Комбинаторные задачи как средство развития вариативного мышления.

Комбинаторные задачи как средство развития вариативного мышления. Кульпина Е.П. Учитель начальных классов МАОУ СШ № 151  с углубленным изучением  отдельных предметов   Мышление младшего школьника отличается от мышления дошкольника, во­первых, более  высокими темпами его развития в эти годы; во­вторых, существенными структурными и  качественными преобразованиями, происходящими в самих интеллектуальных процессах.  В младшем школьном возрасте под влиянием учения как ведущей деятельности активно  развиваются все три вида мышления: наглядно­действенное, наглядно­образное и словесно­ логическое. Особенно значительные изменения происходят в развитии последнего вида  мышления, которое в начале данного периода жизни ребёнка ещё относительно слабо  развито, а к его концу, т.е. к началу подросткового возраста, становится главным и по  своим качествам уже мало чем отличается от аналогичного вида мышления взрослого  человека.    Особо важное значение имеет вариативное мышление, помогающее человеку уйти от  стереотипа и действовать по наиболее оптимальному решению в этой ситуации. Среди  задач, решение которых способствует развитию именно этого качества мышления, как  считают многие методисты и учителя, значительное место занимают комбинаторные  задачи. В них рассматриваются различные комбинации из заданных объектов,  удовлетворяющие определённым условиям.    За основу формирующего эксперимента были взяты основные этапы работы над  комбинаторными задачами, т.е. подготовительный, ознакомительный и этап решения задач  с помощью различных средств организации перебора.    Основное направление работы заключалось в том, чтобы перейти от осуществления  случайного перебора вариантов к проведению систематического перебора без  использования средств организации, а затем с их помощью.    Программа формирования состояла из трёх этапов работы над комбинаторными задачами и осуществлялась на протяжении двух месяцев на уроках математике 1 раз в неделю.  Можно представить следующую схему формирующего эксперимента.   Формы организации Урок математики Виды упражнений Выполнение   перебора   всех   возможных случаев   при   закреплении   таблицы умножения и деления. Деятельность по сравнению объектов, по  изменению порядка расположения фигур,  выполнение практических действий  перебора. Выполнение заданий с этап работы                  систематическим перебором случаев.  Упражнения по составлению таблиц и  графов(«дерево возможностей»). Составление плана выполнения поделки.        Выполнение различных плетений при              изготовлении закладок. Творческий пересказ Составление вариантов рассказа,  Труд              Чтение Русский язык предложений. Опишем более подробно этапы программы формирования.     Первый этап (подготовительный). Учащиеся выполняли деятельность по сравнению объектов, по изменению порядка  расположения фигур и участвовали в игровых ситуациях, направленных на выполнение  практических действий перебора случаев. Например, фрагмент №1. На доске нарисованы домики (рис.1).                                                                                                 Рис.1                   Рис.2                Рис.3 У.­ Скажите, из каких фигур составлен первый домик? у.­ Квадраты, прямоугольник, треугольник и круг. У.­ Вам нужно дорисовать второй домик так, чтобы изменился порядок расположения  фигур. К доске выходит ученик и дорисовывает (рис.2). У.­ Хорошо! А теперь дорисуйте третий домик опять так, чтобы изменился порядок  расположения фигур. К доске выходит ученик и дорисовывает (рис.3). Фрагмент №2. У.­ Рассмотрите внимательно колечки из бусинок. Скажите, что изменяется от одного  колечка к другому? (рис.4)        Рис.4 у.­ У второго колечка 5 маленьких бусинок, а у первого 4. Далее проводятся аналогичные сравнения. Фрагмент №3. У.­ Ребята представьте себе такую ситуацию­ едут в электричке Алёна, Варя и Наташа.  Они сидят на одной скамейке. Девочкам нужно проехать 8 станций. Чтобы не было скучно, ни решили на каждой станции меняться местами. Смогут ли девочки каждый раз меняться  местами так, чтобы их новое расположение оказывалось все время отличным от других? К доске на стулья садятся девочки и через определённое время меняются местами. А дети  на местах записывают их пересадки первыми буквами имён. У доски один ученик  выполняет ту же работу.     А. Н. В.                   В. А. Н.               Н. А. В. Н. В. А.                   А. В. Н.               В. Н. А. На седьмой станции дети называют вариант, например, В. Н. А. У.­ Ребята, посмотрите внимательно, может у нас есть уже такой вариант. у.­ Да. Больше вариантов не получается.  У.­ Как вы думаете, мы не можем найти или его не существует и уже найдены все  возможные варианты? у.­ Найдены все варианты.   У.­ Пожалуйста, найдите и запишите пары вариантов, очень похожие друг на друга.  Например,     А. Н. В.          Н. В. А.             В. Н. А.    А. В. Н.          Н. А. В.             В. А. Н.           Второй этап. Происходило ознакомление учащихся с систематическим перебором­ было введено  правило: один элемент остаётся неизменным, а два другие меняются местами.  Фрагмент №1. У.­ Попробуем решить такую задачу: Расположи по­разному ручку, карандаш и ластик. Для удобства я буду записывать на доске ваши варианты. Ребята выполняют перебор, а учитель записывает его на доске. у.­ Сначала я положу карандаш, потом ручку, а потом ластик. Учитель записывает­ К. Р. Л. Дети называют те варианты, которые уже были, путаются.  У.­ У нас получилось 6 различных вариантов. Давайте выпишем похожие варианты.  Например,     К. Р. Л.            Р. К. Л.            Л. К. Р.    К. Л. Р.            Р. Л. К.            Л. Р. К. У.­ Есть ли какая­то закономерность в этой записи? у.­ Первый элемент остаётся, а два другие меняются. У.­ Молодцы! А как вы думаете, для чего это нужно? у.­ Чтобы перечислить все варианты. Далее решаются аналогичные задачи. Например,  1. Найти все варианты расположения на столе ножа, вилки и тарелки. 2. На одной маленькой планете жили тямзики. И говорили они между собой на своём  языке. А знали они всего три буквы: Т, Я, О. Какие слова могли составить тямзики из  этих букв? 3. Ты собираешься нарисовать флажок. Но у тебя есть только три краски: жёлтая,  красная, синяя. На флажке должно быть три разноцветные полоски. Сколько различных флажков у тебя получится? Фрагмент №2. На этом уроке идёт выполнение следующего задания: Сколько двузначных чисел можно  записать с помощью цифр 5,7,9? У.­ Что значит двузначное число? у.­ Состоит из десятков и единиц. У.­ Как же нам записать? Дети предлагают варианты: 57, 75, 59, 79, 95, 97. У.­ А разве у нас не может быть, что в числе и десятки и единицы записаны одинаковой  цифрой? у.­ Может. Значит 55, 77, 99.                  Третий этап. На этом этапе программы формирования происходило знакомство с таблицами и графами  («дерево возможностей»).  Фрагмент №1.  У.­ Мы рассмотрели задачу о составлении чисел из цифр простым перебором, а теперь  попробуем решить аналогичную задачу с помощью  дерева возможностей  . Послушайте  внимательно: Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3,4,9? у.­ Число состоит из десятков и единиц, значит можно записать так: ДЕСЯТКИ              3                                 4                      9 ЕДИНИЦЫ 3                4         9                                                               9                                                3        4         9         3         4          У.­ Покажи мне на дереве число 49. Ученик выходит к доске и показывает. У.­ Сколько же можно составить чисел? у.­ 9   У.­ Ребята, а мы ещё можем записать решение с помощью таблицы. Десятки будут столбцы, а единицы­ строчки. Учитель рисует таблицу.                  ЕД          ДЕС     У.­ Какие цифры мы запишем в десятки? у.­ 3, 4, 9. У.­ А в единицы? у.­ Те же :3,4,9. Заполняют таблицу.   При изучении темы  Деление суммы на число  дети выполняли следующие задание: Реши  разными способами 60:5 , 75:5. Фрагмент №1. У.­ Как мы 60 разделим на 5? у.­ 50 плюс 10 и разделить на 5. у.­ Есть ещё способ: (35+25):5 и т.д. Дети быстро находили разные способы решения. На наш взгляд, такая программа является эффективной. Учащиеся с большей легкостью,  чем раньше, находили различные варианты решения разных задач. На уроках труда  предлагали свои варианты, например, составлении узора при изготовлении закладок.  Учащиеся выполняли все задания с интересом, пытались найти варианты самостоятельно.  Это материал несёт на себе не только развивающую функцию, но и вносит элемент  новизны, занимательности.   Примеры комбинаторных задач, используемых в программе. 1. В электричке на дачу едут три девочки. Они сидят на одной скамейке. Детям нужно  было проехать 8 остановок. Чтобы не было скучно, они решили на каждой остановке  меняться местами. Смогут ли девочки каждый раз меняться местами так, чтобы их новое  расположение оказывалось отличным от других? 2. Напиши первыми буквами, как по­разному можно положить в ряд на столе тарелку, нож  и вилку. 3. На одной маленькой планете жили тямзики. А знали они всего три буквы: Т, Я, О. Какие  слова могли составить тямзики из этих букв? 4. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 5,7,9? 5. У Юры 2 автомобиля, 4 медвежонка и 3 мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек 2  автомобиль, 1 медвежонка и 1 мяч. Сколькими способами он может это сделать? 6. От Бабы­Яги до Кащея ведут 3 дороги, а от Кащея до Кикиморы­ 2 дороги. Сколькими  способами можно дойти от Бабы­Яги до Кикиморы, если надо зайти к Кащею? 7. На каждом флажке должно быть 3 горизонтальные полоски: красного, синего и белого  цвета. Сколько можно получить различных флажков, если менять расположение цветов? 8. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 4,8,3? Сделай это с  помощью  дерева возможностей .  9. Сколькими способами можно раскрасить флажок из 5­ти полосок так, чтобы было 2  красные и 3 зелёные полоски? 10. Как разложить 3 карандаша в 2 коробки разными способами? 11. Сколько различных слов можно составить из букв Р,О,Г, если буквы в записи не могут  повторяться дважды? (словом считается любое сочетание букв) 12. Три поросёнка Ниф­Ниф, Нуф­Нуф, Наф­Наф решили построить себе домики.  Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты  их размещения с помощью дерева и таблицы. 13. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, щи и суп, на второе­ котлету и  рыбу, а на третье­ чай и морс. Сколько различных обедов можно составить из указанных  блюд? Выдели путь  суп­котлета­морс. 14. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно  было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в  обход. Нарисуй эти дорожки. 15. Сколько сумм можно составить, если первое слагаемое числа­ 7,9, а второе­ 5,3,1?