Комбинаторика

Курс по выбору «Комбинаторика» Урок № 6. Тема:    Сочетания Цель   урока:   Сформировать   понятие   сочетаний   без   повторений,   вывести формулу   для   вычисления   числа   сочетаний.   Научить   находить число вычислительных навыков сочетаний. Развитие       Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 4, карточки с задачами 1. Повторение (по слайдам) 1) Определение перестановок 2) Определение размещений 3) Примеры задач на перестановки и размещения 4) Проверка домашнего задания 2. Сочетания Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько различных коктейлей можно получить из этих соков, если смешивать в каждом по три вида соков? Зависит ли вкус коктейля от того, в каком порядке находятся в нём соки? Конечно, нет. Т.е.  это не размещения.   Подсчитаем вначале, сколько будет размещений из 5 по 3:  3 5А   !5  )!35( 60 Но размещения АБВ и БВА  в коктейле дают один и тот же результат, всего таких перестановок 6. Значит, число коктейлей в 6 раз меньше возможного числа размещений, 60:  6 = 10, или  Р3 = 3! =  !5  !3)!35(  ОПРЕДЕЛЕНИЕ:  Число всех комбинаций из n элементов по k, отличающиеся друг   от   друга   только   составом   элементов,   называются  сочетаниями  из  n элементом по k.  Обозначаются  nС ,  (от фран. Combinaison  – сочетание ).  k Формула для числа сочетаний получается из формулы  числа размещений. В самом деле, составим сначала все  k­сочетания из  n  элементов, а потом переставим   входящие   в  каждое   сочетание   элементы   всеми   возможными способами. Но из каждого k­ сочетания можно сделать Рk  перестановок. Значит, справедлива формула: ! Ck k n k A n    откуда:   C k n  k A n !k CP k  k n k A n     или  Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле: С k n  ! n  )! kkn  ! ( Задача .  Имеются киви, лимон, помидор, виноград. Вычислим, сколькими  способами можно их взять, если можно брать по 2 штуки. А если брать по 3  штуки?  Проверим наше решение по формуле числа сочетаний  Число сочетаний имеет некоторые свойства 3. Закрепление Задача   1.  Из   15   членов   туристической   группы   надо   выбрать   3   дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.  455 С  3 15  !15  !3!12 !15  15(  !3)!3 Задача № 2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них  двоих для участия в олимпиаде?  С 2 7 !7  !2)!27(   !7  !2!5  21 Задача 3. В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5 человек. Сколькими способами это можно сделать? (142506) 4. Домашнее задание к уроку 6 1) В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?  2) Иван­царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок трем   дочерям   короля   перстень,   браслет   и   ожерелье.   Что   кому дарить, он пока не решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?  3) Поэт­модернист   написал   стихотворение,   в   котором   первая   строка «Хочу пойти гулять куда­нибудь», а все остальные строки разные и получены   из   первой   перестановкой   слов.   Какое   наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?  4) В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек. Сколькими   способами   они   могут   выбрать   из   состава   кабинета премьер­министра, первого и второго вице­премьеров? Дополнительные задачи: 1. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать  их 14 преподавателей? (ответ: 3432)  2. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано  рукопожатий? (ответ: 66)  3. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой.  Сколько прямых можно провести через эти точки? (ответ: 10)  4. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? (ответ: 35)