учащихся с магическими и латинскими квадратами. Научить   решать   комбинаторные   задачи   с   помощью   правила произведения Наглядность   и   раздаточный   материал:   Презентация   №1,   слайды   с магическими и латинскими квадратами, карточки с задачами 1. Повторение 1) Что изучает Комбинаторика? 2) Методы решения комбинаторных задач 3) Решите   задачу:   Имеются   ткани   3   цветов.   Сколько   можно   сшить флажков с тремя различными горизонтальными полосами? Иванов Петров Решите задачу: Фамилии четырёх друзей: Иванов, Петров, Семёнов, Николаев, а их имена: Иван, Пётр, Семён, Николай. Известно, что только у Николаева имя совпадает с фамилией; Семёнова зовут не Петром. Определите имена и фамилии друзей.  Иван ­ ­ + ­ Петр + ­ ­ ­ 2. Правило произведения Теорема: Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то число различных пар равно m ∙ n Семён ­ + ­ ­ Семёнов Николаев Николай ­ ­ ­ + Задача   1.  Имеются   4   вида   конвертов   без   марок   и   5   видов   марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?  Решение: 4 ∙ 5 = 20 Задача 2. В магазине имеются 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить пиджак, брюки и галстук? Решение: 7∙ 5 ∙ 4 = 140 3. Игра «Черный ящик» (по карточкам) 4. Магические квадраты ии Маг ческий, или волшебный квадрат , заполненная   числами   таким   образом,   что   сумма   чисел   в   каждой   строке, каждом   столбце   и   на   обеих   диагоналях   оказывается   одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от  1  до  n2. Магические квадраты существуют для всех порядков   , за исключением n = 2.    — это квадратная таблица   Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется  магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного  квадрата зависит только от n и определяется формулой Первые значения магических констант приведены в следующей таблице: Порядок n 3 4 5 6 13 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105 10 11 12 M (n) 7 8 9 Единственный   нормальный   магический   квадрат   3×3   был   известен   ещё   в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.. Магический   квадрат   третьего   порядка   существует всего один, все остальные магические квадраты 3­го порядка получаются из него же поворотом.   4 3 8 9 5 1 2 7 6       4 9 2 3 5 7 8 1 6 2 7 6 9 5 1 4 3 8 Самый ранний уникальный магический квадрат 4 × 4 обнаружен в надписи XI  века в индийском городе Кхаджурахо. Всего их существует 880.   7 2 16 9 12 13 3 6 1 8 10 15 14 11 5 4 Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат ­  нетрадиционный. Ниже представлены два таких   магических   квадрата,   заполненные   в   основном  простыми   числами. Первый   имеет   порядок  n=3  (квадрат   Дьюдени);   второй   (размером  4x4)   ­ квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия : 67 13 31 1 37 73 43 61 7 3 43 7 67 61 31 11 17 19 5 73 23 37 41 29 13 Построение магических квадратов Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Рассмотрим  метод   террас,   который   применяется   для   построения магических   квадратов   нечётного   порядка:   пятого,   седьмого   и   т.   д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился  зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми   рядами   снизу   вверх   (рис.   1)   или   сверху   вниз   (рис.   2).   Числа   в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь   него   так,   чтобы   они   примкнули   к   противоположным   сторонам квадрата.   На   рис.   3   и   4   изображены   готовые   магические   квадраты,   они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата.        5     10         14   20       4               3   9   15         2   8   1   7   13   19   25   6   12           11   17   23           18   24           16     22       21         21                 16         6 11   1   7 12     2   8 13       3   9 14                 4   5 10         18   17   22         23       19   24     25   15       20                             Рис. 1                                                       Рис. 2   3 16 9 22 15             20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15                          Рис. 3                                                        Рис. 4 Заметим,   что   методом   террас   можно   построить   не   только   традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n2), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность   между   каждым   последующим   и предыдущим числом была постоянной. Так, на 6 32 18 44 30 40 16 42 28 4 14 50 26 2 38 48 24 10 36 12 22 34 20 46 8 рис.   5   вы   видите   нетрадиционный   магический   квадрат   пятого   порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.                                                                                                                                             Рис. 5 5. Латинские квадраты  Латинским квадратом n × n называется квадрат, в каждой строке и в  каждом столбце которого находятся числа от 1 до n. Задачей отыскания  латинских квадратов занимался Леонард Эйлер .    1  3 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 В   качестве   примера,   приводящего   к   латинским   квадратам,   рассмотрим упрощенную задачу о составлении расписания. Пусть пять преподавателей Pi ( i  =   1,   2,   ...,   5)   школы   в   течение   пяти   последовательных   уроков   должны провести занятия в пяти классах  Kj  (  j  = 1, 2, ..., 5). При этом каждый из преподавателей  обязан  дать  один  урок  в каждом  классе.  В  этой  ситуации оказывается,   существует   1344   возможных   различных   расписаний.   Ниже приведено одно из них: К1 К2 К3 К4 К5 Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 1 2 3 4 5 2 1 4 5 3 3 4 5 1 2 4 5 2 3 1 5 3 1 2 4 Домашнее задание: 1) составьте магический квадрат 3 × 3 2) составьте латинский квадрат 3 × 3 3) составьте латинский квадрат 4 × 4 4) составьте магический квадрат 7 × 7 5) В   футбольной   команде   11   человек.   Нужно   выбрать   капитана   и   его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? 6) Король   решил   выдать   замуж   трёх   дочерей.   На   смотр   явились   100 женихов.   Сколькими   способами   дочери   короля   могут   выбрать   себе жениха?

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика

Комбинаторика
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.