Комбинаторика

Курс по выбору «Комбинаторика» Урок № 8. Тема:   Треугольник Паскаля. Бином Ньютона Цель урока: Кратко познакомить учащихся с биографиями Б.Паскаля и И. Ньютона, их вкладом в развитие комбинаторики. Научить составлять треугольник Паскаля. С помощью известных формул квадрата и куба двучлена   обобщить   эту   формулу   для   степени  n.   Познакомить учащихся   с   обобщённой   формулой   бинома   Ньютона.   Научить применять её на практике. Наглядность   и   раздаточный   материал:   Презентация   №   5.   Карточки   с заданиями для домашней работы 1. Треугольник Паскаля   ПАСКАЛЬ,   БЛЕЗ  (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия.    Его дарования проявились очень рано: в 12   лет   он   самостоятельно,   пользуясь собственным   словарем   и   схемами, которые   рисовал   в   комнате   для   игр, пришел   к   некоторым   геометрическим выводам   и   доказал   32­й   теорему Евклида о сумме углов треугольника. В 16 лет он написал замечательный Опыт о конических сечениях, содержащий теорему (называемую теперь теоремой Паскаля), согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в эллипс, гиперболу   или   параболу,   точки   пересечения   трех   пар   противоположных сторон   лежат   на   одной   прямой.   Чтобы   облегчить   отцу   трудоемкие финансовые   расчеты   (его   отец   работал   в   Палате   по   сбору   налогов),   Блез придумал   машину,   способную   складывать   и   вычитать,     прообраз механического   калькулятора.     Сконструировав   за   несколько   лет   около   50 образцов   арифметической   машины,   Блез   в   1649   г.     получил   королевскую привилегию   на   свое   изобретение   –   «Паскалево   колесо».   Машина   в   своем окончательном виде помещалась в небольшом продолговатом ящике и была проста в работе. Паскаль написал несколько работ по теории вероятностей, что впоследствии оказало   принципиальное   влияние   на   развитие   современной  экономики  и социологии. В историю физики  Паскаль  вошел, установив  основной закон гидростатики  и   подтвердив     предположение  Торричелли  о   существовании атмосферного   давления.     В   честь  Паскаля  названа  единица   измерения давления  системы  СИ.   Кроме   того,   его   имя   носит   один   из  языков программирования  Pascal,   а   также   способ   расположения  биномиальных коэффициентов  в   таблицу —  треугольник   Паскаля, которому он посвятил своё сочинение   «Трактат   об арифметическом треугольнике». 1 1 1 1 2 1 1 5 1 1 3 3 4 6 4 10 10 1 5 1 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1   Треугольник Паскаля – это числовая таблица треугольной   формы.     Она была   известна   ещё   учёным Древней   Индии,   но   её заново открывали и изучали многие математики.  Вопрос к учащимся: «Заметили ли вы какую­нибудь закономерность? А  правило составления этого треугольника? Откуда берутся эти числа и где они встречаются?»  Иногда треугольник Паскаля записывают иначе: n 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 4 1 3 1 6 10 10 5 1 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 Продолжите ещё два ряда в треугольнике Паскаля.  Оказывается это коэффициенты разложения двучлена (a + b)n  Вычислим:  Не вычисляя, назовите чему равно    .  Сравним с числами из таблицы. CCCCC 4 5 2 6 4 7 CCCCC , , , , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 2 2 , 3 3 2 4 3 4 2. Бином Ньютона                Исаак НЬЮТОН  (1643­1727 г.г.), английский математик, механик, астроном   и   физик,   создатель   классической   механики,   один   из основоположников   современной   физики, сформулировал основные законы механики и был   фактическим   создателем   единой физической   программы   описания   всех физических   явлений   на   базе   механики; открыл   закон   всемирного   тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны   вокруг   Земли,   а   также   приливы   в океанах, заложил основы механики сплошных сред,   акустики   и   физической   оптики. Построил зеркальный телескоп.  Исаак Ньютон появился на свет в небольшой деревушке   в   семье   мелкого   фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был недоношенным; бытует   легенда,   что   он   был   так   мал,   что   его   поместили   в   овчинную рукавицу,   лежавшую   на   лавке,   из   которой   он   однажды   выпал   и   сильно ударился головой об пол. Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к мечтательности. Его  привлекала  поэзия  и  живопись,  он, вдали  от  сверстников,  мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы, педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни. Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его до потери   сознания.   Переносить   такое   унизительное   положение   было   для самолюбивого   Ньютона   невыносимо,   и   оставалось   одно:   выделиться успехами   в   учебе.   Упорной   работой   он   добился   того,   что   занял   первое место в классе. После   серьезной   подготовки   Ньютон   в   1660   г.   поступил   в   Кембридж. Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы. Он серьёзно занялся наукой. Многие из проведенных им экспериментов (а их   насчитывается   более   тысячи)   стали   классическими   и   повторяются   и сегодня   в   школах   и   институтах.   Его   труды   намного   опередили   общий научный уровень того времени и были малопонятны его современникам. В области математики он является автором бинома Ньютона и создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода флюксий — того,   что   ныне   называется   дифференциальным   и   интегральным исчислением. Бином – двучлен. Бином Ньютона – формула, выражающая степень двучлена в виде суммы одночленов. Блез Паскаль доказал, что коэффициенты разложения (a + b)n равны сочетаний из n по k. nС - числу k ( a  n b ) n  a n  1 aC 1 n aCb  2 n n  2 2 b  ... aC k n kn  k b  ... b n (*) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2                                   (1,2,1) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3                                    (1,3,3,1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b +  6a2 b2 + 4a b3 + b4        (1,4,6,4,1) И. Ньютон доказал, что формула (*) разложения бинома в сумму выполняется не только для целых степеней, но и для отрицательных, и для дробных степеней. Поэтому таблица биномиальных коэффициентов – треугольник Паскаля, а формула разложения (*) – это бином Ньютона. Свойства бинома Ньютона: 1) Число слагаемых на 1 больше степени 2) Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля 3) Коэффициенты симметричны 4) Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются 5) Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома 3. Упражнения Раскройте скобки: 1) (х + у)5 2) (c + d)6 3) (m – n)7 Домашнее задание к уроку 8 Раскройте скобки: 1) (a – b)8 2) (c + 1)4 3) (x + 2)5